Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এখন, [গণিত] ধরি, [গণিত] .(1) (1) নং সমীকরণের উভয়পক্ষকে [গণিত] দ্বারা গুণ করে পাই, [গণিত] ...(2) বা, [গণিত] বা, [গণিত] .(3) (2) নং সমীকরণে, [গণিত] বসিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (3) নং সমীকরণের উভয় পক্ষ হতে, [গণিত] ও [গণিত] এর সহগ সমীকৃত করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] , [গণিত] ও [গণিত] এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, [গণিত] ইহাই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশিত রূপ।

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১০ : দ্বিপদী বিস্তৃতি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১০ : দ্বিপদী বিস্তৃতি · সৃজনশীল

কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

উদ্দীপক

(i) P=(1+x4)m\mathrm{P} = \left(1 + \dfrac{\mathrm{x}}{4}\right)^{\mathrm{m}} (ii) Q=(y+1)(y2+4)\mathrm{Q} = (\mathrm{y}+1)(\mathrm{y}^2+4)

Jessore · 2026

উত্তর

মনে করি, f(x)=2x3−11x2+17x−6f(\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}^3 - 11\mathrm{x}^2 + 17\mathrm{x} - 6 ∴f(2)=2⋅23−11⋅22+17⋅2−6\therefore f(2) = 2 \cdot 2^3 - 11 \cdot 2^2 + 17 \cdot 2 - 6 =16−44+34−6= 16 - 44 + 34 - 6 =50−50=0= 50 - 50 = 0 ∴(x−2)\therefore (\mathrm{x}-2), f(x)f(\mathrm{x}) এর একটি উৎপাদক। এখন, f(x)=2x3−11x2+17x−6f(\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}^3 - 11\mathrm{x}^2 + 17\mathrm{x} - 6 =2x3−4x2−7x2+14x+3x−6= 2\mathrm{x}^3 - 4\mathrm{x}^2 - 7\mathrm{x}^2 + 14\mathrm{x} + 3\mathrm{x} - 6 =2x2(x−2)−7x(x−2)+3(x−2)= 2\mathrm{x}^2(\mathrm{x}-2) - 7\mathrm{x}(\mathrm{x}-2) + 3(\mathrm{x}-2) =(x−2)(2x2−7x+3)= (\mathrm{x}-2)(2\mathrm{x}^2 - 7\mathrm{x} + 3) =(x−2)(2x2−6x−x+3)= (\mathrm{x}-2)(2\mathrm{x}^2 - 6\mathrm{x} - \mathrm{x} + 3) =(x−2){2x(x−3)−1(x−3)}= (\mathrm{x}-2)\{2\mathrm{x}(\mathrm{x}-3) - 1(\mathrm{x}-3)\} =(x−2)(x−3)(2x−1)= (\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}-3)(2\mathrm{x}-1) =(2x−1)(x−2)(x−3)= (2\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}-3) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ : (2x−1)(x−2)(x−3)(2\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}-3)।

উত্তর

দেওয়া আছে, P=(1+x4)m\mathrm{P} = \left(1 + \dfrac{\mathrm{x}}{4}\right)^{\mathrm{m}} m=6\mathrm{m} = 6 হলে, P=(1+x4)6\mathrm{P} = \left(1 + \dfrac{\mathrm{x}}{4}\right)^6 এখন, P(1−x4)5=(1+x4)6(1−x4)5\mathrm{P}\left(1 - \dfrac{\mathrm{x}}{4}\right)^5 = \left(1 + \dfrac{\mathrm{x}}{4}\right)^6 \left(1 - \dfrac{\mathrm{x}}{4}\right)^5 =(1+x4)(1+x4)5(1−x4)5= \left(1 + \dfrac{\mathrm{x}}{4}\right)\left(1 + \dfrac{\mathrm{x}}{4}\right)^5 \left(1 - \dfrac{\mathrm{x}}{4}\right)^5 =(1+x4){(1+x4)(1−x4)}5= \left(1 + \dfrac{\mathrm{x}}{4}\right)\left\{\left(1 + \dfrac{\mathrm{x}}{4}\right)\left(1 - \dfrac{\mathrm{x}}{4}\right)\right\}^5 =(1+x4){(1)2−(x4)2}5= \left(1 + \dfrac{\mathrm{x}}{4}\right)\left\{(1)^2 - \left(\dfrac{\mathrm{x}}{4}\right)^2\right\}^5 =(1+x4)(1−x216)5= \left(1 + \dfrac{\mathrm{x}}{4}\right)\left(1 - \dfrac{\mathrm{x}^2}{16}\right)^5 =(1+x4){15+5C1(−x216)1+5C2(−x216)2+5C3(−x216)3+5C4(−x216)4+5C5(−x216)5}= \left(1 + \dfrac{\mathrm{x}}{4}\right)\left\{1^5 + {}^5\mathrm{C}_1\left(-\dfrac{\mathrm{x}^2}{16}\right)^1 + {}^5\mathrm{C}_2\left(-\dfrac{\mathrm{x}^2}{16}\right)^2 + {}^5\mathrm{C}_3\left(-\dfrac{\mathrm{x}^2}{16}\right)^3 + {}^5\mathrm{C}_4\left(-\dfrac{\mathrm{x}^2}{16}\right)^4 + {}^5\mathrm{C}_5\left(-\dfrac{\mathrm{x}^2}{16}\right)^5\right\} =(1+x4){1−5×x216+10×x4256−10×x64096+5×x865536−1×x101048576}= \left(1 + \dfrac{\mathrm{x}}{4}\right)\left\{1 - 5 \times \dfrac{\mathrm{x}^2}{16} + 10 \times \dfrac{\mathrm{x}^4}{256} - 10 \times \dfrac{\mathrm{x}^6}{4096} + 5 \times \dfrac{\mathrm{x}^8}{65536} - 1 \times \dfrac{\mathrm{x}^{10}}{1048576}\right\} =(1+x4)(1−516x2+5128x4−52048x6+5x865536−x101048576)= \left(1 + \dfrac{\mathrm{x}}{4}\right)\left(1 - \dfrac{5}{16}\mathrm{x}^2 + \dfrac{5}{128}\mathrm{x}^4 - \dfrac{5}{2048}\mathrm{x}^6 + \dfrac{5\mathrm{x}^8}{65536} - \dfrac{\mathrm{x}^{10}}{1048576}\right) =1−516x2+5128x4−52048x6+5x865536−x101048576+x4−5x364+5x4512−5x78192+…= 1 - \dfrac{5}{16}\mathrm{x}^2 + \dfrac{5}{128}\mathrm{x}^4 - \dfrac{5}{2048}\mathrm{x}^6 + \dfrac{5\mathrm{x}^8}{65536} - \dfrac{\mathrm{x}^{10}}{1048576} + \dfrac{\mathrm{x}}{4} - \dfrac{5\mathrm{x}^3}{64} + \dfrac{5\mathrm{x}^4}{512} - \dfrac{5\mathrm{x}^7}{8192} + \ldots ∴\therefore x7\mathrm{x}^7 এর সহগ =−58192= -\dfrac{5}{8192} নির্ণেয় সহগ : −58192-\dfrac{5}{8192}।

উত্তর

দেওয়া আছে, Q=(y+1)(y2+4)\mathrm{Q} = (\mathrm{y}+1)(\mathrm{y}^2+4) এখন, yQ=y(y+1)(y2+4)\dfrac{\mathrm{y}}{\mathrm{Q}} = \dfrac{\mathrm{y}}{(\mathrm{y}+1)(\mathrm{y}^2+4)} ধরি, y(y+1)(y2+4)=Ay+1+By+Cy2+4\dfrac{\mathrm{y}}{(\mathrm{y}+1)(\mathrm{y}^2+4)} = \dfrac{\mathrm{A}}{\mathrm{y}+1} + \dfrac{\mathrm{B}\mathrm{y}+\mathrm{C}}{\mathrm{y}^2+4}
…….(1)(1)\ldots\ldots.(1) (1)
নং সমীকরণের উভয়পক্ষকে (y+1)(y2+4)(\mathrm{y}+1)(\mathrm{y}^2+4) দ্বারা গুণ করে পাই, y≡A(y2+4)+(By+C)(y+1)\mathrm{y} \equiv \mathrm{A}(\mathrm{y}^2+4) + (\mathrm{B}\mathrm{y}+\mathrm{C})(\mathrm{y}+1) …...(2)\ldots...(2) বা, y=Ay2+4A+By2+By+Cy+C\mathrm{y} = \mathrm{A}\mathrm{y}^2 + 4\mathrm{A} + \mathrm{B}\mathrm{y}^2 + \mathrm{B}\mathrm{y} + \mathrm{C}\mathrm{y} + \mathrm{C} বা, y=(A+B)y2+(B+C)y+4A+C\mathrm{y} = (\mathrm{A}+\mathrm{B})\mathrm{y}^2 + (\mathrm{B}+\mathrm{C})\mathrm{y} + 4\mathrm{A} + \mathrm{C}
…….(3)(2)\ldots\ldots.(3) (2)
নং সমীকরণে, y=−1\mathrm{y} = -1 বসিয়ে পাই, −1=A{(−1)2+4}+{B(−1)+C}(−1+1)-1 = \mathrm{A}\{(-1)^2 + 4\} + \{\mathrm{B}(-1)+\mathrm{C}\}(-1+1) বা, −1=A(1+4)+0-1 = \mathrm{A}(1+4) + 0 বা, −1=5A-1 = 5\mathrm{A} ∴A=−15\therefore \mathrm{A} = -\dfrac{1}{5} (3) নং সমীকরণের উভয় পক্ষ হতে, y2\mathrm{y}^2 ও y\mathrm{y} এর সহগ সমীকৃত করে পাই, A+B=0\mathrm{A} + \mathrm{B} = 0 বা, −15+B=0-\dfrac{1}{5} + \mathrm{B} = 0 ∴B=15\therefore \mathrm{B} = \dfrac{1}{5} এবং B+C=1\mathrm{B} + \mathrm{C} = 1 বা, C=1−B=1−15=5−15=45\mathrm{C} = 1 - \mathrm{B} = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{5-1}{5} = \dfrac{4}{5} A\mathrm{A}, B\mathrm{B} ও C\mathrm{C} এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, y(y+1)(y2+4)=−15y+1+15×y+45y2+4\dfrac{\mathrm{y}}{(\mathrm{y}+1)(\mathrm{y}^2+4)} = \dfrac{-\frac{1}{5}}{\mathrm{y}+1} + \dfrac{\frac{1}{5} \times \mathrm{y} + \frac{4}{5}}{\mathrm{y}^2+4} =−15(y+1)+y+45y2+4= \dfrac{-1}{5(\mathrm{y}+1)} + \dfrac{\frac{\mathrm{y}+4}{5}}{\mathrm{y}^2+4} =−15(y+1)+y+45(y2+4)=y+45(y2+4)−15(y+1)= \dfrac{-1}{5(\mathrm{y}+1)} + \dfrac{\mathrm{y}+4}{5(\mathrm{y}^2+4)} = \dfrac{\mathrm{y}+4}{5(\mathrm{y}^2+4)} - \dfrac{1}{5(\mathrm{y}+1)} ইহাই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশিত রূপ।
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১০ : দ্বিপদী বিস্তৃতি
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.(x2+2+1x2)8\left(x^2+2+\frac{1}{x^2}\right)^8 রাশির বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা কয়টি?

(x2+2+1x2)8\left(x^2+2+\frac{1}{x^2}\right)^8 রাশির বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা কয়টি?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

h(y)=(2−y2)7\mathrm{h}(\mathrm{y})=\left(2-\frac{\mathrm{y}}{2}\right)^7 এবং f(x)=(2x2+Px)8f(\mathrm{x})=\left(2 \mathrm{x}^2+\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{x}}\right)^8
ক
(x−1x)8\left(x-\frac{1}{x}\right)^8 রাশির বিস্তৃতিতে xx মুক্ত পদটি কত?
খ
h (y) রাশির বিস্তৃতির সাহায্যে (1.995) 7{ }^7 এর মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় করো।
গ
f(x)f(\mathrm{x}) রাশির বিস্তৃতিতে x4\mathrm{x}^4 ও x7\mathrm{x}^7 এর সহগ সমান হলে, P এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.h (y) রাশির বিস্তৃতির সাহায্যে (1.995) 7{ }^7 এর মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় করো।

h (y) রাশির বিস্তৃতির সাহায্যে (1.995) 7{ }^7 এর মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.(x−1x)8\left(x-\frac{1}{x}\right)^8 রাশির বিস্তৃতিতে xx মুক্ত পদটি কত?

(x−1x)8\left(x-\frac{1}{x}\right)^8 রাশির বিস্তৃতিতে xx মুক্ত পদটি কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.n এর ধনাত্মক মান নির্ণয় করো যেখানে, nC2=6{ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_2=6.

n এর ধনাত্মক মান নির্ণয় করো যেখানে, nC2=6{ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_2=6.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.(1+3x)8(1+3 \mathrm{x})^8 রাশির বিস্তৃতিতে মধ্যপদ নির্শয় করো।

(1+3x)8(1+3 \mathrm{x})^8 রাশির বিস্তৃতিতে মধ্যপদ নির্শয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.(3−x)(1+x3)6(3-x)\left(1+\frac{x}{3}\right)^6 রাশির বিস্তৃতিতে x4x^4 এর সহগ নির্ণয় করো।

(3−x)(1+x3)6(3-x)\left(1+\frac{x}{3}\right)^6 রাশির বিস্তৃতিতে x4x^4 এর সহগ নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : f(p,q,r)=(p+q+r)(pq+qr+rp)f(\mathrm{p}, \mathrm{q}, \mathrm{r})=(\mathrm{p}+\mathrm{q}+\mathrm{r})(\mathrm{pq}+\mathrm{qr}+\mathrm{rp}) দৃশ্যকল্প-২ : g(x)=2+x4\mathrm{g}(\mathrm{x})=2+\frac{\mathrm{x}}{4}.
ক
P(x)=2x3−5x2+7x−8\mathrm{P}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^3-5 \mathrm{x}^2+7 \mathrm{x}-8 কে (x+1)(\mathrm{x}+1) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
খ
দৃশ্যকল্প-১ অনুযায়ী f(p,q,r)=pqrf(\mathrm{p}, \mathrm{q}, \mathrm{r})=\mathrm{pqr} হলে, প্রমাণ করো যে, \frac{1}{(p+q+r}^{\pi}}=\frac{1}{p^{\pi}}+\frac{1}{q^{\pi}}+\frac{1}{r^{\pi}}.
গ
দৃশ্যকল্প-২ অনুযায়ী {g(x)}7\{\mathrm{g}(\mathrm{x})\}^7 রাশিকে প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে বিস্তৃত করো। প্রাপ্ত ফলাফল ব্যবহার করে (1.01) 7{ }^7 এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.দৃশ্যকল্প−১-১ অনুযায়ী f(p,q,r)=pqrf(p, q, r)=pqr হলে, প্রমাণ করো যে, \frac{1}{(p+q+r}^n}=\frac{1}{p^n}+\frac{1}{q^n}+\frac{1}{r^n}.

দৃশ্যকল্প−১-১ অনুযায়ী f(p,q,r)=pqrf(p, q, r)=pqr হলে, প্রমাণ করো যে, \frac{1}{(p+q+r}^n}=\frac{1}{p^n}+\frac{1}{q^n}+\frac{1}{r^n}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.P(x)=2x3−5x2+7x−8\mathrm{P}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^3-5 \mathrm{x}^2+7 \mathrm{x}-8 কে (x+1)(\mathrm{x}+1) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

P(x)=2x3−5x2+7x−8\mathrm{P}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^3-5 \mathrm{x}^2+7 \mathrm{x}-8 কে (x+1)(\mathrm{x}+1) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.(2−x).(1+ax)5(2-x) .(1+a x)^5 কে x2x^2 পর্যত বিস্তৃত করলে যদি 2+9x+cx22+9 x +\mathrm{cx}^2 পাওয়া যায়, তবে a ও c এর মান নির্ণয় করো।

(2−x).(1+ax)5(2-x) .(1+a x)^5 কে x2x^2 পর্যত বিস্তৃত করলে যদি 2+9x+cx22+9 x +\mathrm{cx}^2 পাওয়া যায়, তবে a ও c এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.(p−12x)6=r−96x+Sx2+………\left(p-\frac{1}{2} x\right)^6=r-96 x+S x^2+\ldots \ldots \ldots. হলে, pp এবং rr এর মান নির্ণয় করো।

(p−12x)6=r−96x+Sx2+………\left(p-\frac{1}{2} x\right)^6=r-96 x+S x^2+\ldots \ldots \ldots. হলে, pp এবং rr এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] রাশির বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা কয়টি?[গণিত] রাশির বিস্তৃতিতে [গণিত] ও [গণিত] এর সহগ সমান হলে, [গণিত] এর মান নির্ণয় কh (y) রাশির বিস্তৃতির সাহায্যে (1.995) [গণিত] এর মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত নির[গণিত] রাশির বিস্তৃতিতে [গণিত] মুক্ত পদটি কত?n এর ধনাত্মক মান নির্ণয় করো যেখানে, [গণিত] .[গণিত] রাশির বিস্তৃতিতে মধ্যপদ নির্শয় করো।[গণিত] রাশির বিস্তৃতিতে [গণিত] এর সহগ নির্ণয় করো।দৃশ্যকল্প [গণিত] অনুযায়ী [গণিত] রাশিকে প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে বিস্তৃত করদৃশ্যকল্প [গণিত] অনুযায়ী [গণিত] হলে, প্রমাণ করো যে, [গণিত] .[গণিত] কে [গণিত] দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?[গণিত] কে [গণিত] পর্যত বিস্তৃত করলে যদি [গণিত] পাওয়া যায়, তবে a ও c এর মান নির[গণিত] . হলে, [গণিত] এবং [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন