প্রমাণ কর যে, PQ² = PR.PA + QS.QA.

উত্তর: [চিত্র] বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, PQ ব্যাসের ওপর PQRS একটি অর্ধবৃত্ত। PR ও QS জ্যাদ্বয় পরস্পর A বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, PQ² = PR.PA + QS.QA। অঙ্কন: S, R যোগ করি। প্রমাণ: ∆RAS ও ∆PAQ-এ ∠ASR = ∠APQ [একই চাপ QR-এর ওপর অবস্থিত] ∠SAR = ∠PAQ [ বিপ্রতীপ কোণ বলে ] এবং ∠ARS = ∠PQA [একই চাপ PS এর উপর অবস্থিত] ত্রিভুজ দুইটি সদৃশকোণী। ∴ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ। [গণিত] বা, PA.RA = QA.SA বা, PA.RA + PA² = QA.SA + PA² [উভয়পক্ষে PA² যোগ করে] বা, PA (RA + PA) = QA.SA + SA² + PS² [PQ ব্যাস তাই ∠PSA= ∠PSQ = 90°; ∴ PA² = PS² + SA²] বা, PA.PR = SA (QA + SA) + PS² বা, PA.PR = SA.QS + PQ² - QS² [∠PSQ = 90° তাই ∆PQS -এ PQ² = PS² + QS² বা, PS² = PQ² - QS²] বা, PA.PR = PQ² – QS (QS – SA) বা, PA.PR = PQ² - QS.QA ∴ PQ² = PA.PR + QS. QA (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১৩ : ঘন জ্যামিতি (Full Syllabus) CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক