Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন কর যার অতিভুজ উদ্দীপকে উল্লিখিত বৃত্তের ব্যাসের সমান এবং অপর দুই বাহুর অন্তর বৃত্তটির ব্যাসার্ধের সমান। [অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক]

উত্তর: [চিত্র] বিশেষ নির্বচন: মনে করি, একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ a = 6 সে.মি. ও অপর দুই বাহুর অন্তর d = 3 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে। অঙ্কনের বিবরণ: ধাপ ১: যেকোনো রশ্মি EF এর E বিন্দুতে ∠FEN = 45° আঁকি। ধাপ ২: এবার NE কে EB পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করি যেন EB = d হয়। ধাপ ৩: অতঃপর B বিন্দুকে কেন্দ্র করে a-এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা EF-কে C বিন্দুতে ছেদ করে। ধাপ ৪: পরিশেষে, C বিন্দুতে EC এর সাথে ∠ECA = ∠CEN আঁকি যেন CA রেখা EN কে A বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, ∆ABC-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ হবে।

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১৩ : ঘন জ্যামিতি (Full Syllabus) CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১৩ : ঘন জ্যামিতি (Full Syllabus) · সৃজনশীল

একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন কর যার অতিভুজ উদ্দীপকে উল্লিখিত বৃত্তের ব…

উদ্দীপক

O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ OA = 3 সে.মি. এবং উক্ত বৃত্তে অন্তর্লিখিত ABCD চতুর্ভুজের AC ও BD দুইটি কর্ণ।

Comilla · 2019

উত্তর

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাস = 2 × 3 = 6 সে.মি. ∴ গোলকের ব্যাসার্ধ, r = 6 সে.মি. ∴ গোলকের আয়তন = 43πr3\frac{4}{3}\pi \mathrm{r}^3 ঘন সে.মি. = 43π.63\frac{4}{3}\pi. 6^3 = 904.78 ঘন সে.মি. (প্রায়) (Ans.)

উত্তর

(টলেমির উপপাদ্য), বৃত্তে অন্তর্লিখিত কোনো চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্র ঐ চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের সমষ্টির সমান। question image বিশেষ নির্বচন: মনে করি বৃত্তে অন্তর্লিখিত ABCDABCD চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো যথাক্রমে ABAB ও CDCD এবং BCBC ও ADAD। ACAC এবং BDBD চতুর্ভুজটির দুইটি কর্ণ। প্রমাণ করতে হবে যে, AC⋅BD=AB⋅CD+BC⋅ADAC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD। প্রমাণ: ∠BAC\angle BAC কে ∠DAC\angle DAC থেকে ছোট ধরে নিয়ে AA বিন্দুতে ADAD রেখাংশের সাথে ∠BAC\angle BAC এর সমান করে ∠DAP\angle DAP আঁকি যেন APAP রেখা BDBD কর্ণকে PP বিন্দুতে ছেদ করে। অঙ্কন অনুসারে ∠BAC=∠DAP\angle BAC = \angle DAP। উভয়পক্ষে ∠∩\angle \cap যোগ করে পাই, ∠BAC+∠∩=∠DAP+∠∩ অর্থাৎ, ∠BAP=∠CAD\angle BAC + \angle \cap = \angle DAP + \angle \cap\text{ অর্থাৎ, } \angle BAP = \angle CAD এখন ΔABP\Delta ABP ও ΔACD\Delta ACD এর মধ্যে ∠BAP=∠CAD এবং ∠ABD=∠ACD [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান বলে]\angle BAP = \angle CAD\text{ এবং } \angle ABD = \angle ACD\text{ [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান বলে]} এবং অবশিষ্ট ∠APB=অবশিষ্ট ∠ADC।\text{এবং অবশিষ্ট } \angle APB = \text{অবশিষ্ট } \angle ADC\text{।} ∴ΔABP\therefore \Delta ABP ও ΔACD\Delta ACD সদৃশকোণী। ∴BPCD=ABAC\therefore \frac{BP}{CD} = \frac{AB}{AC} অর্থাৎ, AC⋅BP=AB⋅CD ⋯⋯(1)AC \cdot BP = AB \cdot CD \ \cdots\cdots (1) আবার, ΔABC\Delta ABC ও ΔAPD\Delta APD এর মধ্যে ∠BAC=∠PAD [অঙ্কন অনুসারে]\angle BAC = \angle PAD\text{ [অঙ্কন অনুসারে]} ∠ADP=∠ACB [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান বলে]\angle ADP = \angle ACB\text{ [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান বলে]} এবং অবশিষ্ট ∠ABC=অবশিষ্ট ∠APD\text{এবং অবশিষ্ট } \angle ABC = \text{অবশিষ্ট } \angle APD ∴ΔABC\therefore \Delta ABC ও ΔAPD\Delta APD সদৃশকোণী। ∴ADAC=PDBC\therefore \frac{AD}{AC} = \frac{PD}{BC} অর্থাৎ, AC⋅PD=BC⋅AD⋯⋯(2)AC \cdot PD = BC \cdot AD \cdots \cdots (2) এখন সমীকরণ (1) ও (2) যোগ করে পাই, AC⋅BP+AC⋅PD=AB⋅CD+BC⋅ADAC \cdot BP + AC \cdot PD = AB \cdot CD + BC \cdot AD বা, AC(BP+PD)=AB⋅CD+BC⋅AD\text{বা, } AC(BP + PD) = AB \cdot CD + BC \cdot AD কিন্তু BP+PD=BD\text{কিন্তু } BP + PD = BD ফলে AC⋅BD=AB⋅CD+BC⋅AD[প্রমাণিত]\text{ফলে } AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD \quad \text{[প্রমাণিত]}

উত্তর

question image বিশেষ নির্বচন: মনে করি, একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ a = 6 সে.মি. ও অপর দুই বাহুর অন্তর d = 3 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে। অঙ্কনের বিবরণ: ধাপ ১: যেকোনো রশ্মি EF এর E বিন্দুতে ∠FEN = 45° আঁকি। ধাপ ২: এবার NE কে EB পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করি যেন EB = d হয়। ধাপ ৩: অতঃপর B বিন্দুকে কেন্দ্র করে a-এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা EF-কে C বিন্দুতে ছেদ করে। ধাপ ৪: পরিশেষে, C বিন্দুতে EC এর সাথে ∠ECA = ∠CEN আঁকি যেন CA রেখা EN কে A বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, ∆ABC-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ হবে।
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১৩ : ঘন জ্যামিতি (Full Syllabus)
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABC ত্রিভুজের AB=12 cm,AC=5 cm,BC=13 cm\mathrm{AB}=12 \mathrm{~cm}, \mathrm{AC}=5 \mathrm{~cm}, \mathrm{BC}=13 \mathrm{~cm} এবং মধ্যমাত্রয়ের ছেদ বিন্দু O।

Barisal · 2016

ক
শীর্ষবিন্দু AA থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O′O^{\prime} বিন্দু হতে শীর্ষ বিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টি তিনগুণের সমান।
গ
ত্রিভুজটিকে উহার ক্ষুদ্রতর বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয়, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তনের সাংখ্যিক মানের পার্থক্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O′O^{\prime} বিন্দু হতে শীর্ষ বিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টি তিনগুণের সমান।

দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O′O^{\prime} বিন্দু হতে শীর্ষ বিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টি তিনগুণের সমান।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শীর্ষবিন্দু AA থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

শীর্ষবিন্দু AA থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

P(t,2)P(t, 2) বিন্দুগামী 2y−3x+6=02 y-3 x+6=0 রেখাটি xx অক্ষকে AA এবং yy অক্ষকে BB বিন্দুতে ছেদ করে।

Jessore · 2016

ক
রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।
খ
△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ
△OAB\triangle \mathrm{OAB} কে OB বাহুর চতুর্দিকে একবার ঘুরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।

রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image ΔPQR\Delta \mathrm{PQR} এর ∠R\angle \mathrm{R} একটি সূক্ষ্মকোণ এবং PD⊥QR\mathrm{PD} \perp \mathrm{QR}.

Dhaka · 2016

ক
রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।
খ
△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ
DR=6 cm,PD=4 cm\mathrm{DR}=6 \mathrm{~cm}, \mathrm{PD}=4 \mathrm{~cm} হলে, DRDR ও PDPD কে একটি আয়তক্ষেত্রের যথাক্রমে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ ধরে ঐ আয়তক্ষেত্রকে DRDR বাহুর সাপেক্ষে একবার ঘোরালে উৎপন্ন ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, PQ2+2QR⋅DR=PR2+QR2PQ^2 + 2QR \cdot DR = PR^2 + QR^2

উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, PQ2+2QR⋅DR=PR2+QR2PQ^2 + 2QR \cdot DR = PR^2 + QR^2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র বলতে কী বোঝ?

ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র বলতে কী বোঝ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে PR=10 সে.মি.PR = 10\text{ সে.মি.} এবং QS=8 সে.মি.QS = 8\text{ সে.মি.}।

Comilla · 2017

ক
প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।
খ
প্রমাণ কর যে, PR⋅QS=PQ⋅RS+PS⋅QRPR \cdot QS = PQ \cdot RS + PS \cdot QR।
গ
PRPR এবং QSQS দুইটি ঘনকের ধারোর দৈর্ঘ্য হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.প্রমাণ কর যে, PR⋅QS=PQ⋅RS+PS⋅QRPR \cdot QS = PQ \cdot RS + PS \cdot QR।

প্রমাণ কর যে, PR⋅QS=PQ⋅RS+PS⋅QRPR \cdot QS = PQ \cdot RS + PS \cdot QR।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।

প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

ত্রিভুজটিকে উহার ক্ষুদ্রতর বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয়, তার সমগ্দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O [গণিত] বিন্দুশীর্ষবিন্দু [গণিত] থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।[গণিত] কে OB বাহুর চতুর্দিকে একবার ঘুরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তার সমগ্রতলের ক্ষ[গণিত] এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, [গণিত] ও [গণিত] কে একটি আয়তক্ষেত্রের যথাক্রমে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ ধরে ঐউদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, [গণিত]ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র বলতে কী বোঝ?[গণিত] এবং [গণিত] দুইটি ঘনকের ধারোর দৈর্ঘ্য হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয়প্রমাণ কর যে, [গণিত] ।প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন