অধ্যায়-১৩ : ঘন জ্যামিতি (Full Syllabus) উচ্চতর গণিত

উদ্দীপক

ABC ত্রিভুজের $\mathrm{AB}=12 \mathrm{~cm}, \mathrm{AC}=5 \mathrm{~cm}, \mathrm{BC}=13 \mathrm{~cm}$ এবং মধ্যমাত্রয়ের ছেদ বিন্দু O।

Barisal · 2016

ক

শীর্ষবিন্দু $A$ থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, $ABC$ ত্রিভুজে $AB = 12\text{ cm}$, $AC = 5\text{ cm}$ এবং $BC = 13\text{ cm}$। ধরি, শীর্ষবিন্দু $A$ থেকে বিপরীত বাহু $BC$ এর উপর অঙ্কিত মধ্যমা $AD$। অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুযায়ী পাই, $AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$ বা, $12^2 + 5^2 = 2AD^2 + 2\cdot\left(\frac{BC}{2}\right)^2 \quad [\because D, BC\text{ এর মধ্যবিন্দু}]$ বা, $144 + 25 = 2AD^2 + 2\cdot\left(\frac{13}{2}\right)^2$ বা, $169 = 2AD^2 + \frac{169}{2}$ বা, $2AD^2 = 169 - \frac{169}{2}$ বা, $2AD^2 = \frac{169}{2}$ বা, $AD^2 = \frac{169}{4}$ বা, $AD = \sqrt{\frac{169}{4}} \quad \therefore AD = \frac{13}{2} = 6.5\text{ cm}$ $\therefore$ মধ্যমার দৈর্ঘ্য $6.5\text{ cm (Ans.)}$

খ

দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি '$O^{\prime}$ বিন্দু হতে শীর্ষ বিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টি তিনগুণের সমান।

উত্তর

দেওয়া আছে, $\Delta ABC$-এ $AB = 12\text{ cm}$, $AC = 5\text{ cm}$ এবং $BC = 13\text{ cm}$ চিত্রানুযায়ী, অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য থেকে পাই, $AC^2 + BC^2 = 2(CF^2 + AF^2)$ বা, $5^2 + 13^2 = 2CF^2 + 2\cdot\left(\frac{12}{2}\right)^2$ বা, $25 + 169 - 72 = 2CF^2$ বা, $CF^2 = \frac{122}{2} \quad \therefore CF^2 = 61$ এবং $AB^2 + BC^2 = 2(BE^2 + AE^2)$ বা, $12^2 + 13^2 = 2BE^2 + 2\cdot\left(\frac{5}{2}\right)^2$ বা, $144 + 169 - 12.5 = 2BE^2$ বা, $BE^2 = \frac{300.5}{2}$ $\therefore BE^2 = 150.25$ এবং 'ক' হতে পাই, $AD^2 = \frac{169}{4} = 42.25$ আমরা জানি, ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দু মধ্যমাগুলোকে $2 : 1$ বা $1 : 2$ অনুপাতে বিভক্ত করে। চিত্রে, $O$ ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দু। $\therefore \frac{OD}{OA} = \frac{1}{2}$ $\text{বা, } \frac{OD + OA}{OA} = \frac{1 + 2}{2} \quad [\text{যোজন করে}]$ $\text{বা, } \frac{AD}{OA} = \frac{3}{2}$ $\text{বা, } OA = \frac{2}{3}AD$ $\text{বা, } OA^2 = \frac{4}{9}AD^2 \quad [\text{বর্গ করে}]$ $\therefore OA^2 = \frac{4}{9} \times 42.25 = \frac{169}{9}$ অনুরূপে পাই, $OB^2 = \frac{4}{9} \times BE^2 = \frac{4}{9} \times 150.25 = \frac{601}{9}$ এবং $OC^2 = \frac{4}{9} \times CF^2 = \frac{4}{9} \times 61 = \frac{244}{9}$ $\therefore \ 3(OA^2 + OB^2 + OC^2) = 3\left(\frac{169}{9} + \frac{601}{9} + \frac{244}{9}\right)$ $= 3 \times \frac{1014}{9} = 338$ এবং $AB^2 + BC^2 + AC^2 = 12^2 + 13^2 + 5^2 = 144 + 169 + 25$ $= 338$ $\therefore AB^2 + BC^2 + AC^2 = 3(OA^2 + OB^2 + OC^2) \ \mathbf{(\text{দেখানো হলো})}$

গ

ত্রিভুজটিকে উহার ক্ষুদ্রতর বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয়, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তনের সাংখ্যিক মানের পার্থক্য নির্ণয় কর।

উত্তর

এখানে, $AB^2 + AC^2 = 12^2 + 5^2$ $= 144 + 25$ $= 169$ $= 13^2 = BC^2$ $\therefore ABC$ সমকোণী ত্রিভুজ এবং $\angle A$ সমকোণ। উদ্দীপকে উল্লেখিত সমকোণী ত্রিভুজটিকে উহার ক্ষুদ্রতম বাহু $AC$ এর চতুর্দিকে ঘোরালে একটি সমবৃত্তভূমিক কোণক উৎপন্ন হয় যার ভূমির ব্যাসার্ধ, $r = AB = 12\text{cm}$, উচ্চতা, $h = AC = 5\text{ cm}$ এবং হেলানো উচ্চতা, $l = BC = 13\text{cm}$ $\therefore$ কোণকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= \pi r(r + l)\text{ বর্গ একক}$ $= 3.1416 \times 12 \times (12 + 13)\text{ বর্গ সে.মি.}$ $= 37.6992 \times 25\text{ বর্গ সে.মি.}$ $= 942.48\text{ বর্গ সে.মি. (প্রায়)}$ এবং কোণকটির আয়তন $= \frac{1}{3} \pi r^2 h\text{ ঘন একক}$ $= \frac{1}{3} \times 3.1416 \times 12^2 \times 5\text{ ঘন সে.মি.}$ $= 753.98\text{ ঘন সে.মি. (প্রায়)}$ $\therefore$ কোণকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তনের সাংখ্যিক মানের পার্থক্য $= 942.48 - 753.98 = 188.5\text{ (প্রায়) (Ans.)}$

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

$P(t, 2)$ বিন্দুগামী $2 y-3 x+6=0$ রেখাটি $x$ অক্ষকে $A$ এবং $y$ অক্ষকে $B$ বিন্দুতে ছেদ করে।

Jessore · 2016

ক

রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণ, $2y - 3x + 6 = 0$ বা, $2y = 3x - 6$ বা, $y = \frac{3}{2}x - \frac{6}{2}$ $\therefore y = \frac{3}{2}x - 3 \ \text{\ldots\ldots\ldots. (i)}$ (i) নং কে $y = mx + c$ রেখার সাথে তুলনা করে পাই, $m = \frac{3}{2}$ $\therefore$ রেখাটির ঢাল $= \frac{3}{2}\text{ (Ans.)}$

খ

$\triangle \mathrm{APB}$এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর

প্রদত্ত রেখাটি $2y - 3x + 6 = 0 \ \text{\ldots\ldots.. (ii)}$ রেখাটি $x$ অক্ষকে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে। $\therefore y = 0$ (ii) নং থেকে, $2 \cdot 0 - 3x + 6 = 0$ বা, $-3x = -6$ $\therefore x = 2$ $\therefore A\text{ বিন্দুর স্থানাঙ্ক }(2, 0)$ আবার, রেখাটি $y$ অক্ষকে $B$ বিন্দুতে ছেদ করে। $\therefore \quad x = 0$ (ii) নং থেকে, $2y - 3 \cdot 0 + 6 = 0$ বা, $2y = -6 \quad \therefore y = -3$ $\therefore B\text{ বিন্দুর স্থানাঙ্ক }(0, -3)$ (ii) নং রেখাটি $P(t, 2)$ বিন্দুগামী। $2 \cdot 2 - 3 \cdot t + 6 = 0$ বা, $4 - 3t + 6 = 0$ বা, $10 - 3t = 0$ বা, $10 = 3t \quad \therefore t = \frac{10}{3}$ $\therefore P\text{ বিন্দুর স্থানাঙ্ক }\left(\frac{10}{3}, 2\right)$ \Delta APB\text{ এর ক্ষেত্রফল } = \frac{1}{2} \[\begin{vmatrix} 2 & \frac{10}{3} & 0 & 2 \\ 0 & 2 & -3 & 0 \end{vmatrix}\]\text{ বর্গ একক} $= \frac{1}{2} \{(4 - 10 + 0) - (0 + 0 - 6)\}$ $=\frac{1}{2}(-6+6)=\frac{1}{2} \times 0=0$ (Ans.)

গ

$\triangle \mathrm{OAB}$ কে OB বাহুর চতুর্দিকে একবার ঘুরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর

$\Delta OAB$ কে $OB$ বাহুর চতুর্দিকে একবার ঘোরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তা একটি কোণক। কোণকের ব্যাসার্ধ, $r = OA$ $= \sqrt{(0 - 2)^2 + (0 - 0)^2}$ $= \sqrt{4 + 0} = 2$ কোণকের উচ্চতা, $h = OB = \sqrt{(0 - 0)^2 + (0 + 3)^2}$ $= \sqrt{0 + 9} = 3$ $\therefore$ হেলানো উচ্চতা, $l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{3^2 + 2^2}$ $= \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$ $\therefore$ কোণকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= \pi r(l + r)\text{ বর্গ একক}$ $= 3.1416 \times 2 \times (\sqrt{13} + 2)$ $= 35.221\text{ বর্গএকক (প্রায়) (Ans.)}$

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

$\Delta \mathrm{PQR}$ এর $\angle \mathrm{R}$ একটি সূক্ষ্মকোণ এবং $\mathrm{PD} \perp \mathrm{QR}$.

Dhaka · 2016

ক

রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণ, $2y - 3x + 6 = 0$ বা, $2y = 3x - 6$ বা, $y = \frac{3}{2}x - \frac{6}{2}$ $\therefore y = \frac{3}{2}x - 3 \ \text{\ldots\ldots\ldots. (i)}$ (i) নং কে $y = mx + c$ রেখার সাথে তুলনা করে পাই, $m = \frac{3}{2}$ $\therefore$ রেখাটির ঢাল $= \frac{3}{2}\text{ (Ans.)}$

খ

$\triangle \mathrm{APB}$এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর

প্রদত্ত রেখাটি $2y - 3x + 6 = 0 \ \text{\ldots\ldots.. (ii)}$ রেখাটি $x$ অক্ষকে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে। $\therefore y = 0$ (ii) নং থেকে, $2 \cdot 0 - 3x + 6 = 0$ বা, $-3x = -6$ $\therefore x = 2$ $\therefore A\text{ বিন্দুর স্থানাঙ্ক }(2, 0)$ আবার, রেখাটি $y$ অক্ষকে $B$ বিন্দুতে ছেদ করে। $\therefore \quad x = 0$ (ii) নং থেকে, $2y - 3 \cdot 0 + 6 = 0$ বা, $2y = -6 \quad \therefore y = -3$ $\therefore B\text{ বিন্দুর স্থানাঙ্ক }(0, -3)$ (ii) নং রেখাটি $P(t, 2)$ বিন্দুগামী। $2 \cdot 2 - 3 \cdot t + 6 = 0$ বা, $4 - 3t + 6 = 0$ বা, $10 - 3t = 0$ বা, $10 = 3t \quad \therefore t = \frac{10}{3}$ $\therefore P\text{ বিন্দুর স্থানাঙ্ক }\left(\frac{10}{3}, 2\right)$ \Delta APB\text{ এর ক্ষেত্রফল } = \frac{1}{2} \[\begin{vmatrix} 2 & \frac{10}{3} & 0 & 2 \\ 0 & 2 & -3 & 0 \end{vmatrix}\]\text{ বর্গ একক} $= \frac{1}{2} \{(4 - 10 + 0) - (0 + 0 - 6)\}$ $=\frac{1}{2}(-6+6)=\frac{1}{2} \times 0=0$ (Ans.)

গ

$\mathrm{DR}=6 \mathrm{~cm}, \mathrm{PD}=4 \mathrm{~cm}$ হলে, $DR$ ও $PD$ কে একটি আয়তক্ষেত্রের যথাক্রমে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ ধরে ঐ আয়তক্ষেত্রকে $DR$ বাহুর সাপেক্ষে একবার ঘোরালে উৎপন্ন ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, $DR = 6$ সে.মি. $PD = 4$ সে.মি. এখন, $DR$ ও $PD$ কে একটি আয়তক্ষেত্রের যথাক্রমে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ ধরে ঐ আয়তক্ষেত্রকে $DR$ বাহুর সাপেক্ষে একবার ঘোরালে একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার উৎপন্ন হয় যার ব্যাসার্ধ, $r = PD = 4\text{ সে.মি.}$ এবং উচ্চতা, $h = DR = 6$ সে.মি. আমরা জানি, সিলিন্ডারের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 2\pi r(r + h)$ বর্গ একক $= 2 \times 3.1416 \times 4(4 + 6)$ বর্গ সে.মি. $= 251.33$ বর্গ সে.মি. (প্রায়) $(Ans.)$ এবং সিলিন্ডারের আয়তন $= \pi r^2 h$ ঘন একক $= 3.1416 \times 4^2 \times 6$ ঘন সে.মি. $= 301.59$ ঘন সে.মি. (প্রায়) $(Ans.)$

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

চিত্রে $PR = 10\text{ সে.মি.}$ এবং $QS = 8\text{ সে.মি.}$।

Comilla · 2017

ক

প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।

উত্তর

প্রদত্ত চিত্র টলেমির উপপাদ্যকে সমর্থন করে। টলেমির উপপাদ্য: বৃত্তে অন্তর্লিখিত কোনো চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্র ঐ চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের সমষ্টির সমান।

খ

প্রমাণ কর যে, $PR \cdot QS = PQ \cdot RS + PS \cdot QR$।

উত্তর

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, বৃত্তে অন্তর্লিখিত $PQRS$ চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো যথাক্রমে $PQ$ ও $RS$ এবং $QR$ ও $PS$। $PR$ এবং $QS$ চতুর্ভুজটির দুইটি কর্ণ। প্রমাণ করতে হবে যে, $PR \cdot QS = PQ \cdot RS + QR \cdot PS$ অঙ্কন: $\angle QPR$ কে $\angle SPR$ এর ছোট ধরে নিয়ে $P$ বিন্দুতে $PS$ রেখাংশের সাথে $\angle QPR$-এর সমান করে $\angle SPM$ আঁকি যেন $PM$ রেখা $QS$ কর্ণকে $M$ বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ: অঙ্কন অনুসারে $\angle QPR = \angle SPM$ উভয়পক্ষে $\angle RPM$ যোগ করে পাই, $\angle QPR + \angle RPM = \angle SPM + \angle RPM$ অর্থাৎ, $\angle QPM = \angle RPS$ এখন $\triangle PQM$ ও $\triangle PRS$ এর মধ্যে, $\angle QPM = \angle RPS$ $\angle PQS = \angle PRS \ \text{[একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান বলে]}$ এবং অবশিষ্ট $\angle PMQ =$ অবশিষ্ট $\angle PSR$ $\therefore \triangle PQM$ ও $\triangle PRS$ সদৃশকোণী, তাই সদৃশ। $\frac{QM}{RS} = \frac{PQ}{PR}$ অর্থাৎ, $PR \cdot QM = PQ \cdot RS \ \text{... ... ... ... ... ... ... ... (i)}$ আবার, $\triangle PQR$ ও $\triangle PMS$ এর মধ্যে $\angle QPR = \angle SPM \ \text{[অঙ্কন অনুসারে]}$ $\angle PSM = \angle PRQ \ \text{[একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান বলে]}$ এবং অবশিষ্ট $\angle PQR =$ অবশিষ্ট $\angle PMS$ $\therefore \triangle PQR$ ও $\triangle PMS$ সদৃশকোণী, তাই সদৃশ। $\therefore \frac{PS}{PR} = \frac{MS}{QR}$ অর্থাৎ, $PR \cdot MS = QR \cdot PS \ \text{... ... ... ... ... ... ... ... (ii)}$ এখন সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই, $PR \cdot QM + PR \cdot MS = PQ \cdot RS + QR \cdot PS$ বা, $PR (QM + MS) = PQ \cdot RS + QR \cdot PS$ $\therefore PR \cdot QS = PQ \cdot RS + QR \cdot PS$ $[\text{যেহেতু } QM + MS = QS] \ \mathbf{(\text{প্রমাণিত})}$

গ

$PR$ এবং $QS$ দুইটি ঘনকের ধারোর দৈর্ঘ্য হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, $PR = 10\text{ সে.মি.}$ এবং $QS = 8\text{ সে.মি.}$ $PR$ ধার বিশিষ্ট ঘনকের ক্ষেত্রফল $= 6PR^2 = 6 \times (10)^2\text{ বর্গ সে.মি.}$ $= 600\text{ বর্গ সে.মি.}$ আবার, $QS$ ধারবিশিষ্ট ঘনকের ক্ষেত্রফল $= 6QS^2 = 6 \times (8)^2\text{ বর্গ সে.মি.}$ $= 384\text{ বর্গ সে.মি.}$ $\therefore$ ঘনক দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত $= 600 : 384 = 25 : 16\text{ (Ans.)}$

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো