Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: [চিত্র] দেওয়া আছে, [গণিত] এর [গণিত] এবং AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F । প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] প্রমাণ: [গণিত] এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] . . . . . . (i) আবার, [গণিত] বা, [গণিত] [(i)নং হতে] বা, [গণিত] . . . . . . (ii) আবার, [গণিত] এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] নং হতে] বা, [গণিত] এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [(i) নং হতে] বা, [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] [প্রমাণিত]

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১৩ : ঘন জ্যামিতি (Full Syllabus) CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১৩ : ঘন জ্যামিতি (Full Syllabus) · সৃজনশীল

ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA এবং AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D,ED, E ও FF ।

Mymensingh · 2025

উত্তর

question image দেওয়া আছে, গোলকের ব্যাসার্ধ, r=5 সে.মি. আমরা জানি, গোলকের আয়তন, V=43πr3\mathrm{V}=\frac{4}{3} \pi \mathrm{r}^3 ঘন একক =43π×53=\frac{4}{3} \pi \times 5^3 ঘন সে.মি. =5003π=\frac{500}{3} \pi ঘন সে.মি. =523.6=523.6 ঘন সে.মি. (প্রায়)

উত্তর

question image চিত্র অনুযায়ী, ∠B=90∘,AB=6\angle \mathrm{B}=90^{\circ}, \mathrm{AB}=6 সে.মি. ও AC=10\mathrm{AC}=10 সে.মি. ∴△ABC\therefore \triangle \mathrm{ABC} একটি সমকোণী ত্রিভুজ। ABC সমকোণী ত্রিভুজকে BC বাহুর চতুর্দিকে ঘুরালে একটি সমবৃত্তভূমিক কোণক উৎপন্ন হয়। ভূমির ব্যাসার্ধ, r=AB = 6 সে.মি. এবং হেলানো উচ্চতা, l=AC=10l=\mathrm{AC}=10 সে.মি. ধরি, উচ্চতা, h=BC\mathrm{h}=\mathrm{BC} পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, AC2=AB2+BC2\mathrm{AC}^2=\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2 বা, BC=AC2−AB2\mathrm{BC}=\sqrt{\mathrm{AC}^2-\mathrm{AB}^2} বা, BC=102−62\mathrm{BC}=\sqrt{10^2-6^2} [মান বসিয়ে] =100−36=\sqrt{100-36} =64=\sqrt{64} ∴BC=8\therefore \mathrm{BC}=8 সে.মি. ∴ কোণকের উচ্চতা, h=8\mathrm{h}=8 সে.মি. ∴ সমবৃত্তভূমিক কোণকের- সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল =πr(r+l)=\pi r(r+l) বর্গ একক =π×6(6+10)=\pi \times 6(6+10) বর্গ সে.মি. =96π=96 \pi বর্গ সে.মি =301.6=301.6 বর্গ সে.মি. (প্রায়) ঘন সে.মি. এবং আয়তন =13πr2h=\frac{1}{3} \pi r^2 h ঘন একক =13π×62×8=\frac{1}{3} \pi \times 6^2 \times 8 ঘন সে.মি. =96π=96 \pi ঘন সে.মি. =301.6=301.6 ঘন সে.মি. (পায়) [Ans.]

উত্তর

question image দেওয়া আছে, △ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC,CA\mathrm{BC}, \mathrm{CA} এবং AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F । প্রমাণ করতে হবে যে, AD‾+BE‾+CF‾=0‾\overline{\mathrm{AD}}+\overline{\mathrm{BE}}+\overline{\mathrm{CF}}=\underline{0} প্রমাণ: △ABE\triangle \mathrm{ABE} এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই, AB‾+BE‾=AE‾\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BE}}=\overline{\mathrm{AE}} বা, AB‾+BE‾=12AC‾[∵AE‾=12AC‾]\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BE}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AC}}\left[\because \overline{\mathrm{AE}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AC}}\right] ∴AC‾=2(AB‾+BE‾)\therefore \overline{\mathrm{AC}}=2(\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BE}}) . . . . . . (i) আবার, AB+BC=AC\mathrm{AB}+\mathrm{BC}=\mathrm{AC} ∴BC‾=AC‾−AB‾\therefore \overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{AC}}-\overline{\mathrm{AB}} বা, BC‾=2(AB‾+BE‾)−AB‾\overline{\mathrm{BC}}=2(\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BE}})-\overline{\mathrm{AB}} [(i)নং হতে] বা, BC=2AB+2BE−AB\mathrm{BC}=2 \mathrm{AB}+2 \mathrm{BE}-\mathrm{AB} ∴BC=AB+2BE\therefore B C=A B+2 B E . . . . . . (ii) আবার, △ABD\triangle \mathrm{ABD} এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, AB‾+BD‾=AD‾\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BD}}=\overline{\mathrm{AD}} বা, AB‾+12BC‾:=AD‾[∵BD‾=12BC‾]\overline{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2} \overline{\mathrm{BC}}:=\overline{\mathrm{AD}} \quad\left[\because \overline{\mathrm{BD}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{BC}}\right] বা, AD‾=AB‾+12(AB‾+2BE‾)[(ii)\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2}(\overline{\mathrm{AB}}+\overline{2 \mathrm{BE}}) \quad[(\mathrm{ii}) নং হতে] বা, AD‾=AB‾+12AB‾+BE‾\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BE}} ∴AD‾=32AB‾+BE‾\therefore \overline{\mathrm{AD}}=\frac{3}{2} \overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BE}} △ACF\triangle \mathrm{ACF} এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, AC‾+CF‾=AF‾\overline{\mathrm{AC}}+\overline{\mathrm{CF}}=\overline{\mathrm{AF}} বা, AC‾+CF‾=12AB‾[∵AF‾=12AB‾]\overline{\mathrm{AC}}+\overline{\mathrm{CF}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AB}} \quad\left[\because \overline{\mathrm{AF}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AB}}\right] বা, CF‾=12AB‾−AC‾\overline{\mathrm{CF}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AB}}-\overline{\mathrm{AC}} বা, CF‾=12AB‾−2(AB‾+BE‾)\overline{\mathrm{CF}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AB}}-2(\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BE}}) [(i) নং হতে] বা, CF‾=12AB‾−2AB‾−2BE‾\overline{\mathrm{CF}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AB}}-2 \overline{\mathrm{AB}}-2 \overline{\mathrm{BE}} ∴CF‾=−32AB‾−2BE‾\therefore \overline{\mathrm{CF}} =-\frac{3}{2} \overline{\mathrm{AB}}-2 \overline{\mathrm{BE}} বামপক্ষ =AD‾+BE‾−CF‾=\overline{\mathrm{AD}}+\overline{\mathrm{BE}}-\overline{\mathrm{CF}} =(32AB‾−BE‾)+BE‾+(−32AB‾−2BE‾)=\left(\frac{3}{2} \overline{\mathrm{AB}}-\overline{\mathrm{BE}}\right)+\overline{\mathrm{BE}}+\left(-\frac{3}{2} \overline{\mathrm{AB}}-2 \overline{\mathrm{BE}}\right) =32AB‾+BE‾+BE‾−32AB‾−2BE‾=\frac{3}{2} \overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BE}}+\overline{\mathrm{BE}}-\frac{3}{2} \overline{\mathrm{AB}}-\overline{2 \mathrm{BE}} =32AB‾−32AB‾+2BE‾−2BE‾=\frac{3}{2} \overline{\mathrm{AB}}-\frac{3}{2} \overline{\mathrm{AB}}+2 \overline{\mathrm{BE}}-2 \overline{\mathrm{BE}} =0‾==\underline{0}= ডানপক্ষ ∴AD+BE+CF=0‾\therefore \mathrm{AD}+\mathrm{BE}+\mathrm{CF}=\underline{0} [প্রমাণিত]
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১৩ : ঘন জ্যামিতি (Full Syllabus)
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABC ত্রিভুজের AB=12 cm,AC=5 cm,BC=13 cm\mathrm{AB}=12 \mathrm{~cm}, \mathrm{AC}=5 \mathrm{~cm}, \mathrm{BC}=13 \mathrm{~cm} এবং মধ্যমাত্রয়ের ছেদ বিন্দু O।

Barisal · 2016

ক
শীর্ষবিন্দু AA থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O′O^{\prime} বিন্দু হতে শীর্ষ বিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টি তিনগুণের সমান।
গ
ত্রিভুজটিকে উহার ক্ষুদ্রতর বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয়, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তনের সাংখ্যিক মানের পার্থক্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O′O^{\prime} বিন্দু হতে শীর্ষ বিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টি তিনগুণের সমান।

দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O′O^{\prime} বিন্দু হতে শীর্ষ বিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টি তিনগুণের সমান।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শীর্ষবিন্দু AA থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

শীর্ষবিন্দু AA থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

P(t,2)P(t, 2) বিন্দুগামী 2y−3x+6=02 y-3 x+6=0 রেখাটি xx অক্ষকে AA এবং yy অক্ষকে BB বিন্দুতে ছেদ করে।

Jessore · 2016

ক
রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।
খ
△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ
△OAB\triangle \mathrm{OAB} কে OB বাহুর চতুর্দিকে একবার ঘুরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।

রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image ΔPQR\Delta \mathrm{PQR} এর ∠R\angle \mathrm{R} একটি সূক্ষ্মকোণ এবং PD⊥QR\mathrm{PD} \perp \mathrm{QR}.

Dhaka · 2016

ক
রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।
খ
△APB\triangle \mathrm{APB}এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
গ
DR=6 cm,PD=4 cm\mathrm{DR}=6 \mathrm{~cm}, \mathrm{PD}=4 \mathrm{~cm} হলে, DRDR ও PDPD কে একটি আয়তক্ষেত্রের যথাক্রমে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ ধরে ঐ আয়তক্ষেত্রকে DRDR বাহুর সাপেক্ষে একবার ঘোরালে উৎপন্ন ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, PQ2+2QR⋅DR=PR2+QR2PQ^2 + 2QR \cdot DR = PR^2 + QR^2

উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, PQ2+2QR⋅DR=PR2+QR2PQ^2 + 2QR \cdot DR = PR^2 + QR^2

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র বলতে কী বোঝ?

ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র বলতে কী বোঝ?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে PR=10 সে.মি.PR = 10\text{ সে.মি.} এবং QS=8 সে.মি.QS = 8\text{ সে.মি.}।

Comilla · 2017

ক
প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।
খ
প্রমাণ কর যে, PR⋅QS=PQ⋅RS+PS⋅QRPR \cdot QS = PQ \cdot RS + PS \cdot QR।
গ
PRPR এবং QSQS দুইটি ঘনকের ধারোর দৈর্ঘ্য হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.প্রমাণ কর যে, PR⋅QS=PQ⋅RS+PS⋅QRPR \cdot QS = PQ \cdot RS + PS \cdot QR।

প্রমাণ কর যে, PR⋅QS=PQ⋅RS+PS⋅QRPR \cdot QS = PQ \cdot RS + PS \cdot QR।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।

প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

ত্রিভুজটিকে উহার ক্ষুদ্রতর বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয়, তার সমগ্দেখাও যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজের বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি 'O [গণিত] বিন্দুশীর্ষবিন্দু [গণিত] থেকে বিপরীত বাহুর উপর অংকিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।[গণিত] কে OB বাহুর চতুর্দিকে একবার ঘুরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তার সমগ্রতলের ক্ষ[গণিত] এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।[গণিত] হলে, [গণিত] ও [গণিত] কে একটি আয়তক্ষেত্রের যথাক্রমে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ ধরে ঐউদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, [গণিত]ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ও ভরকেন্দ্র বলতে কী বোঝ?[গণিত] এবং [গণিত] দুইটি ঘনকের ধারোর দৈর্ঘ্য হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয়প্রমাণ কর যে, [গণিত] ।প্রদত্ত চিত্র কোন উপপাদ্যকে সমর্থন করে? উপপাদ্যটি লিখ।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন