Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: [চিত্র] [গণিত] -এ ত্রিভুজ সূত্র হতে পাই, [গণিত] ∴ [গণিত] .. (i) [Q, BC এর মধ্যবিন্দু বলে [গণিত] ] [গণিত] -এ [গণিত] ∴ [গণিত] ∴ [গণিত] .. (ii) [P, AB এর মধ্যবিন্দু বলে [গণিত] ] এবং ∆ABM-এ [গণিত] বা, [গণিত] ∴ [গণিত] .. (iii) [M, AC এর মধ্যবিন্দু বলে [গণিত] ] এখন, (i), (ii) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] = [গণিত] = [গণিত] = [গণিত] ∴ [গণিত] (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১৩ : ঘন জ্যামিতি (Full Syllabus) CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১৩ : ঘন জ্যামিতি (Full Syllabus) · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের AB, BC, CD ও AD বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q, R ও S। AC কর্ণের মধ্যবিন্দু M.

Barisal · 2019

উত্তর

ছবির লেখাটি হুবহু নিচে তুলে ধরা হলো: গোলকের ব্যাস 7 সে.মি. হলে, ব্যাসার্ধ, r=72=3.5r = \frac{7}{2} = 3.5 সে.মি. ∴ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল =4πr2= 4\pi r^2 বর্গ একক =4π×3.52= 4\pi \times 3.5^2 =153.94= 153.94 বর্গ সে.মি. (প্রায়) (Ans.)

উত্তর

question image মনে করি, ABCDABCD চতুর্ভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু P,Q,R,SP, Q, R, S। PP ও QQ, QQ ও RR, RR ও SS, SS ও PP যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, PQRSPQRS একটি সামান্তরিক মনে করি, AB→=a‾,\overrightarrow{A B}=\underline{a},BC→\overrightarrow{B C}=b‾,=\underline{b},CD→\overrightarrow{C D}=c‾,=\underline{c},DA→\overrightarrow{D A}=d‾=\underline{d} তাহলে, PQ→=\overrightarrow{P Q}=PB→\overrightarrow{P B}++BQ→\overrightarrow{B Q}=12=\frac{1}{2}AB→\overrightarrow{A B}+12+\frac{1}{2}BC→\overrightarrow{B C}=12(a‾+b‾)=\frac{1}{2}(\underline{a}+\underline{b}) অনুরূপভাবে, QR→=12(b‾+c‾),\overrightarrow{Q R}=\frac{1}{2}(\underline{b}+\underline{c}),RS→\overrightarrow{R S}=12(c‾+d‾)=\frac{1}{2}(\underline{c}+\underline{d}) এবং SP→=12(d‾+a‾)\overrightarrow{S P}=\frac{1}{2}(\underline{d}+\underline{a}) কিন্তু (a‾+b‾)+(c‾+d‾)=(\underline{a}+\underline{b})+(\underline{c}+\underline{d})=AC→\overrightarrow{A C}++CA→\overrightarrow{C A}==AC→\overrightarrow{A C}−-AC→\overrightarrow{A C}=0‾=\underline{0} অর্থাৎ (a‾+b‾)=−(c‾+d‾)(\underline{a}+\underline{b})=-(\underline{c}+\underline{d}) ∴\thereforePQ→\overrightarrow{P Q}=12(a‾+b‾)=−12(c‾+d‾)=−=\frac{1}{2}(\underline{a}+\underline{b})=-\frac{1}{2}(\underline{c}+\underline{d})=-RS→\overrightarrow{R S}=SR→=\overrightarrow{S R} ∴PQ\therefore P Q এবং SRS R সমান ও সমান্তরাল। অনুরূপভাবে, QRQ R এবং PSP S সমান ও সমান্তরাল। ∴PQRS\therefore P Q R S একটি সামান্তরিক।

উত্তর

question image ∆ABQ∆ABQ-এ ত্রিভুজ সূত্র হতে পাই, AQ→=AB→+BQ→\overrightarrow{\mathrm{AQ}} = \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}} ∴ AQ→=AB→+12BC→\overrightarrow{\mathrm{AQ}} =\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}
……..(i)[Q,BC\ldots\ldots.. (i) [Q, BC
এর মধ্যবিন্দু বলে BQ⃗=12BC⃗\vec{\mathrm{BQ}}=\frac{1}{2}\vec{\mathrm{BC}}] ∆ACP∆ACP-এ AP→=AC→+CP→\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \overrightarrow{\mathrm{AC}} + \overrightarrow{\mathrm{CP}} ∴ CP→=AP→−AC→\overrightarrow{\mathrm{CP}} = \overrightarrow{\mathrm{AP}} - \overrightarrow{\mathrm{AC}} ∴CP→=12AB→−AC→\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}
……..(ii)[P,AB\ldots\ldots.. (ii) [P, AB
এর মধ্যবিন্দু বলে AP→=12AB→\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}] এবং ∆ABM-এ AM→=AB→+BM→\overrightarrow{\mathrm{AM}} = \overrightarrow{\mathrm{AB}} +\overrightarrow{\mathrm{BM}} বা, BM→=AM→−AB→\overrightarrow{\mathrm{BM}} = \overrightarrow{\mathrm{AM}} - \overrightarrow{\mathrm{AB}} ∴ BM→=12AC→−AB→\overrightarrow{\mathrm{BM}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}
……..(iii)[M,AC\ldots\ldots.. (iii) [M, AC
এর মধ্যবিন্দু বলে AM→=12AC→\overrightarrow{\mathrm{AM}} = \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}] এখন, (i), (ii) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই, AQ→+\overrightarrow{A Q}+CP→\overrightarrow{C P}++BM→\overrightarrow{B M}==AB→\overrightarrow{A B}+12+\frac{1}{2}BC→\overrightarrow{B C}+12+\frac{1}{2}AB→\overrightarrow{A B}−-AC→\overrightarrow{A C}+12+\frac{1}{2}AC→\overrightarrow{A C}−AB→-\overrightarrow{A B} বা, AQ→+BM→+CP→\overrightarrow{\mathrm{AQ}}+\overrightarrow{\mathrm{BM}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}}=12AB→+12BC→−12AC→\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}} = 12(AB→+BC→)−12AC→\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}})-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}} = 12AC→−12AC→=0‾\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\underline{0} ∴ AQ→+BM→+CP→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AQ}} + \overrightarrow{\mathrm{BM}} + \overrightarrow{\mathrm{CP}} = \underline{0} (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১৩ : ঘন জ্যামিতি (Full Syllabus)
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABC ত্রিভুজের AB=12 cm,AC=5 cm,BC=13 cm\mathrm{AB}=12 \mathrm{~cm}, \mathrm{AC}=5 \mathrm{~cm}, \mathrm{BC}=13 \mathrm{~cm} এবং মধ্যমাত্রয়ের ছেদ বিন্দু O।

Barisal · 2016

ক
শীর্ষবিন্দু AA থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O′O^{\prime} বিন্দু হতে শীর্ষ বিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টি তিনগুণের সমান।
গ
ত্রিভুজটিকে উহার ক্ষুদ্রতর বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয়, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তনের সাংখ্যিক মানের পার্থক্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O′O^{\prime} বিন্দু হতে শীর্ষ বিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টি তিনগুণের সমান।

দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O′O^{\prime} বিন্দু হতে শীর্ষ বিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টি তিনগুণের সমান।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শীর্ষবিন্দু AA থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

শীর্ষবিন্দু AA থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

P(t,2)P(t, 2) বিন্দুগামী 2y−3x+6=02 y-3 x+6=0 রেখাটি xx অক্ষকে AA এবং yy অক্ষকে BB বিন্দুতে ছেদ করে।

Jessore · 2016

ক
রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।
খ
△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ
△OAB\triangle \mathrm{OAB} কে OB বাহুর চতুর্দিকে একবার ঘুরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।

রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image ΔPQR\Delta \mathrm{PQR} এর ∠R\angle \mathrm{R} একটি সূক্ষ্মকোণ এবং PD⊥QR\mathrm{PD} \perp \mathrm{QR}.

Dhaka · 2016

ক
রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।
খ
△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ
DR=6 cm,PD=4 cm\mathrm{DR}=6 \mathrm{~cm}, \mathrm{PD}=4 \mathrm{~cm} হলে, DRDR ও PDPD কে একটি আয়তক্ষেত্রের যথাক্রমে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ ধরে ঐ আয়তক্ষেত্রকে DRDR বাহুর সাপেক্ষে একবার ঘোরালে উৎপন্ন ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, PQ2+2QR⋅DR=PR2+QR2PQ^2 + 2QR \cdot DR = PR^2 + QR^2

উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, PQ2+2QR⋅DR=PR2+QR2PQ^2 + 2QR \cdot DR = PR^2 + QR^2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র বলতে কী বোঝ?

ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র বলতে কী বোঝ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে PR=10 সে.মি.PR = 10\text{ সে.মি.} এবং QS=8 সে.মি.QS = 8\text{ সে.মি.}।

Comilla · 2017

ক
প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।
খ
প্রমাণ কর যে, PR⋅QS=PQ⋅RS+PS⋅QRPR \cdot QS = PQ \cdot RS + PS \cdot QR।
গ
PRPR এবং QSQS দুইটি ঘনকের ধারোর দৈর্ঘ্য হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.প্রমাণ কর যে, PR⋅QS=PQ⋅RS+PS⋅QRPR \cdot QS = PQ \cdot RS + PS \cdot QR।

প্রমাণ কর যে, PR⋅QS=PQ⋅RS+PS⋅QRPR \cdot QS = PQ \cdot RS + PS \cdot QR।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।

প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

ত্রিভুজটিকে উহার ক্ষুদ্রতর বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয়, তার সমগ্দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O [গণিত] বিন্দুশীর্ষবিন্দু [গণিত] থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।[গণিত] কে OB বাহুর চতুর্দিকে একবার ঘুরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তার সমগ্রতলের ক্ষ[গণিত] এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, [গণিত] ও [গণিত] কে একটি আয়তক্ষেত্রের যথাক্রমে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ ধরে ঐউদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, [গণিত]ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র বলতে কী বোঝ?[গণিত] এবং [গণিত] দুইটি ঘনকের ধারোর দৈর্ঘ্য হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয়প্রমাণ কর যে, [গণিত] ।প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন