Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

(ii)নং থেকে ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: [চিত্র] ABCD ট্রাপিজিয়ামের AC এবং BD কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q । P, Q যোগ করি । প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] এবং [গণিত] প্রমাণ : মনে করি, কোনো ভেক্টর মূলবিন্দুর সাপেক্ষে A, B, C, D এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে [গণিত] বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর [গণিত] এর মধ্যবিন্দু] এবং Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর [গণিত] এর মধ্যবিন্দু] [গণিত] হওয়ায় ( [গণিত] ) ভেক্টরটিও [গণিত] ও [গণিত] ভেক্টরের সমান্তরাল হবে।তাহলে [গণিত] ভেক্টরটিও [গণিত] ও [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের সমান্তরাল হবে। কারণ, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১৩ : ঘন জ্যামিতি (Full Syllabus) CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১৩ : ঘন জ্যামিতি (Full Syllabus) · সৃজনশীল

(ii)নং থেকে ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

(i) 4cm4 cm ব্যাসার্ধের একটি নিরেট গোলককে গলিয়ে 6cm6 cm বহিঃব্যাসার্ধবিশিষ্ট ও সমভাবে পুরু একটি ফাঁপা গোলক প্রস্তুত করা হলো। (ii) ABCDABCD ট্রাপিজিয়ামের কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু PP এবং QQ যেখানে AB∥DC\mathrm{AB} \| \mathrm{DC} এবং AB>DC\mathrm{AB}>\mathrm{DC}.

Comilla · 2024

উত্তর

দেওয়া আছে, নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ, r=4 cmr = 4 \mathrm{~cm} ∴\therefore গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল =4πr2=4 \pi \mathrm{r}^2 =(4×3.1416×42)=\left(4 \times 3.1416 \times 4^2\right) বর্গ সেমি =201.06=201.06 বর্গ সেমি (প্রায়) (Ans.)

উত্তর

নিরেট গোলকের আয়তন =43πr3=\frac{4}{3} \pi \mathrm{r}^3 =43×3.1416×43=\frac{4}{3} \times 3.1416 \times 4^3 ঘন সেমি =268.08=268.08 ঘন সেমি (প্রায়) যেহেতু নিরেট গোলককে গলিয়ে ফাঁপা গোলক তৈরি করা হয়েছে, ∴ ফাঁপা গোলকের লোহার আয়তন =268.08=268.08 ঘন সেমি (প্রায়) ধরি, ফাঁপা গোলকের অন্তঃব্যাসার্ধ =r1=r_1 সেমি দেওয়া আছে, ফাঁপা গোলকের বহিঃব্যাসার্ধ r2=6r_2=6 সেমি শর্তমতে, 43×π×r23−43×πr13=268.08\frac{4}{3} \times \pi \times \mathrm{r}_2{ }^3-\frac{4}{3} \times \pi \mathrm{r}_1{ }^3=268.08 বা, 43π(r23−r13)=268.08\frac{4}{3} \pi\left(r_2{ }^3-r_1{ }^3\right)=268.08 বা, 63−r13=64[∵r2=66^3-r_1{ }^3=64\left[\because r_2=6\right. সেমি ]] বা, 216−r13=64216-\mathrm{r}_1{ }^3=64 বা, r13=216−64\mathrm{r}_1^3=216-64 বা, r13=152\mathrm{r}_1^3=152 ∴r1=5.337\therefore \mathrm{r}_1=5.337 ∴\therefore ফাঁপা গোলকের অন্তঃব্যাসার্ধ = 5.3375.337 সেমি (প্রায়) ∴\therefore ফাঁপা গোলকটির পুরুত্ব = (গোলকের বহিঃব্যাসার্ধ - গোলকের অন্তঃব্যাসার্ধ) = (6-5.337) সেমি = 0.663 সেমি (প্রায়) (Ans.)

উত্তর

question image ABCD ট্রাপিজিয়ামের AC এবং BD কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q । P, Q যোগ করি । প্রমাণ করতে হবে যে, PQ∥AB∥DCP Q\|A B\| D C এবং PQ=12(AB−DC)\mathrm{PQ}=\frac{1}{2}(\mathrm{AB}-\mathrm{DC}) প্রমাণ : মনে করি, কোনো ভেক্টর মূলবিন্দুর সাপেক্ষে A, B, C, D এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে a‾,b‾,c‾,d‾\underline{\mathrm{a}}, \underline{\mathrm{b}}, \underline{\mathrm{c}}, \underline{\mathrm{d}} AB→=b‾−a‾ এবং DC→=c‾−d‾\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\underline{\mathrm{b}}-\underline{\mathrm{a}} \text{ এবং } \overrightarrow{\mathrm{DC}}=\underline{\mathrm{c}}-\underline{\mathrm{d}} ∴P\therefore \mathrm{P} বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর =12(a‾+c‾)[∵P,AC=\frac{1}{2}(\underline{\mathrm{a}}+\underline{\mathrm{c}})[\because \mathrm{P}, \mathrm{AC} এর মধ্যবিন্দু] এবং Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর =12( b‾+d‾)[∵Q,BD=\frac{1}{2}(\underline{\mathrm{~b}}+\underline{\mathrm{d}})[\because \mathrm{Q}, \mathrm{BD} এর মধ্যবিন্দু] ∴PQ→=12( b‾+d‾)−12(a‾+c‾)\therefore \overrightarrow{\mathrm{PQ}} =\frac{1}{2}(\underline{\mathrm{~b}}+\underline{\mathrm{d}})-\frac{1}{2}(\underline{\mathrm{a}}+\underline{\mathrm{c}}) =12( b+d−a−c)=\frac{1}{2}(\mathrm{~b}+\mathrm{d}-\mathrm{a}-\mathrm{c}) =12{( b‾−a‾)−(c‾−d‾)}=\frac{1}{2}\{(\underline{\mathrm{~b}}-\underline{\mathrm{a}})-(\underline{\mathrm{c}}-\underline{\mathrm{d}})\} =12(AB→−DC→)=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{DC}}) DC∥AB\mathrm{DC} \| \mathrm{AB} হওয়ায় ( AB→−DC→\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{DC}} ) ভেক্টরটিও DC→\overrightarrow{\mathrm{DC}} ও AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ভেক্টরের সমান্তরাল হবে।তাহলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরটিও DC→\overrightarrow{\mathrm{DC}} ও AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ভেক্টরদ্বয়ের সমান্তরাল হবে। কারণ, PQ→=12(AB→−DC→)\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{DC}}) বা, ∣PQ→∣=12∣AB→−DC→∣|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{DC}}| ∴PQ=12(AB−DC)\therefore \mathrm{PQ}=\frac{1}{2}(\mathrm{AB}-\mathrm{DC}) ∴PQ∥AB∥DC\therefore \mathrm{PQ}\|\mathrm{AB}\| \mathrm{DC} এবং PQ=12(AB−DC)\mathrm{PQ}=\frac{1}{2}(\mathrm{AB}-\mathrm{DC}) (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১৩ : ঘন জ্যামিতি (Full Syllabus)
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABC ত্রিভুজের AB=12 cm,AC=5 cm,BC=13 cm\mathrm{AB}=12 \mathrm{~cm}, \mathrm{AC}=5 \mathrm{~cm}, \mathrm{BC}=13 \mathrm{~cm} এবং মধ্যমাত্রয়ের ছেদ বিন্দু O।

Barisal · 2016

ক
শীর্ষবিন্দু AA থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O′O^{\prime} বিন্দু হতে শীর্ষ বিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টি তিনগুণের সমান।
গ
ত্রিভুজটিকে উহার ক্ষুদ্রতর বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয়, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তনের সাংখ্যিক মানের পার্থক্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O′O^{\prime} বিন্দু হতে শীর্ষ বিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টি তিনগুণের সমান।

দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O′O^{\prime} বিন্দু হতে শীর্ষ বিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টি তিনগুণের সমান।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শীর্ষবিন্দু AA থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

শীর্ষবিন্দু AA থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

P(t,2)P(t, 2) বিন্দুগামী 2y−3x+6=02 y-3 x+6=0 রেখাটি xx অক্ষকে AA এবং yy অক্ষকে BB বিন্দুতে ছেদ করে।

Jessore · 2016

ক
রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।
খ
△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ
△OAB\triangle \mathrm{OAB} কে OB বাহুর চতুর্দিকে একবার ঘুরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।

রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image ΔPQR\Delta \mathrm{PQR} এর ∠R\angle \mathrm{R} একটি সূক্ষ্মকোণ এবং PD⊥QR\mathrm{PD} \perp \mathrm{QR}.

Dhaka · 2016

ক
রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।
খ
△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ
DR=6 cm,PD=4 cm\mathrm{DR}=6 \mathrm{~cm}, \mathrm{PD}=4 \mathrm{~cm} হলে, DRDR ও PDPD কে একটি আয়তক্ষেত্রের যথাক্রমে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ ধরে ঐ আয়তক্ষেত্রকে DRDR বাহুর সাপেক্ষে একবার ঘোরালে উৎপন্ন ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, PQ2+2QR⋅DR=PR2+QR2PQ^2 + 2QR \cdot DR = PR^2 + QR^2

উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, PQ2+2QR⋅DR=PR2+QR2PQ^2 + 2QR \cdot DR = PR^2 + QR^2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র বলতে কী বোঝ?

ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র বলতে কী বোঝ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে PR=10 সে.মি.PR = 10\text{ সে.মি.} এবং QS=8 সে.মি.QS = 8\text{ সে.মি.}।

Comilla · 2017

ক
প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।
খ
প্রমাণ কর যে, PR⋅QS=PQ⋅RS+PS⋅QRPR \cdot QS = PQ \cdot RS + PS \cdot QR।
গ
PRPR এবং QSQS দুইটি ঘনকের ধারোর দৈর্ঘ্য হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.প্রমাণ কর যে, PR⋅QS=PQ⋅RS+PS⋅QRPR \cdot QS = PQ \cdot RS + PS \cdot QR।

প্রমাণ কর যে, PR⋅QS=PQ⋅RS+PS⋅QRPR \cdot QS = PQ \cdot RS + PS \cdot QR।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।

প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

ত্রিভুজটিকে উহার ক্ষুদ্রতর বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয়, তার সমগ্দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O [গণিত] বিন্দুশীর্ষবিন্দু [গণিত] থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।[গণিত] কে OB বাহুর চতুর্দিকে একবার ঘুরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তার সমগ্রতলের ক্ষ[গণিত] এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, [গণিত] ও [গণিত] কে একটি আয়তক্ষেত্রের যথাক্রমে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ ধরে ঐউদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, [গণিত]ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র বলতে কী বোঝ?[গণিত] এবং [গণিত] দুইটি ঘনকের ধারোর দৈর্ঘ্য হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয়প্রমাণ কর যে, [গণিত] ।প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন