Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

x এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে ধরাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে এবং সেই সমষ্টি নির্ণয় করো।

উত্তর: দেওয়া আছে, গুণোত্তর ধারাটির [গণিত] তমপদ, [গণিত] হলে, ১ম পদ, [গণিত] হলে, ২য় পদ, [গণিত] হলে, ৩য় পদ, [গণিত] হলে, ৪র্থ পদ, [গণিত] অতএব, গুণোত্তর ধারাটি : [গণিত] , এখানে, গুণোত্তর ধারাটির ১ম পদ, [গণিত] সাধারণ অনুপাত, [গণিত] ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি [গণিত] [বিপরীতকরণ করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [বিপরীতকরণ করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] হলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে। ∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, [গণিত] নির্ণেয় শর্ত : [গণিত] এবং সমষ্টি [গণিত] .

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১০ : দ্বিপদী বিস্তৃতি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১০ : দ্বিপদী বিস্তৃতি · সৃজনশীল

x এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে ধরাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে এবং সেই সমষ্ট…

উদ্দীপক

A=(1+x5)7A=\left(1+\frac{x}{5}\right)^7 এবং একটি গুণোত্তর ধারার nn তম পদ, Un=(3x−7)2−nU_n=(3 x-7)^{2-n} যেখানে, n∈Nn \in N.

উত্তর

দেওয়া আছে, (n2)=(n3)\binom{n}{2}=\binom{n}{3} বা, n(n−1)1⋅2=n(n−1)(n−2)1⋅2⋅3\frac{n(n-1)}{1 \cdot 2}=\frac{n(n-1)(n-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} বা, 1=n−231=\frac{n-2}{3} বা, n−2=3n-2=3 ∴n=3+2=5\therefore \quad n=3+2=5 নির্ণেয় মান : n=5n=5.

উত্তর

দেওয়া আছে, B=(1+x5)7\mathrm{B}=\left(1+\frac{\mathrm{x}}{5}\right)^7 দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে, (5−x)B=(5−x)(1+x5)7=(5−x)[(10)(x5)0+(71)(x5)1+(72)(x5)2+(73)(x5)3+(74)(x5)4+…]=(5−x)[1+71⋅x5+7⋅61⋅2⋅x225+7⋅6⋅51⋅2⋅3⋅x3125+7⋅6⋅5⋅41⋅2⋅3⋅4⋅x4625+…..]=(5−x)(1+75x+2125x2+725x3+7125x4+……..)=(5+7x+215x2+75x3+725x4+…..)+(−x−75x2−2125x3−725x4−…..)=5+6x+145x2+1425x3+0⋅x4+……….\begin{aligned} & (5-x) B=(5-x)\left(1+\frac{x}{5}\right)^7 \\ & =(5-x)\left[\binom{1}{0}\left(\frac{x}{5}\right)^0+\binom{7}{1}\left(\frac{x}{5}\right)^1+\binom{7}{2}\left(\frac{x}{5}\right)^2+\binom{7}{3}\left(\frac{x}{5}\right)^3+\binom{7}{4}\left(\frac{x}{5}\right)^4+\ldots\right] \\ & =(5-x)\left[1+\frac{7}{1} \cdot \frac{x}{5}+\frac{7 \cdot 6}{1 \cdot 2} \cdot \frac{x^2}{25}+\frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3} \cdot \frac{x^3}{125}+\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \cdot \frac{x^4}{625}+\ldots . .\right] \\ & =(5-x)\left(1+\frac{7}{5} x+\frac{21}{25} x^2+\frac{7}{25} x^3+\frac{7}{125} x^4+\ldots \ldots . .\right) \\ & =\left(5+7 x+\frac{21}{5} x^2+\frac{7}{5} x^3+\frac{7}{25} x^4+\ldots . .\right)+\left(-x-\frac{7}{5} x^2-\frac{21}{25} x^3-\frac{7}{25} x^4-\ldots . .\right) \\ & =5+6 x+\frac{14}{5} x^2+\frac{14}{25} x^3+0 \cdot x^4+\ldots \ldots \ldots .\end{aligned} এখানে, 5−x=4.95-\mathrm{x}=4.9 বা, x=5−4.9=0.1x=5-4.9=0.1 এখন উক্ত বিস্তৃতিতে x=0.1x=0.1 বসিয়ে পাই, (5−0.1)×(1+0.15)7=5+6×(0.1)+145×(0.1)2+1425×(0.1)3+0×(0.1)4+….\begin{aligned}(5-0.1) \times\left(1+\frac{0.1}{5}\right)^7=5+6 \times(0.1) & +\frac{14}{5} \times(0.1)^2 \\ & +\frac{14}{25} \times(0.1)^3+0 \times(0.1)^4+\ldots .\end{aligned} বা, 4.9×(1.02)7=5+0.6+0.028+0.00056+0+…=5.62856\begin{aligned} 4.9 \times(1.02)^7 & =5+0.6+0.028+0.00056+0+\ldots \\ & =5.62856\end{aligned} নির্ণেয় মান 5.62856. [বি. দ্র: B এর পরিবর্তে A হবে]

উত্তর

দেওয়া আছে, গুণোত্তর ধারাটির nn তমপদ, Un=(3x−7)2−n;n∈NU_n=(3 x-7)^{2-n} ; n \in \mathbb{N} n=1\mathrm{n}=1 হলে, ১ম পদ, U1=(3x−7)2−1=(3x−7)1=3x−7\mathrm{U}_1=(3 \mathrm{x}-7)^{2-1}=(3 \mathrm{x}-7)^1=3 \mathrm{x}-7 n=2n=2 হলে, ২য় পদ, U2=(3x−7)2−2=(3x−7)0=1U_2=(3 x-7)^{2-2}=(3 x-7)^0=1 n=3n=3 হলে, ৩য় পদ, U3=(3x−7)2−3=(3x−7)−1=13x−7U_3=(3 x-7)^{2-3}=(3 x-7)^{-1}=\frac{1}{3 x-7} n=4n=4 হলে, ৪র্থ পদ, U_4=(3 x-7)^{2-4}=(3 x-7)^{-2}=\frac{1}{(3 x-7}^2} অতএব, গুণোত্তর ধারাটি : (3 x-7)+1+\frac{1}{3 x-7}+\frac{1}{(3 x-7}^2}+, এখানে, গুণোত্তর ধারাটির ১ম পদ, a=3x−7\mathrm{a}=3 \mathrm{x}-7 সাধারণ অনুপাত, r=13x−7\mathrm{r}=\frac{1}{3 \mathrm{x}-7} ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি ∣r∣<1|r|<1 হয়। অর্থাৎ, −1<r<1-1<\mathrm{r}<1 বা, −1<13x−7<1-1<\frac{1}{3 \mathrm{x}-7}<1 এখন, −1<13x−7-1<\frac{1}{3 x-7} বা, −1>3x−7-1>3 x-7 [বিপরীতকরণ করে] বা, −1+7>3x-1+7>3 \mathrm{x} বা, 6>3x6>3 x বা, 63>x\frac{6}{3}>\mathrm{x} বা, 2>x2>\mathrm{x} ∴x<2\therefore \quad \mathrm{x}<2 আবার, 13x−7<1\frac{1}{3 x-7}<1 বা, 3x−7>13 x-7>1 [বিপরীতকরণ করে] বা, 3x>1+73 x>1+7 বা, 3x>83 x>8 ∴x>83\therefore \quad x>\frac{8}{3} ∴x<2\therefore \mathrm{x}<2 অথবা x>83\mathrm{x}>\frac{8}{3} হলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে। ∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S∞=a1−r=3x−71−13x−7=3x−73x−7−13x−7=3x−73x−83x−7=3x−71×3x−73x−8=(3x−7)23x−8\begin{aligned} S_{\infty} & =\frac{a}{1-r} \\ & =\frac{3 x-7}{1-\frac{1}{3 x-7}}=\frac{3 x-7}{\frac{3 x-7-1}{3 x-7}} \\ & =\frac{3 x-7}{\frac{3 x-8}{3 x-7}}=\frac{3 x-7}{1} \times \frac{3 x-7}{3 x-8}=\frac{(3 x-7)^2}{3 x-8}\end{aligned} নির্ণেয় শর্ত : x<2x<2 অথবা x>83x>\frac{8}{3} এবং সমষ্টি (3x−7)23x−8\frac{(3 x-7)^2}{3 x-8}.
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১০ : দ্বিপদী বিস্তৃতি
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.(x2+2+1x2)8\left(x^2+2+\frac{1}{x^2}\right)^8 রাশির বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা কয়টি?

(x2+2+1x2)8\left(x^2+2+\frac{1}{x^2}\right)^8 রাশির বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা কয়টি?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

h(y)=(2−y2)7\mathrm{h}(\mathrm{y})=\left(2-\frac{\mathrm{y}}{2}\right)^7 এবং f(x)=(2x2+Px)8f(\mathrm{x})=\left(2 \mathrm{x}^2+\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{x}}\right)^8
ক
(x−1x)8\left(x-\frac{1}{x}\right)^8 রাশির বিস্তৃতিতে xx মুক্ত পদটি কত?
খ
h (y) রাশির বিস্তৃতির সাহায্যে (1.995) 7{ }^7 এর মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় করো।
গ
f(x)f(\mathrm{x}) রাশির বিস্তৃতিতে x4\mathrm{x}^4 ও x7\mathrm{x}^7 এর সহগ সমান হলে, P এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.h (y) রাশির বিস্তৃতির সাহায্যে (1.995) 7{ }^7 এর মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় করো।

h (y) রাশির বিস্তৃতির সাহায্যে (1.995) 7{ }^7 এর মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.(x−1x)8\left(x-\frac{1}{x}\right)^8 রাশির বিস্তৃতিতে xx মুক্ত পদটি কত?

(x−1x)8\left(x-\frac{1}{x}\right)^8 রাশির বিস্তৃতিতে xx মুক্ত পদটি কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.n এর ধনাত্মক মান নির্ণয় করো যেখানে, nC2=6{ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_2=6.

n এর ধনাত্মক মান নির্ণয় করো যেখানে, nC2=6{ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_2=6.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.(1+3x)8(1+3 \mathrm{x})^8 রাশির বিস্তৃতিতে মধ্যপদ নির্শয় করো।

(1+3x)8(1+3 \mathrm{x})^8 রাশির বিস্তৃতিতে মধ্যপদ নির্শয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.(3−x)(1+x3)6(3-x)\left(1+\frac{x}{3}\right)^6 রাশির বিস্তৃতিতে x4x^4 এর সহগ নির্ণয় করো।

(3−x)(1+x3)6(3-x)\left(1+\frac{x}{3}\right)^6 রাশির বিস্তৃতিতে x4x^4 এর সহগ নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : f(p,q,r)=(p+q+r)(pq+qr+rp)f(\mathrm{p}, \mathrm{q}, \mathrm{r})=(\mathrm{p}+\mathrm{q}+\mathrm{r})(\mathrm{pq}+\mathrm{qr}+\mathrm{rp}) দৃশ্যকল্প-২ : g(x)=2+x4\mathrm{g}(\mathrm{x})=2+\frac{\mathrm{x}}{4}.
ক
P(x)=2x3−5x2+7x−8\mathrm{P}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^3-5 \mathrm{x}^2+7 \mathrm{x}-8 কে (x+1)(\mathrm{x}+1) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
খ
দৃশ্যকল্প-১ অনুযায়ী f(p,q,r)=pqrf(\mathrm{p}, \mathrm{q}, \mathrm{r})=\mathrm{pqr} হলে, প্রমাণ করো যে, \frac{1}{(p+q+r}^{\pi}}=\frac{1}{p^{\pi}}+\frac{1}{q^{\pi}}+\frac{1}{r^{\pi}}.
গ
দৃশ্যকল্প-২ অনুযায়ী {g(x)}7\{\mathrm{g}(\mathrm{x})\}^7 রাশিকে প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে বিস্তৃত করো। প্রাপ্ত ফলাফল ব্যবহার করে (1.01) 7{ }^7 এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.দৃশ্যকল্প−১-১ অনুযায়ী f(p,q,r)=pqrf(p, q, r)=pqr হলে, প্রমাণ করো যে, \frac{1}{(p+q+r}^n}=\frac{1}{p^n}+\frac{1}{q^n}+\frac{1}{r^n}.

দৃশ্যকল্প−১-১ অনুযায়ী f(p,q,r)=pqrf(p, q, r)=pqr হলে, প্রমাণ করো যে, \frac{1}{(p+q+r}^n}=\frac{1}{p^n}+\frac{1}{q^n}+\frac{1}{r^n}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.P(x)=2x3−5x2+7x−8\mathrm{P}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^3-5 \mathrm{x}^2+7 \mathrm{x}-8 কে (x+1)(\mathrm{x}+1) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

P(x)=2x3−5x2+7x−8\mathrm{P}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^3-5 \mathrm{x}^2+7 \mathrm{x}-8 কে (x+1)(\mathrm{x}+1) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.(2−x).(1+ax)5(2-x) .(1+a x)^5 কে x2x^2 পর্যত বিস্তৃত করলে যদি 2+9x+cx22+9 x +\mathrm{cx}^2 পাওয়া যায়, তবে a ও c এর মান নির্ণয় করো।

(2−x).(1+ax)5(2-x) .(1+a x)^5 কে x2x^2 পর্যত বিস্তৃত করলে যদি 2+9x+cx22+9 x +\mathrm{cx}^2 পাওয়া যায়, তবে a ও c এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.(p−12x)6=r−96x+Sx2+………\left(p-\frac{1}{2} x\right)^6=r-96 x+S x^2+\ldots \ldots \ldots. হলে, pp এবং rr এর মান নির্ণয় করো।

(p−12x)6=r−96x+Sx2+………\left(p-\frac{1}{2} x\right)^6=r-96 x+S x^2+\ldots \ldots \ldots. হলে, pp এবং rr এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] রাশির বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা কয়টি?[গণিত] রাশির বিস্তৃতিতে [গণিত] ও [গণিত] এর সহগ সমান হলে, [গণিত] এর মান নির্ণয় কh (y) রাশির বিস্তৃতির সাহায্যে (1.995) [গণিত] এর মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত নির[গণিত] রাশির বিস্তৃতিতে [গণিত] মুক্ত পদটি কত?n এর ধনাত্মক মান নির্ণয় করো যেখানে, [গণিত] .[গণিত] রাশির বিস্তৃতিতে মধ্যপদ নির্শয় করো।[গণিত] রাশির বিস্তৃতিতে [গণিত] এর সহগ নির্ণয় করো।দৃশ্যকল্প [গণিত] অনুযায়ী [গণিত] রাশিকে প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে বিস্তৃত করদৃশ্যকল্প [গণিত] অনুযায়ী [গণিত] হলে, প্রমাণ করো যে, [গণিত] .[গণিত] কে [গণিত] দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?[গণিত] কে [গণিত] পর্যত বিস্তৃত করলে যদি [গণিত] পাওয়া যায়, তবে a ও c এর মান নির[গণিত] . হলে, [গণিত] এবং [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন