Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

ত্রিভুজটিকে উহার ক্ষুদ্রতর বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয়, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তনের সাংখ্যিক মানের পার্থক্য নির্ণয় কর।

উত্তর: [চিত্র] এখানে, [গণিত] সমকোণী ত্রিভুজ এবং [গণিত] সমকোণ। উদ্দীপকে উল্লেখিত সমকোণী ত্রিভুজটিকে উহার ক্ষুদ্রতম বাহু [গণিত] এর চতুর্দিকে ঘোরালে একটি সমবৃত্তভূমিক কোণক উৎপন্ন হয় যার ভূমির ব্যাসার্ধ, [গণিত] , উচ্চতা, [গণিত] এবং হেলানো উচ্চতা, [গণিত] কোণকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল [গণিত] এবং কোণকটির আয়তন [গণিত] কোণকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তনের সাংখ্যিক মানের পার্থক্য [গণিত]

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১৩ : ঘন জ্যামিতি (Full Syllabus) CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১৩ : ঘন জ্যামিতি (Full Syllabus) · সৃজনশীল

ত্রিভুজটিকে উহার ক্ষুদ্রতর বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন…

উদ্দীপক

ABC ত্রিভুজের AB=12 cm,AC=5 cm,BC=13 cm\mathrm{AB}=12 \mathrm{~cm}, \mathrm{AC}=5 \mathrm{~cm}, \mathrm{BC}=13 \mathrm{~cm} এবং মধ্যমাত্রয়ের ছেদ বিন্দু O।

Barisal · 2016

উত্তর

question image দেওয়া আছে, ABCABC ত্রিভুজে AB=12 cmAB = 12\text{ cm}, AC=5 cmAC = 5\text{ cm} এবং BC=13 cmBC = 13\text{ cm}। ধরি, শীর্ষবিন্দু AA থেকে বিপরীত বাহু BCBC এর উপর অঙ্কিত মধ্যমা ADAD। অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুযায়ী পাই, AB2+AC2=2(AD2+BD2)AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2) বা, 122+52=2AD2+2⋅(BC2)2[∵D,BC এর মধ্যবিন্দু]12^2 + 5^2 = 2AD^2 + 2\cdot\left(\frac{BC}{2}\right)^2 \quad [\because D, BC\text{ এর মধ্যবিন্দু}] বা, 144+25=2AD2+2⋅(132)2144 + 25 = 2AD^2 + 2\cdot\left(\frac{13}{2}\right)^2 বা, 169=2AD2+1692169 = 2AD^2 + \frac{169}{2} বা, 2AD2=169−16922AD^2 = 169 - \frac{169}{2} বা, 2AD2=16922AD^2 = \frac{169}{2} বা, AD2=1694AD^2 = \frac{169}{4} বা, AD=1694∴AD=132=6.5 cmAD = \sqrt{\frac{169}{4}} \quad \therefore AD = \frac{13}{2} = 6.5\text{ cm} ∴\therefore মধ্যমার দৈর্ঘ্য 6.5 cm (Ans.)6.5\text{ cm (Ans.)}

উত্তর

question image দেওয়া আছে, ΔABC\Delta ABC-এ AB=12 cmAB = 12\text{ cm}, AC=5 cmAC = 5\text{ cm} এবং BC=13 cmBC = 13\text{ cm} চিত্রানুযায়ী, অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য থেকে পাই, AC2+BC2=2(CF2+AF2)AC^2 + BC^2 = 2(CF^2 + AF^2) বা, 52+132=2CF2+2⋅(122)25^2 + 13^2 = 2CF^2 + 2\cdot\left(\frac{12}{2}\right)^2 বা, 25+169−72=2CF225 + 169 - 72 = 2CF^2 বা, CF2=1222∴CF2=61CF^2 = \frac{122}{2} \quad \therefore CF^2 = 61 এবং AB2+BC2=2(BE2+AE2)AB^2 + BC^2 = 2(BE^2 + AE^2) বা, 122+132=2BE2+2⋅(52)212^2 + 13^2 = 2BE^2 + 2\cdot\left(\frac{5}{2}\right)^2 বা, 144+169−12.5=2BE2144 + 169 - 12.5 = 2BE^2 বা, BE2=300.52BE^2 = \frac{300.5}{2} ∴BE2=150.25\therefore BE^2 = 150.25 এবং 'ক' হতে পাই, AD2=1694=42.25AD^2 = \frac{169}{4} = 42.25 আমরা জানি, ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দু মধ্যমাগুলোকে 2:12 : 1 বা 1:21 : 2 অনুপাতে বিভক্ত করে। চিত্রে, OO ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দু। ∴ODOA=12\therefore \frac{OD}{OA} = \frac{1}{2} বা, OD+OAOA=1+22[যোজন করে]\text{বা, } \frac{OD + OA}{OA} = \frac{1 + 2}{2} \quad [\text{যোজন করে}] বা, ADOA=32\text{বা, } \frac{AD}{OA} = \frac{3}{2} বা, OA=23AD\text{বা, } OA = \frac{2}{3}AD বা, OA2=49AD2[বর্গ করে]\text{বা, } OA^2 = \frac{4}{9}AD^2 \quad [\text{বর্গ করে}] ∴OA2=49×42.25=1699\therefore OA^2 = \frac{4}{9} \times 42.25 = \frac{169}{9} অনুরূপে পাই, OB2=49×BE2=49×150.25=6019OB^2 = \frac{4}{9} \times BE^2 = \frac{4}{9} \times 150.25 = \frac{601}{9} এবং OC2=49×CF2=49×61=2449OC^2 = \frac{4}{9} \times CF^2 = \frac{4}{9} \times 61 = \frac{244}{9} ∴ 3(OA2+OB2+OC2)=3(1699+6019+2449)\therefore \ 3(OA^2 + OB^2 + OC^2) = 3\left(\frac{169}{9} + \frac{601}{9} + \frac{244}{9}\right) =3×10149=338= 3 \times \frac{1014}{9} = 338 এবং AB2+BC2+AC2=122+132+52=144+169+25AB^2 + BC^2 + AC^2 = 12^2 + 13^2 + 5^2 = 144 + 169 + 25 =338= 338 ∴AB2+BC2+AC2=3(OA2+OB2+OC2) (দেখানো হলো)\therefore AB^2 + BC^2 + AC^2 = 3(OA^2 + OB^2 + OC^2) \ \mathbf{(\text{দেখানো হলো})}

উত্তর

question image এখানে, AB2+AC2=122+52AB^2 + AC^2 = 12^2 + 5^2 =144+25= 144 + 25 =169= 169 =132=BC2= 13^2 = BC^2 ∴ABC\therefore ABC সমকোণী ত্রিভুজ এবং ∠A\angle A সমকোণ। উদ্দীপকে উল্লেখিত সমকোণী ত্রিভুজটিকে উহার ক্ষুদ্রতম বাহু ACAC এর চতুর্দিকে ঘোরালে একটি সমবৃত্তভূমিক কোণক উৎপন্ন হয় যার ভূমির ব্যাসার্ধ, r=AB=12cmr = AB = 12\text{cm}, উচ্চতা, h=AC=5 cmh = AC = 5\text{ cm} এবং হেলানো উচ্চতা, l=BC=13cml = BC = 13\text{cm} ∴\therefore কোণকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল =πr(r+l) বর্গ একক= \pi r(r + l)\text{ বর্গ একক} =3.1416×12×(12+13) বর্গ সে.মি.= 3.1416 \times 12 \times (12 + 13)\text{ বর্গ সে.মি.} =37.6992×25 বর্গ সে.মি.= 37.6992 \times 25\text{ বর্গ সে.মি.} =942.48 বর্গ সে.মি. (প্রায়)= 942.48\text{ বর্গ সে.মি. (প্রায়)} এবং কোণকটির আয়তন =13πr2h ঘন একক= \frac{1}{3} \pi r^2 h\text{ ঘন একক} =13×3.1416×122×5 ঘন সে.মি.= \frac{1}{3} \times 3.1416 \times 12^2 \times 5\text{ ঘন সে.মি.} =753.98 ঘন সে.মি. (প্রায়)= 753.98\text{ ঘন সে.মি. (প্রায়)} ∴\therefore কোণকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তনের সাংখ্যিক মানের পার্থক্য =942.48−753.98=188.5 (প্রায়) (Ans.)= 942.48 - 753.98 = 188.5\text{ (প্রায়) (Ans.)}
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১৩ : ঘন জ্যামিতি (Full Syllabus)
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O′O^{\prime} বিন্দু হতে শীর্ষ বিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টি তিনগুণের সমান।

দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O′O^{\prime} বিন্দু হতে শীর্ষ বিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টি তিনগুণের সমান।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.শীর্ষবিন্দু AA থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

শীর্ষবিন্দু AA থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

P(t,2)P(t, 2) বিন্দুগামী 2y−3x+6=02 y-3 x+6=0 রেখাটি xx অক্ষকে AA এবং yy অক্ষকে BB বিন্দুতে ছেদ করে।

Jessore · 2016

ক
রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।
খ
△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ
△OAB\triangle \mathrm{OAB} কে OB বাহুর চতুর্দিকে একবার ঘুরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।

রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image ΔPQR\Delta \mathrm{PQR} এর ∠R\angle \mathrm{R} একটি সূক্ষ্মকোণ এবং PD⊥QR\mathrm{PD} \perp \mathrm{QR}.

Dhaka · 2016

ক
রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।
খ
△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ
DR=6 cm,PD=4 cm\mathrm{DR}=6 \mathrm{~cm}, \mathrm{PD}=4 \mathrm{~cm} হলে, DRDR ও PDPD কে একটি আয়তক্ষেত্রের যথাক্রমে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ ধরে ঐ আয়তক্ষেত্রকে DRDR বাহুর সাপেক্ষে একবার ঘোরালে উৎপন্ন ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, PQ2+2QR⋅DR=PR2+QR2PQ^2 + 2QR \cdot DR = PR^2 + QR^2

উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, PQ2+2QR⋅DR=PR2+QR2PQ^2 + 2QR \cdot DR = PR^2 + QR^2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র বলতে কী বোঝ?

ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র বলতে কী বোঝ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে PR=10 সে.মি.PR = 10\text{ সে.মি.} এবং QS=8 সে.মি.QS = 8\text{ সে.মি.}।

Comilla · 2017

ক
প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।
খ
প্রমাণ কর যে, PR⋅QS=PQ⋅RS+PS⋅QRPR \cdot QS = PQ \cdot RS + PS \cdot QR।
গ
PRPR এবং QSQS দুইটি ঘনকের ধারোর দৈর্ঘ্য হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.প্রমাণ কর যে, PR⋅QS=PQ⋅RS+PS⋅QRPR \cdot QS = PQ \cdot RS + PS \cdot QR।

প্রমাণ কর যে, PR⋅QS=PQ⋅RS+PS⋅QRPR \cdot QS = PQ \cdot RS + PS \cdot QR।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।

প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

66 সে.মি., ৪৪ সে.মি. এবং r সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট তিনটি কঠিন ধাতব গোলক গলিয়ে 99 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি কঠিন গোলকে পরিণত করা হলো যা সিলিন্ডার আকৃতির একটি বাক্সে ঠিকভাবে এঁটে যায়।

Barisal · 2017

ক
66 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট গোলকটির পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
rr এর মান নির্ণয় কর।
গ
বাক্সটির অনধিকৃত অংশের আয়তন নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O [গণিত] বিন্দুশীর্ষবিন্দু [গণিত] থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।[গণিত] কে OB বাহুর চতুর্দিকে একবার ঘুরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তার সমগ্রতলের ক্ষ[গণিত] এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, [গণিত] ও [গণিত] কে একটি আয়তক্ষেত্রের যথাক্রমে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ ধরে ঐউদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, [গণিত]ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র বলতে কী বোঝ?[গণিত] এবং [গণিত] দুইটি ঘনকের ধারোর দৈর্ঘ্য হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয়প্রমাণ কর যে, [গণিত] ।প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।বাক্সটির অনধিকৃত অংশের আয়তন নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন