শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] ।

উত্তর: [চিত্র] বিশেষ নির্বচন: মনে করি, বৃত্তে অন্তর্লিখিত [গণিত] চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] এবং [গণিত] ও [গণিত] । [গণিত] এবং [গণিত] চতুর্ভুজটির দুইটি কর্ণ। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] অঙ্কন: [গণিত] কে [গণিত] এর ছোট ধরে নিয়ে [গণিত] বিন্দুতে [গণিত] রেখাংশের সাথে [গণিত] -এর সমান করে [গণিত] আঁকি যেন [গণিত] রেখা [গণিত] কর্ণকে [গণিত] বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ: অঙ্কন অনুসারে [গণিত] উভয়পক্ষে [গণিত] যোগ করে পাই, [গণিত] অর্থাৎ, [গণিত] এখন [গণিত] ও [গণিত] এর মধ্যে, [গণিত] এবং অবশিষ্ট [গণিত] অবশিষ্ট [গণিত] ও [গণিত] সদৃশকোণী, তাই সদৃশ। [গণিত] অর্থাৎ, [গণিত] আবার, [গণিত] ও [গণিত] এর মধ্যে [গণিত] এবং অবশিষ্ট [গণিত] অবশিষ্ট [গণিত] ও [গণিত] সদৃশকোণী, তাই সদৃশ। [গণিত] অর্থাৎ, [গণিত] এখন সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত]

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১৩ : ঘন জ্যামিতি (Full Syllabus) CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১৩ : ঘন জ্যামিতি (Full Syllabus) · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, PR⋅QS=PQ⋅RS+PS⋅QRPR \cdot QS = PQ \cdot RS + PS \cdot QR।

উত্তর

question image বিশেষ নির্বচন: মনে করি, বৃত্তে অন্তর্লিখিত PQRSPQRS চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো যথাক্রমে PQPQ ও RSRS এবং QRQR ও PSPS। PRPR এবং QSQS চতুর্ভুজটির দুইটি কর্ণ। প্রমাণ করতে হবে যে, PR⋅QS=PQ⋅RS+QR⋅PSPR \cdot QS = PQ \cdot RS + QR \cdot PS অঙ্কন: ∠QPR\angle QPR কে ∠SPR\angle SPR এর ছোট ধরে নিয়ে PP বিন্দুতে PSPS রেখাংশের সাথে ∠QPR\angle QPR-এর সমান করে ∠SPM\angle SPM আঁকি যেন PMPM রেখা QSQS কর্ণকে MM বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ: অঙ্কন অনুসারে ∠QPR=∠SPM\angle QPR = \angle SPM উভয়পক্ষে ∠RPM\angle RPM যোগ করে পাই, ∠QPR+∠RPM=∠SPM+∠RPM\angle QPR + \angle RPM = \angle SPM + \angle RPM অর্থাৎ, ∠QPM=∠RPS\angle QPM = \angle RPS এখন △PQM\triangle PQM ও △PRS\triangle PRS এর মধ্যে, ∠QPM=∠RPS\angle QPM = \angle RPS ∠PQS=∠PRS [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান বলে]\angle PQS = \angle PRS \ \text{[একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান বলে]} এবং অবশিষ্ট ∠PMQ=\angle PMQ = অবশিষ্ট ∠PSR\angle PSR ∴△PQM\therefore \triangle PQM ও △PRS\triangle PRS সদৃশকোণী, তাই সদৃশ। QMRS=PQPR\frac{QM}{RS} = \frac{PQ}{PR} অর্থাৎ, PR⋅QM=PQ⋅RS ... ... ... ... ... ... ... ... (i)PR \cdot QM = PQ \cdot RS \ \text{... ... ... ... ... ... ... ... (i)} আবার, △PQR\triangle PQR ও △PMS\triangle PMS এর মধ্যে ∠QPR=∠SPM [অঙ্কন অনুসারে]\angle QPR = \angle SPM \ \text{[অঙ্কন অনুসারে]} ∠PSM=∠PRQ [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান বলে]\angle PSM = \angle PRQ \ \text{[একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান বলে]} এবং অবশিষ্ট ∠PQR=\angle PQR = অবশিষ্ট ∠PMS\angle PMS ∴△PQR\therefore \triangle PQR ও △PMS\triangle PMS সদৃশকোণী, তাই সদৃশ। ∴PSPR=MSQR\therefore \frac{PS}{PR} = \frac{MS}{QR} অর্থাৎ, PR⋅MS=QR⋅PS ... ... ... ... ... ... ... ... (ii)PR \cdot MS = QR \cdot PS \ \text{... ... ... ... ... ... ... ... (ii)} এখন সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই, PR⋅QM+PR⋅MS=PQ⋅RS+QR⋅PSPR \cdot QM + PR \cdot MS = PQ \cdot RS + QR \cdot PS বা, PR(QM+MS)=PQ⋅RS+QR⋅PSPR (QM + MS) = PQ \cdot RS + QR \cdot PS ∴PR⋅QS=PQ⋅RS+QR⋅PS\therefore PR \cdot QS = PQ \cdot RS + QR \cdot PS [যেহেতু QM+MS=QS] (প্রমাণিত)[\text{যেহেতু } QM + MS = QS] \ \mathbf{(\text{প্রমাণিত})}
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১৩ : ঘন জ্যামিতি (Full Syllabus)
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABC ত্রিভুজের AB=12 cm,AC=5 cm,BC=13 cm\mathrm{AB}=12 \mathrm{~cm}, \mathrm{AC}=5 \mathrm{~cm}, \mathrm{BC}=13 \mathrm{~cm} এবং মধ্যমাত্রয়ের ছেদ বিন্দু O।

Barisal · 2016

ক
শীর্ষবিন্দু AA থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O′O^{\prime} বিন্দু হতে শীর্ষ বিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টি তিনগুণের সমান।
গ
ত্রিভুজটিকে উহার ক্ষুদ্রতর বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয়, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তনের সাংখ্যিক মানের পার্থক্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O′O^{\prime} বিন্দু হতে শীর্ষ বিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টি তিনগুণের সমান।

দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O′O^{\prime} বিন্দু হতে শীর্ষ বিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টি তিনগুণের সমান।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শীর্ষবিন্দু AA থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

শীর্ষবিন্দু AA থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

P(t,2)P(t, 2) বিন্দুগামী 2y−3x+6=02 y-3 x+6=0 রেখাটি xx অক্ষকে AA এবং yy অক্ষকে BB বিন্দুতে ছেদ করে।

Jessore · 2016

ক
রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।
খ
△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ
△OAB\triangle \mathrm{OAB} কে OB বাহুর চতুর্দিকে একবার ঘুরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।

রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image ΔPQR\Delta \mathrm{PQR} এর ∠R\angle \mathrm{R} একটি সূক্ষ্মকোণ এবং PD⊥QR\mathrm{PD} \perp \mathrm{QR}.

Dhaka · 2016

ক
রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।
খ
△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ
DR=6 cm,PD=4 cm\mathrm{DR}=6 \mathrm{~cm}, \mathrm{PD}=4 \mathrm{~cm} হলে, DRDR ও PDPD কে একটি আয়তক্ষেত্রের যথাক্রমে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ ধরে ঐ আয়তক্ষেত্রকে DRDR বাহুর সাপেক্ষে একবার ঘোরালে উৎপন্ন ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, PQ2+2QR⋅DR=PR2+QR2PQ^2 + 2QR \cdot DR = PR^2 + QR^2

উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, PQ2+2QR⋅DR=PR2+QR2PQ^2 + 2QR \cdot DR = PR^2 + QR^2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র বলতে কী বোঝ?

ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র বলতে কী বোঝ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে PR=10 সে.মি.PR = 10\text{ সে.মি.} এবং QS=8 সে.মি.QS = 8\text{ সে.মি.}।

Comilla · 2017

ক
প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।
খ
প্রমাণ কর যে, PR⋅QS=PQ⋅RS+PS⋅QRPR \cdot QS = PQ \cdot RS + PS \cdot QR।
গ
PRPR এবং QSQS দুইটি ঘনকের ধারোর দৈর্ঘ্য হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।

প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

66 সে.মি., ৪৪ সে.মি. এবং r সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট তিনটি কঠিন ধাতব গোলক গলিয়ে 99 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি কঠিন গোলকে পরিণত করা হলো যা সিলিন্ডার আকৃতির একটি বাক্সে ঠিকভাবে এঁটে যায়।

Barisal · 2017

ক
66 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট গোলকটির পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
rr এর মান নির্ণয় কর।
গ
বাক্সটির অনধিকৃত অংশের আয়তন নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

ত্রিভুজটিকে উহার ক্ষুদ্রতর বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয়, তার সমগ্দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O [গণিত] বিন্দুশীর্ষবিন্দু [গণিত] থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।[গণিত] কে OB বাহুর চতুর্দিকে একবার ঘুরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তার সমগ্রতলের ক্ষ[গণিত] এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, [গণিত] ও [গণিত] কে একটি আয়তক্ষেত্রের যথাক্রমে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ ধরে ঐউদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, [গণিত]ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র বলতে কী বোঝ?[গণিত] এবং [গণিত] দুইটি ঘনকের ধারোর দৈর্ঘ্য হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয়প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।বাক্সটির অনধিকৃত অংশের আয়তন নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।