অধ্যায়-১০ : দ্বিপদী বিস্তৃতি উচ্চতর গণিত

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : $f(\mathrm{p}, \mathrm{q}, \mathrm{r})=(\mathrm{p}+\mathrm{q}+\mathrm{r})(\mathrm{pq}+\mathrm{qr}+\mathrm{rp})$ দৃশ্যকল্প-২ : $\mathrm{g}(\mathrm{x})=2+\frac{\mathrm{x}}{4}$.

ক

$\mathrm{P}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^3-5 \mathrm{x}^2+7 \mathrm{x}-8$ কে $(\mathrm{x}+1)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

উত্তর

দেওয়া আছে, $\mathrm{P}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^3-5 \mathrm{x}^2+7 \mathrm{x}-8$ $\mathrm{P}(\mathrm{x})$ কে $(\mathrm{x}+1)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে $\mathrm{P}(-1)$ । $\therefore P(-1) =2(-1)^3-5(-1)^2+7(-1)-8$ $=2(-1)-5 \times 1-7-8=-2-5-7-8=-22$ ∴ ভাগশেষ - 22 হবে।

খ

দৃশ্যকল্প-১ অনুযায়ী $f(\mathrm{p}, \mathrm{q}, \mathrm{r})=\mathrm{pqr}$ হলে, প্রমাণ করো যে, \frac{1}{(p+q+r}^{\pi}}=\frac{1}{p^{\pi}}+\frac{1}{q^{\pi}}+\frac{1}{r^{\pi}}.

উত্তর

দেওয়া আছে, $f(\mathrm{p}, \mathrm{q}, \mathrm{r})=(\mathrm{p}+\mathrm{q}+\mathrm{r})(\mathrm{pq}+\mathrm{qr}+\mathrm{rp}) f(\mathrm{p}, \mathrm{q}, \mathrm{r})=\mathrm{pqr}$ হলে, $(p+q+r)(p q+q r+r p)=p q r$ বা, $(p+q+r)(p q+q r+r p)-p q r=0$ বা, $\mathrm{p}(\mathrm{pq}+\mathrm{qr}+\mathrm{rp})+\mathrm{q}(\mathrm{pq}+\mathrm{qr}+\mathrm{rp})+\mathrm{r}(\mathrm{pq}+\mathrm{qr}+\mathrm{rp})-\mathrm{pqr}=0$ বা, $p^2 q+p q r+r p^2+p q^2+q^2 r+p q r+p q r+q r^2+r^2 p-p q r=0$ বা, $p^2 q+p q r+r p^2+p q^2+q^2 r+p q r+q r^2+r^2 p=0$ বা, $p^2 q+p q^2+p q r+q^2 r+r p^2+p q r+r^2 p+q r^2=0$ বা, $p q(p+q)+q r(p+q)+r p(p+q)+r^2(p+q)=0$ বা, $(p+q)\left(p q+q r+r p+r^2\right)=0$ বা, $(\mathrm{p}+\mathrm{q})\{\mathrm{q}(\mathrm{p}+\mathrm{r})+\mathrm{r}(\mathrm{p}+\mathrm{r})\}=0$ বা, $(p+q)(q+r)(p+r)=0$ হয়, $\mathrm{p}+\mathrm{q}=0$ $\therefore \quad \mathrm{p}=-\mathrm{q}$ অথবা, $(\mathrm{q}+\mathrm{r})=0$ বা, $\mathrm{q}=-\mathrm{r}$ অথবা, $\mathrm{p}+\mathrm{r}=0$ বা, $\mathrm{r}=-\mathrm{p}$ এখন, $\mathrm{p}=-\mathrm{q}$ হলে, বামপক্ষ =\frac{1}{(p+q+r}^{\pi}}=\frac{1}{(-q+q+r}^{11}}=\frac{1}{r^{\pi}} ডানপক্ষ =\frac{1}{p^{\pi}}+\frac{1}{q^{\pi}}+\frac{1}{r^{\pi}}=\frac{1}{(-q}^{11}}+\frac{1}{q^{\pi}}+\frac{1}{r^{\pi}} $=-\frac{1}{q^{\pi}}+\frac{1}{q^{\pi}}+\frac{1}{r^{\pi}}=\frac{1}{r^{\pi}}$ \therefore \frac{1}{(p+q+r}^{\pi}}=\frac{1}{p^{\pi}}+\frac{1}{q^{\pi}}+\frac{1}{r^{\pi} .} (প্রমাণিত)

গ

দৃশ্যকল্প-২ অনুযায়ী $\{\mathrm{g}(\mathrm{x})\}^7$ রাশিকে প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে বিস্তৃত করো। প্রাপ্ত ফলাফল ব্যবহার করে (1.01) ${ }^7$ এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর

দেওয়া আছে, $\mathrm{g}(\mathrm{x})=\left(2+\frac{\mathrm{x}}{4}\right)$ $\therefore\{g(x)\}^7=\left(2+\frac{x}{4}\right)^7$ প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে $\{\mathrm{g}(\mathrm{x})\}^7=\left(2+\frac{\mathrm{x}}{4}\right)^7$ এর বিস্তৃত করে পাই, ${r}\therefore\left(2+\frac{x}{4}\right)^7=1.2^7+7.2^{7-1} \cdot\left(\frac{x}{4}\right)^1+21.2^{7-2} \cdot\left(\frac{x}{4}\right)^2$ $+35.2^{7-3} \cdot\left(\frac{x}{4}\right)^3+35.2^{7-4} \cdot\left(\frac{x}{4}\right)^4$ $+21.2^{7-5} \cdot\left(\frac{x}{4}\right)^5+7.2^{7-6} \cdot\left(\frac{x}{4}\right)^6+1 \cdot\left(\frac{x}{4}\right)^7$ $=128+7.2^6 \cdot \frac{x}{4}+21.2^5 \cdot \frac{x^2}{16}+35.2^4 \cdot \frac{x^3}{64}+35.2^3 \cdot \frac{x^4}{256}$ $+21.2^2 \cdot \frac{x^5}{1024}+7.2^1 \cdot \frac{x^6}{4096}+\frac{x^7}{16384} \\ =128+112 x+42 x^2+\frac{35}{4} x^3+\frac{35}{32} x^4+\frac{21}{256} x^5+\frac{7}{2048^x} x^6+\frac{x^7}{16384}$ এখন, $\left(2+\frac{x}{4}\right)^{-7}=(1.01)^7$ বা, $2+\frac{x}{4}=1.01$ বা, $\frac{x}{4}=1.01-2=-0.99$ বা, $\mathrm{x}=-0.99 \times 4=-3.96$ $\therefore\left\{2+\left(\frac{-3.96}{4}\right)\right\}^7=128+112(-3.96)$ $+42(-3.96)^2 +\frac{35}{4}(-3.96)^3+\frac{35}{32}(-3.96)^4$ $+\frac{21}{256}(-3.96)^5+\frac{7}{2048}(-3.96)^6+\frac{(-3.96)^7}{16384}$ $+\frac{7}{2048}(-3.96)^6+\frac{(-3.96)^7}{16384}$ বা, $(2-0.99)^7=128-443.52+658.6272-543.36744+268.9668828-79.88316419+13.18072209-0.9320653479$ বা, $(1.01)^7=1.072135352$ $\therefore(1.01)^7=1.072135$ নির্ণেয় মান 1.072135 (প্রায়)।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো