Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

g(y) কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] ধরি, [গণিত] . (1) (i) নং সমীকরণের উভয় পক্ষকে [গণিত] দ্বারা গুণ করে পাই, [গণিত] . (2) (2) নং সমীকরণে [গণিত] বসিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, (2) নং সমীকরণ হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] . (3) (3) নং সমীকরণ হতে [গণিত] ও [গণিত] এর সহগ সমৃকীত করে [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (i) নং এ A, B ও C এর মান বসিয়ে পাই, [গণিত] যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১০ : দ্বিপদী বিস্তৃতি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১০ : দ্বিপদী বিস্তৃতি · সৃজনশীল

g(y) কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

উদ্দীপক

(i) g(y)=2y31−y3g(y)=\frac{2 y^3}{1-y^3} (ii) B=(2+x5)n;n∈N\mathrm{B}=\left(2+\frac{\mathrm{x}}{5}\right)^{\mathrm{n}} ; \mathrm{n} \in \mathbb{N}

Dinajpur · 2025

উত্তর

দেওয়া আছে, B=(2+x5)n;n∈N\mathrm{B}=\left(2+\frac{\mathrm{x}}{5}\right)^{\mathrm{n}} ; \mathrm{n} \in \mathbb{N} এখন, n=4\mathrm{n}=4 হলে, B=(2+x5)4=24(1+x10)4\mathrm{B}=\left(2+\frac{\mathrm{x}}{5}\right)^4=2^4\left(1+\frac{\mathrm{x}}{10}\right)^4 প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে- question image ∴24(1+x10)4=24{1+4⋅x10+6⋅(x10)2+4⋅(x10)3+(x10)4}\therefore 2^4\left(1+\frac{x}{10}\right)^4 =2^4\left\{1+4 \cdot \frac{x}{10}+6 \cdot\left(\frac{x}{10}\right)^2+4 \cdot\left(\frac{x}{10}\right)^3+\left(\frac{x}{10}\right)^4\right\} =24(1+2x5+6x2100+4x31000+x410000)=2^4\left(1+\frac{2 x}{5}+\frac{6 x^2}{100}+\frac{4 x^3}{1000}+\frac{x^4}{10000}\right) =16(1+2x5+3x250+x3250+x410000)=16\left(1+\frac{2 x}{5}+\frac{3 x^2}{50}+\frac{x^3}{250}+\frac{x^4}{10000}\right) নির্ণেয় B এর বিস্তৃতি 16(1+2x5+3x250+x3250+x410000).16\left(1+\frac{2 x}{5}+\frac{3 x^2}{50}+\frac{x^3}{250}+\frac{x^4}{10000}\right) .

উত্তর

দেওয়া আছে, B=(2+x5)n;n∈N\mathrm{B}=\left(2+\frac{\mathrm{x}}{5}\right)^{\mathrm{n}} ; \mathrm{n} \in \mathbb{N} দ্বিপদী বিস্তৃতির সাহায্যে পাই, (2+x5)n=(n0)2n(x5)0+(n1)2n−1(x5)+(n2)2n−2\left(2+\frac{x}{5}\right) n=\binom{n}{0} 2^n\left(\frac{x}{5}\right)^0+\binom{n}{1} 2^{n-1}\left(\frac{x}{5}\right)+\binom{n}{2} 2^{n-2} (x5)2+(n3)2n−3(x5)3+(n4)2n−4(x5)4+(n2)2n−5(x5)5\left(\frac{x}{5}\right)^2+\binom{n}{3} 2^{n-3}\left(\frac{x}{5}\right)^3+\binom{n}{4} 2^{n-4}\left(\frac{x}{5}\right)^4+\binom{n}{2} 2^{n-5}\left(\frac{x}{5}\right)^5 +(n6)2n−6(x5)6+(n7)2n−7(x5)7+(n8)2n−8(x5)8+\binom{n}{6} 2^{n-6}\left(\frac{x}{5}\right)^6+\binom{n}{7} 2^{n-7}\left(\frac{x}{5}\right)^7+\binom{n}{8} 2^{n-8}\left(\frac{x}{5}\right)^8 +(n9)2n−9(x5)9+………+\binom{n}{9} 2^{n-9}\left(\frac{x}{5}\right)^9+\ldots \ldots \ldots ∴x8\therefore x^8 এর সহগ =(n8)2n−8(15)8=\binom{n}{8} 2^{n-8}\left(\frac{1}{5}\right)^8 x9x^9 এর সহগ =(n9)2n−9(15)9=\binom{n}{9} 2^{n-9}\left(\frac{1}{5}\right)^9 শর্তমতে, (n8)2n−8(15)8=(n9)2n−9(15)9\binom{n}{8} 2^{n-8}\left(\frac{1}{5}\right)^8=\binom{n}{9} 2^{n-9}\left(\frac{1}{5}\right)^9 বা, \frac{n!}{8!(n-8}!} \frac{2^{n-8}}{2^{n-9}}=\frac{n!}{9!(n-9}!} \cdot \frac{\left(\frac{1}{5}\right)^9}{\left(\frac{1}{5}\right)^8} বা, \frac{1}{8!(n-8}(n-9)!} 2^{n-8-n+9}=\frac{1}{9 \cdot 8!(n-9}!}\left(\frac{1}{5}\right)^{9-8} বা, 2n−8=19⋅15\frac{2}{n-8}=\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{5} বা, n−8=90\mathrm{n}-8=90 বা, n=90+8\mathrm{n}=90+8 ∴n=98\therefore n=98 ∴(n2)=(982)=98.972.1=4753\therefore \quad\binom{n}{2}=\binom{98}{2}=\frac{98.97}{2.1}=4753 নির্ণেয় মান : 4753.

উত্তর

দেওয়া আছে, g(y)=2y31−y3=−2+2y3+21−y3=−2(1−y3)+21−y3\mathrm{g}(\mathrm{y})=\frac{2 \mathrm{y}^3}{1-\mathrm{y}^3}=\frac{-2+2 \mathrm{y}^3+2}{1-\mathrm{y}^3}=\frac{-2\left(1-\mathrm{y}^3\right)+2}{1-\mathrm{y}^3} =\frac{-2\left(1-y^3\right)}{\left(1-y^3\right)}+\frac{2}{1-y^3}=-2+\frac{2}{1-y^3}=-2+\frac{2}{(1}^3-(y)^3} =-2+\frac{2}{(1-y}\left(1+y+y^2\right)} ধরি, \frac{2}{(1-y}\left(1+y+y^2\right)} \equiv \frac{A}{1-y}+\frac{B y+C}{1+y+y^2}
…….(1)(i)\ldots\ldots. (1) (i)
নং সমীকরণের উভয় পক্ষকে (1−y)(1+y+y2)(1-\mathrm{y})\left(1+\mathrm{y}+\mathrm{y}^2\right) দ্বারা গুণ করে পাই, 2≡ A(1+y+y2)+(By+C)(1−y)2 \equiv \mathrm{~A}\left(1+\mathrm{y}+\mathrm{y}^2\right)+(\mathrm{By}+\mathrm{C})(1-\mathrm{y})
…….(2)(2)\ldots\ldots. (2) (2)
নং সমীকরণে y=1y=1 বসিয়ে পাই, 2=A(1+1+12)+(B×1+C)(1−1)2=\mathrm{A}\left(1+1+1^2\right)+(\mathrm{B} \times 1+\mathrm{C})(1-1) বা, 2=3 A+02=3 \mathrm{~A}+0 বা, 3 A=23 \mathrm{~A}=2 ∴A=23\therefore \mathrm{A}=\frac{2}{3} আবার, (2) নং সমীকরণ হতে পাই, 2=A+Ay+Ay2+By−By2+C−Cy2=\mathrm{A}+\mathrm{Ay}+\mathrm{Ay}^2+\mathrm{By}-\mathrm{By}{ }^2+\mathrm{C}-\mathrm{Cy} বা, 2=(A−B)y2+(A+B−C)y+(A+C)2=(\mathrm{A}-\mathrm{B}) \mathrm{y}^2+(\mathrm{A}+\mathrm{B}-\mathrm{C}) \mathrm{y}+(\mathrm{A}+\mathrm{C})
…….(3)(3)\ldots\ldots. (3) (3)
নং সমীকরণ হতে y2y^2 ও yy এর সহগ সমৃকীত করে A−B=0A-B=0 বা, A=B\mathrm{A}=\mathrm{B} বা, 23=B\frac{2}{3}=\mathrm{B} ∴B=23\therefore B=\frac{2}{3} আবার, A+B−C=0\mathrm{A}+\mathrm{B}-\mathrm{C}=0 বা, 23+23=C\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\mathrm{C} বা, C=43C=\frac{4}{3} (i) নং এ A, B ও C এর মান বসিয়ে পাই, \frac{2}{(1-y}\left(1+y+y^2\right)} \equiv \frac{\frac{2}{3}}{1-y}+\frac{\frac{2 y}{3}+\frac{4}{3}}{1+y+y^2} \equiv \frac{2}{3(1-y)}+\frac{\frac{2 y+4}{3}}{1+y+y^2} ≡23(1−y)+2y+43(1+y+y2)\equiv \frac{2}{3(1-y)}+\frac{2 y+4}{3\left(1+y+y^2\right)} ∴g(y)≡−2+23(1−y)+2y+43(1+y+y2)\therefore g(y) \equiv-2+\frac{2}{3(1-y)}+\frac{2 y+4}{3\left(1+y+y^2\right)} যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১০ : দ্বিপদী বিস্তৃতি
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.(x2+2+1x2)8\left(x^2+2+\frac{1}{x^2}\right)^8 রাশির বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা কয়টি?

(x2+2+1x2)8\left(x^2+2+\frac{1}{x^2}\right)^8 রাশির বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা কয়টি?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

h(y)=(2−y2)7\mathrm{h}(\mathrm{y})=\left(2-\frac{\mathrm{y}}{2}\right)^7 এবং f(x)=(2x2+Px)8f(\mathrm{x})=\left(2 \mathrm{x}^2+\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{x}}\right)^8
ক
(x−1x)8\left(x-\frac{1}{x}\right)^8 রাশির বিস্তৃতিতে xx মুক্ত পদটি কত?
খ
h (y) রাশির বিস্তৃতির সাহায্যে (1.995) 7{ }^7 এর মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় করো।
গ
f(x)f(\mathrm{x}) রাশির বিস্তৃতিতে x4\mathrm{x}^4 ও x7\mathrm{x}^7 এর সহগ সমান হলে, P এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.h (y) রাশির বিস্তৃতির সাহায্যে (1.995) 7{ }^7 এর মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় করো।

h (y) রাশির বিস্তৃতির সাহায্যে (1.995) 7{ }^7 এর মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.(x−1x)8\left(x-\frac{1}{x}\right)^8 রাশির বিস্তৃতিতে xx মুক্ত পদটি কত?

(x−1x)8\left(x-\frac{1}{x}\right)^8 রাশির বিস্তৃতিতে xx মুক্ত পদটি কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.n এর ধনাত্মক মান নির্ণয় করো যেখানে, nC2=6{ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_2=6.

n এর ধনাত্মক মান নির্ণয় করো যেখানে, nC2=6{ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_2=6.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.(1+3x)8(1+3 \mathrm{x})^8 রাশির বিস্তৃতিতে মধ্যপদ নির্শয় করো।

(1+3x)8(1+3 \mathrm{x})^8 রাশির বিস্তৃতিতে মধ্যপদ নির্শয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.(3−x)(1+x3)6(3-x)\left(1+\frac{x}{3}\right)^6 রাশির বিস্তৃতিতে x4x^4 এর সহগ নির্ণয় করো।

(3−x)(1+x3)6(3-x)\left(1+\frac{x}{3}\right)^6 রাশির বিস্তৃতিতে x4x^4 এর সহগ নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : f(p,q,r)=(p+q+r)(pq+qr+rp)f(\mathrm{p}, \mathrm{q}, \mathrm{r})=(\mathrm{p}+\mathrm{q}+\mathrm{r})(\mathrm{pq}+\mathrm{qr}+\mathrm{rp}) দৃশ্যকল্প-২ : g(x)=2+x4\mathrm{g}(\mathrm{x})=2+\frac{\mathrm{x}}{4}.
ক
P(x)=2x3−5x2+7x−8\mathrm{P}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^3-5 \mathrm{x}^2+7 \mathrm{x}-8 কে (x+1)(\mathrm{x}+1) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
খ
দৃশ্যকল্প-১ অনুযায়ী f(p,q,r)=pqrf(\mathrm{p}, \mathrm{q}, \mathrm{r})=\mathrm{pqr} হলে, প্রমাণ করো যে, \frac{1}{(p+q+r}^{\pi}}=\frac{1}{p^{\pi}}+\frac{1}{q^{\pi}}+\frac{1}{r^{\pi}}.
গ
দৃশ্যকল্প-২ অনুযায়ী {g(x)}7\{\mathrm{g}(\mathrm{x})\}^7 রাশিকে প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে বিস্তৃত করো। প্রাপ্ত ফলাফল ব্যবহার করে (1.01) 7{ }^7 এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.দৃশ্যকল্প−১-১ অনুযায়ী f(p,q,r)=pqrf(p, q, r)=pqr হলে, প্রমাণ করো যে, \frac{1}{(p+q+r}^n}=\frac{1}{p^n}+\frac{1}{q^n}+\frac{1}{r^n}.

দৃশ্যকল্প−১-১ অনুযায়ী f(p,q,r)=pqrf(p, q, r)=pqr হলে, প্রমাণ করো যে, \frac{1}{(p+q+r}^n}=\frac{1}{p^n}+\frac{1}{q^n}+\frac{1}{r^n}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.P(x)=2x3−5x2+7x−8\mathrm{P}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^3-5 \mathrm{x}^2+7 \mathrm{x}-8 কে (x+1)(\mathrm{x}+1) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

P(x)=2x3−5x2+7x−8\mathrm{P}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^3-5 \mathrm{x}^2+7 \mathrm{x}-8 কে (x+1)(\mathrm{x}+1) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.(2−x).(1+ax)5(2-x) .(1+a x)^5 কে x2x^2 পর্যত বিস্তৃত করলে যদি 2+9x+cx22+9 x +\mathrm{cx}^2 পাওয়া যায়, তবে a ও c এর মান নির্ণয় করো।

(2−x).(1+ax)5(2-x) .(1+a x)^5 কে x2x^2 পর্যত বিস্তৃত করলে যদি 2+9x+cx22+9 x +\mathrm{cx}^2 পাওয়া যায়, তবে a ও c এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.(p−12x)6=r−96x+Sx2+………\left(p-\frac{1}{2} x\right)^6=r-96 x+S x^2+\ldots \ldots \ldots. হলে, pp এবং rr এর মান নির্ণয় করো।

(p−12x)6=r−96x+Sx2+………\left(p-\frac{1}{2} x\right)^6=r-96 x+S x^2+\ldots \ldots \ldots. হলে, pp এবং rr এর মান নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] রাশির বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা কয়টি?[গণিত] রাশির বিস্তৃতিতে [গণিত] ও [গণিত] এর সহগ সমান হলে, [গণিত] এর মান নির্ণয় কh (y) রাশির বিস্তৃতির সাহায্যে (1.995) [গণিত] এর মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত নির[গণিত] রাশির বিস্তৃতিতে [গণিত] মুক্ত পদটি কত?n এর ধনাত্মক মান নির্ণয় করো যেখানে, [গণিত] .[গণিত] রাশির বিস্তৃতিতে মধ্যপদ নির্শয় করো।[গণিত] রাশির বিস্তৃতিতে [গণিত] এর সহগ নির্ণয় করো।দৃশ্যকল্প [গণিত] অনুযায়ী [গণিত] রাশিকে প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে বিস্তৃত করদৃশ্যকল্প [গণিত] অনুযায়ী [গণিত] হলে, প্রমাণ করো যে, [গণিত] .[গণিত] কে [গণিত] দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?[গণিত] কে [গণিত] পর্যত বিস্তৃত করলে যদি [গণিত] পাওয়া যায়, তবে a ও c এর মান নির[গণিত] . হলে, [গণিত] এবং [গণিত] এর মান নির্ণয় করো।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন