Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

বাক্সটির অনধিকৃত অংশের আয়তন নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, কঠিন গোলকের ব্যাস = 18 সে.মি. ∴ কঠিন গোলকের ব্যাসার্ধ, [গণিত] সে.মি. যেহেতু, কঠিন গোলকটি সিলিন্ডার আকৃতির বাক্সে ঠিকভাবে এঁটে যায়। তাই, গোলকের ব্যাসার্ধ এবং সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ সমান হবে এবং গোলকের ব্যাস হবে, সিলিন্ডারটির উচ্চতার সমান। [চিত্র] ∴ সিলিন্ডারটির উচ্চতা, [গণিত] একক [গণিত] সে.মি. [গণিত] সে.মি. আমরা জানি, গোলকটির আয়তন [গণিত] ঘন একক [গণিত] ঘন সে.মি. [গণিত] ঘন সে.মি. (প্রায়) ∴ সিলিন্ডারের আয়তন [গণিত] ঘন একক [গণিত] ঘন সে.মি. [গণিত] ঘন সে.মি. (প্রায়) ∴ অনধিকৃত অংশের আয়তন = সিলিন্ডারের আয়তন - গোলকের আয়তন [গণিত] ঘন সে.মি. [গণিত] ঘন সে.মি. (প্রায়) সুতরাং, বাক্সটির অনধিকৃত অংশের আয়তন 1526.81 ঘন সে.মি. (প্রায়) [Ans.]

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১৩ : ঘন জ্যামিতি (Full Syllabus) CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১৩ : ঘন জ্যামিতি (Full Syllabus) · সৃজনশীল

বাক্সটির অনধিকৃত অংশের আয়তন নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

12 সে.মি., 16 সে.মি. এবং r সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট তিনটি কঠিন লোহার গোলক গলিয়ে 18 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট একটি কঠিন গোলক তৈরি করা হলো যা একটি সিলিন্ডার আকৃতির বাক্সে ঠিকভাবে এঁটে যায়।

Comilla · 2025

উত্তর

দেওয়া আছে, একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতা, h=7\mathrm{h}=7 সে মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ, r=4r=4 সে.মি.। question image ∴ কোণকের হেলানো উচ্চতা ll হলে, l=r2+h2l =\sqrt{r^2+h^2} একক =42+72=\sqrt{4^2+7^2} সে.মি. =16+49=\sqrt{16+49} সে.মি. =65=\sqrt{65} সে.মি. =8.06=8.06 সে.মি. (প্রায়) আমরা জানি, কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল =πrl=\pi \mathrm{r} l বর্গ একক =π×4×8.06=\pi \times 4 \times 8.06 বর্গ সে.মি. =101.284=101.284 বর্গ সেমি. (প্রায়) [Ans.]

উত্তর

দেওয়া আছে, তিনটি কঠিন গোলকের ব্যাস যথাত্রুমে 12, 16, r সে.মি ∴ তিনটি কঠিন লোহার গোলকের ব্যাসাধ যথাক্রমে 6,8,r26,8, \frac{r}{2} সে.মি. যেহেতু, এই তিনটি কঠিন লোহার গোলককে গলিয়ে 18-সে.মি. ব্যাস অর্থাৎ, 9 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি কঠিন গোলক তৈরি করা হয়েছে। অতএব, ঐ তিনটি কঠিন লোহার গোলকের আয়তনের সমষ্টি হবে 9 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট কঠিন গোলকের আয়তনের সমান। আমরা জানি, গোলকের আয়তন =43πr3=\frac{4}{3} \pi r^3 ঘন একক ∴6,8\therefore 6,8 ও r2\frac{r}{2} সে.মি. ব্যাসার্ধের কঠিন লোহার গোলকের আয়তনের সমষ্টি, A={43π×63+43π×83+43π(r2)3}A =\left\{\frac{4}{3} \pi \times 6^3+\frac{4}{3} \pi \times 8^3+\frac{4}{3} \pi\left(\frac{r}{2}\right)^3\right\} ঘন সে.মি. =43π×(63+83+r38)=\frac{4}{3} \pi \times\left(6^3+8^3+\frac{r^3}{8}\right) ঘন সে.মি. এবং 9 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট কঠিন গোলকের আয়তন, B=43π×93\mathrm{B}=\frac{4}{3} \pi \times 9^3 ঘন সে.মি. প্রশ্নমতে, A=B\mathrm{A}=\mathrm{B} বা, 43π×(63+83+r38)=43π×93\frac{4}{3} \pi \times\left(6^3+8^3+\frac{r^3}{8}\right)=\frac{4}{3} \pi \times 9^3 বা, 63+83+r38=936^3+8^3+\frac{r^3}{8}=9^3 বা, 216+512+r38=729216+512+\frac{\mathrm{r}^3}{8}=729 বা, r38=729−216−512\frac{r^3}{8}=729-216-512 বা, r38=1\frac{\mathrm{r}^3}{8}=1 বা, r3=8=23r^3=8=2^3 ∴r=2\therefore r=2 অতএব, r এর মান 2 সে.মি.। [Ans.]

উত্তর

দেওয়া আছে, কঠিন গোলকের ব্যাস = 18 সে.মি. ∴ কঠিন গোলকের ব্যাসার্ধ, r=182=9r=\frac{18}{2}=9 সে.মি. যেহেতু, কঠিন গোলকটি সিলিন্ডার আকৃতির বাক্সে ঠিকভাবে এঁটে যায়। তাই, গোলকের ব্যাসার্ধ এবং সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ সমান হবে এবং গোলকের ব্যাস হবে, সিলিন্ডারটির উচ্চতার সমান। question image ∴ সিলিন্ডারটির উচ্চতা, h=2r\mathrm{h}=2 \mathrm{r} একক =2×9=2 \times 9সে.মি. =18=18 সে.মি. আমরা জানি, গোলকটির আয়তন =43πr3=\frac{4}{3} \pi r^3 ঘন একক =43π×93=\frac{4}{3} \pi \times 9^3 ঘন সে.মি. =3053.63=3053.63 ঘন সে.মি. (প্রায়) ∴ সিলিন্ডারের আয়তন =πr2h=\pi r^2 h ঘন একক =π×92×18=\pi \times 9^2 \times 18 ঘন সে.মি. =4580.44=4580.44 ঘন সে.মি. (প্রায়) ∴ অনধিকৃত অংশের আয়তন = সিলিন্ডারের আয়তন - গোলকের আয়তন =(4580.44−3053.63)=(4580.44-3053.63) ঘন সে.মি. =1526.81=1526.81 ঘন সে.মি. (প্রায়) সুতরাং, বাক্সটির অনধিকৃত অংশের আয়তন 1526.81 ঘন সে.মি. (প্রায়) [Ans.]
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১৩ : ঘন জ্যামিতি (Full Syllabus)
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABC ত্রিভুজের AB=12 cm,AC=5 cm,BC=13 cm\mathrm{AB}=12 \mathrm{~cm}, \mathrm{AC}=5 \mathrm{~cm}, \mathrm{BC}=13 \mathrm{~cm} এবং মধ্যমাত্রয়ের ছেদ বিন্দু O।

Barisal · 2016

ক
শীর্ষবিন্দু AA থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O′O^{\prime} বিন্দু হতে শীর্ষ বিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টি তিনগুণের সমান।
গ
ত্রিভুজটিকে উহার ক্ষুদ্রতর বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয়, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তনের সাংখ্যিক মানের পার্থক্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O′O^{\prime} বিন্দু হতে শীর্ষ বিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টি তিনগুণের সমান।

দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O′O^{\prime} বিন্দু হতে শীর্ষ বিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টি তিনগুণের সমান।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শীর্ষবিন্দু AA থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

শীর্ষবিন্দু AA থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

P(t,2)P(t, 2) বিন্দুগামী 2y−3x+6=02 y-3 x+6=0 রেখাটি xx অক্ষকে AA এবং yy অক্ষকে BB বিন্দুতে ছেদ করে।

Jessore · 2016

ক
রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।
খ
△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ
△OAB\triangle \mathrm{OAB} কে OB বাহুর চতুর্দিকে একবার ঘুরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।

রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image ΔPQR\Delta \mathrm{PQR} এর ∠R\angle \mathrm{R} একটি সূক্ষ্মকোণ এবং PD⊥QR\mathrm{PD} \perp \mathrm{QR}.

Dhaka · 2016

ক
রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।
খ
△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ
DR=6 cm,PD=4 cm\mathrm{DR}=6 \mathrm{~cm}, \mathrm{PD}=4 \mathrm{~cm} হলে, DRDR ও PDPD কে একটি আয়তক্ষেত্রের যথাক্রমে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ ধরে ঐ আয়তক্ষেত্রকে DRDR বাহুর সাপেক্ষে একবার ঘোরালে উৎপন্ন ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, PQ2+2QR⋅DR=PR2+QR2PQ^2 + 2QR \cdot DR = PR^2 + QR^2

উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, PQ2+2QR⋅DR=PR2+QR2PQ^2 + 2QR \cdot DR = PR^2 + QR^2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র বলতে কী বোঝ?

ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র বলতে কী বোঝ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে PR=10 সে.মি.PR = 10\text{ সে.মি.} এবং QS=8 সে.মি.QS = 8\text{ সে.মি.}।

Comilla · 2017

ক
প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।
খ
প্রমাণ কর যে, PR⋅QS=PQ⋅RS+PS⋅QRPR \cdot QS = PQ \cdot RS + PS \cdot QR।
গ
PRPR এবং QSQS দুইটি ঘনকের ধারোর দৈর্ঘ্য হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.প্রমাণ কর যে, PR⋅QS=PQ⋅RS+PS⋅QRPR \cdot QS = PQ \cdot RS + PS \cdot QR।

প্রমাণ কর যে, PR⋅QS=PQ⋅RS+PS⋅QRPR \cdot QS = PQ \cdot RS + PS \cdot QR।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।

প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

ত্রিভুজটিকে উহার ক্ষুদ্রতর বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয়, তার সমগ্দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O [গণিত] বিন্দুশীর্ষবিন্দু [গণিত] থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।[গণিত] কে OB বাহুর চতুর্দিকে একবার ঘুরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তার সমগ্রতলের ক্ষ[গণিত] এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, [গণিত] ও [গণিত] কে একটি আয়তক্ষেত্রের যথাক্রমে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ ধরে ঐউদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, [গণিত]ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র বলতে কী বোঝ?[গণিত] এবং [গণিত] দুইটি ঘনকের ধারোর দৈর্ঘ্য হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয়প্রমাণ কর যে, [গণিত] ।প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন