Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] ।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] , [গণিত] এখন, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] হয়, [গণিত] অথবা, [গণিত] আবার, [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১ : সেট ও ফাংশন CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১ : সেট ও ফাংশন · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, ।

উদ্দীপক

A={x:x∈R\mathrm{A} = \{\mathrm{x} : \mathrm{x} \in \mathbb{R} এবং x2−(p+q)x+pq=0;p,q∈R}\mathrm{x}^2 - (\mathrm{p} + \mathrm{q})\mathrm{x} + \mathrm{pq} = 0; \mathrm{p}, \mathrm{q} \in \mathbb{R}\}, B={2,3}\mathrm{B} = \{2, 3\} এবং C={3,4,5}\mathrm{C} = \{3, 4, 5\}

Dhaka · 2016

উত্তর

উপসেট: একটি সেটের প্রত্যেকটি উপাদান যদি অপর একটি সেটের উপাদানসমূহের অন্তর্গত হয়, তবে প্রথম সেটকে দ্বিতীয় সেটের উপসেট বলা হয়। যেমন: A={2,3}\mathrm{A} = \{2, 3\}, B={2,3,4,5}\mathrm{B} = \{2, 3, 4, 5\} এর উপসেট। পূরক সেট: যদি UU সার্বিক সেট এবং AA সেটটি UU এর উপসেট হয়, তাহলে AA সেটের বহির্ভূত কিন্তু UU সেটের অন্তর্গত অন্য সকল উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে AA সেটের পূরক সেট বলে। AA এর পূরক সেটকে Ac\mathrm{A}^\mathrm{c} বা A′\mathrm{A}' দ্বারা প্রকাশ করা হয়। গাণিতিকভাবে Ac=U∖A={x:x∈U\mathrm{A}^\mathrm{c} = \mathrm{U}\setminus\mathrm{A} = \{\mathrm{x} : \mathrm{x} \in \mathrm{U} এবং x∉A}\mathrm{x} \notin \mathrm{A}\}

উত্তর

দেওয়া আছে, B={2,3}\mathrm{B} = \{2, 3\}, C={3,4,5}\mathrm{C} = \{3, 4, 5\} ∴B∩C={2,3}∩{3,4,5}={3}\therefore \mathrm{B} \cap \mathrm{C} = \{2, 3\} \cap \{3, 4, 5\} = \{3\} বামপক্ষ =P(B∩C)={{3},∅}= \mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C}) = \{\{3\}, \varnothing\} আবার, P(B)={{2},{3},{2,3},∅}\mathrm{P}(\mathrm{B}) = \{\{2\}, \{3\}, \{2, 3\}, \varnothing\} এবং P(C)={{3},{4},{5},{3,4},{4,5},{3,5},{3,4,5},∅}\mathrm{P}(\mathrm{C}) = \{\{3\}, \{4\}, \{5\}, \{3, 4\}, \{4, 5\}, \{3, 5\}, \{3, 4, 5\}, \varnothing\} ডানপক্ষ =P(B)∩P(C)= \mathrm{P}(\mathrm{B}) \cap \mathrm{P}(\mathrm{C}) ={{2},{3},{2,3},∅}∩{{3},{4},{5},{3,4},{4,5},{3,5},{3,4,5},∅}= \{\{2\}, \{3\}, \{2, 3\}, \varnothing\} \cap \{\{3\}, \{4\}, \{5\}, \{3, 4\}, \{4, 5\}, \{3, 5\}, \{3, 4, 5\}, \varnothing\} ={{3},∅}= \{\{3\}, \varnothing\} ∴P(B∩C)=P(B)∩P(C)\therefore \mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C}) = \mathrm{P}(\mathrm{B}) \cap \mathrm{P}(\mathrm{C}) (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, A={x:x∈R\mathrm{A} = \{\mathrm{x} : \mathrm{x} \in \mathbb{R} এবং x2−(p+q)x+pq=0;p,q∈R}\mathrm{x}^2 - (\mathrm{p} + \mathrm{q})\mathrm{x} + \mathrm{pq} = 0; \mathrm{p}, \mathrm{q} \in \mathbb{R}\} B={2,3}\mathrm{B} = \{2, 3\}, C={3,4,5}\mathrm{C} = \{3, 4, 5\} এখন, x2−(p+q)x+pq=0\mathrm{x}^2 - (\mathrm{p} + \mathrm{q})\mathrm{x} + \mathrm{pq} = 0 বা, x2−px−qx+pq=0\mathrm{x}^2 - \mathrm{px} - \mathrm{qx} + \mathrm{pq} = 0 বা, x(x−p)−q(x−p)=0\mathrm{x}(\mathrm{x} - \mathrm{p}) - \mathrm{q}(\mathrm{x} - \mathrm{p}) = 0 ∴(x−p)(x−q)=0\therefore (\mathrm{x} - \mathrm{p})(\mathrm{x} - \mathrm{q}) = 0 হয়, x−p=0\mathrm{x} - \mathrm{p} = 0 অথবা, x−q=0\mathrm{x} - \mathrm{q} = 0 ∴x=p\therefore \mathrm{x} = \mathrm{p} ∴x=q\therefore \mathrm{x} = \mathrm{q} ∴A={p,q}\therefore \mathrm{A} = \{\mathrm{p}, \mathrm{q}\} আবার, B∪C={2,3}∪{3,4,5}={2,3,4,5}\mathrm{B} \cup \mathrm{C} = \{2, 3\} \cup \{3, 4, 5\} = \{2, 3, 4, 5\} A×B={p,q}×{2,3}={(p,2),(p,3),(q,2),(q,3)}\mathrm{A} \times \mathrm{B} = \{\mathrm{p}, \mathrm{q}\} \times \{2, 3\} = \{(\mathrm{p}, 2), (\mathrm{p}, 3), (\mathrm{q}, 2), (\mathrm{q}, 3)\} A×C={p,q}×{3,4,5}={(p,3),(p,4),(p,5),(q,3),(q,4),(q,5)}\mathrm{A} \times \mathrm{C} = \{\mathrm{p}, \mathrm{q}\} \times \{3, 4, 5\} = \{(\mathrm{p}, 3), (\mathrm{p}, 4), (\mathrm{p}, 5), (\mathrm{q}, 3), (\mathrm{q}, 4), (\mathrm{q}, 5)\} বামপক্ষ =A×(B∪C)= \mathrm{A} \times (\mathrm{B} \cup \mathrm{C}) ={p,q}×{2,3,4,5}= \{\mathrm{p}, \mathrm{q}\} \times \{2, 3, 4, 5\} ={(p,2),(p,3),(p,4),(p,5),(q,2),(q,3),(q,4),(q,5)}= \{(\mathrm{p}, 2), (\mathrm{p}, 3), (\mathrm{p}, 4), (\mathrm{p}, 5), (\mathrm{q}, 2), (\mathrm{q}, 3), (\mathrm{q}, 4), (\mathrm{q}, 5)\} ডানপক্ষ =(A×B)∪(A×C)= (\mathrm{A} \times \mathrm{B}) \cup (\mathrm{A} \times \mathrm{C}) ={(p,2),(p,3),(q,2),(q,3)}∪{(p,3),(p,4),(p,5),(q,3),(q,4),(q,5)}= \{(\mathrm{p}, 2), (\mathrm{p}, 3), (\mathrm{q}, 2), (\mathrm{q}, 3)\} \cup \{(\mathrm{p}, 3), (\mathrm{p}, 4), (\mathrm{p}, 5), (\mathrm{q}, 3), (\mathrm{q}, 4), (\mathrm{q}, 5)\} ={(p,2),(p,3),(p,4),(p,5),(q,2),(q,3),(q,4),(q,5)}= \{(\mathrm{p}, 2), (\mathrm{p}, 3), (\mathrm{p}, 4), (\mathrm{p}, 5), (\mathrm{q}, 2), (\mathrm{q}, 3), (\mathrm{q}, 4), (\mathrm{q}, 5)\} ∴A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)\therefore \mathrm{A} \times (\mathrm{B} \cup \mathrm{C}) = (\mathrm{A} \times \mathrm{B}) \cup (\mathrm{A} \times \mathrm{C}) (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১ : সেট ও ফাংশন
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x−2x−3f(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}-3} এবং g(x)=3xg(\mathrm{x})=3^{\mathrm{x}}. [ময়মনসিংহ জিলা স্কুল]
ক
ডোমেন ff নির্ণয় করো।
খ
g−1(x)g^{-1}(\mathrm{x}) এবং রেঞ্জ gg নির্ণয় করো।
গ
f(x)f(\mathrm{x}) ফাংশন এক-এক এবং সার্বিক কি-না যাচাই করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.g−1(x)g^{-1}(\mathrm{x}) এবং রেঞ্জ gg নির্ণয় করো।

g−1(x)g^{-1}(\mathrm{x}) এবং রেঞ্জ gg নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.ডোমেন ff নির্ণয় করো।

ডোমেন ff নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

U={x:x\mathrm{U}=\{\mathrm{x}: \mathrm{x} ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা}\}, A={x:x≥5}⊂U\mathrm{A}=\{\mathrm{x}: \mathrm{x} \geq 5\} \subset \mathrm{U} B={x:5x<12}⊂U.C=A′∪B\mathrm{B}=\{\mathrm{x}: 5 \mathrm{x}<12\} \subset \mathrm{U}. \mathrm{C}=\mathrm{A}^{\prime} \cup \mathrm{B} এবং S={3n,n=0\mathrm{S}=\{3^{\mathrm{n}}, \mathrm{n}=0 অথবা, n∈N}\mathrm{n} \in \mathbb{N}\}. [বগুড়া সরকারি বালিকা উচ্চ বিদ্যালয়]
ক
A′\mathrm{A}^{\prime} নির্ণয় করো।
খ
প্রমাণ করো যে, P(B∩C)=P(B)∩P(C)\mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \cap \mathrm{P}(\mathrm{C}).
গ
S\mathrm{S} সেটের এমন একটি প্রকৃত উপসেট S1\mathrm{S}_1 বর্ণনা করো। যা S\mathrm{S} এর সমতুল্য এবং S\mathrm{S} এর সাথে S1\mathrm{S}_1 এর এক-এক মিলটি বর্ণনা করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.প্রমাণ করো যে, P(B∩C)=P(B)∩P(C)\mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \cap \mathrm{P}(\mathrm{C}).

প্রমাণ করো যে, P(B∩C)=P(B)∩P(C)\mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \cap \mathrm{P}(\mathrm{C}).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.A′\mathrm{A}^{\prime} নির্ণয় করো।

A′\mathrm{A}^{\prime} নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

A,B\mathrm{A}, \mathrm{B} সান্ত সেট এবং A,B,N⊆U\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathbb{N} \subseteq \mathrm{U} এবং f:R−{12}→R−{12}f: \mathbb{R}-\left\{\frac{1}{2}\right\} \to \mathbb{R}-\left\{\frac{1}{2}\right\}; যেন f(x)=x+42x−1f(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{x}+4}{2 \mathrm{x}-1}. [আইডিয়াল স্কুল এন্ড কলেজ, মতিঝিল ঢাকা]
ক
প্রমাণ করো যে, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N\mathbb{N} একটি অনন্ত সেট।
খ
প্রমাণ করো যে, n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)\mathrm{n}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\mathrm{n}(\mathrm{A})+\mathrm{n}(\mathrm{B})-\mathrm{n}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}).
গ
f(x)f(\mathrm{x}) এক-এক এবং সার্বিক কি-না যাচাই করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ করো যে, n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)\mathrm{n}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\mathrm{n}(\mathrm{A})+\mathrm{n}(\mathrm{B})-\mathrm{n}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}).

প্রমাণ করো যে, n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)\mathrm{n}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\mathrm{n}(\mathrm{A})+\mathrm{n}(\mathrm{B})-\mathrm{n}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N\mathbb{N} একটি অনন্ত সেট।

প্রমাণ করো যে, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N\mathbb{N} একটি অনন্ত সেট।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

A={x:x∈R\mathrm{A}=\{\mathrm{x}: \mathrm{x} \in \mathbb{R} এবং x2−(a+b)x+ab=0}\mathrm{x}^2-(\mathrm{a}+\mathrm{b}) \mathrm{x}+\mathrm{ab}=0\}, B={2,3},C={2,4,5}\mathrm{B}=\{2,3\}, \mathrm{C}=\{2,4,5\} যেখানে a,b∈R\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{R}. [ঢাকা বোর্ড ২০১৫]
ক
A\mathrm{A} সেটের উপাদানসমূহ নির্ণয় করো।
খ
দেখাও যে, P(B∩C)=P(B)∩P(C)\mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \cap \mathrm{P}(\mathrm{C}).
গ
প্রমাণ করো যে, A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)\mathrm{A} \times(\mathrm{B} \cup \mathrm{C})=(\mathrm{A} \times \mathrm{B}) \cup(\mathrm{A} \times \mathrm{C}).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, P(B∩C)=P(B)∩P(C)\mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \cap \mathrm{P}(\mathrm{C}).

দেখাও যে, P(B∩C)=P(B)∩P(C)\mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \cap \mathrm{P}(\mathrm{C}).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.A\mathrm{A} সেটের উপাদানসমূহ নির্ণয় করো।

A\mathrm{A} সেটের উপাদানসমূহ নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] ফাংশন এক-এক এবং সার্বিক কি-না যাচাই করো।[গণিত] এবং রেঞ্জ [গণিত] নির্ণয় করো।ডোমেন [গণিত] নির্ণয় করো।[গণিত] সেটের এমন একটি প্রকৃত উপসেট [গণিত] বর্ণনা করো। যা [গণিত] এর সমতুল্য এবং [প্রমাণ করো যে, [গণিত] .[গণিত] নির্ণয় করো।[গণিত] এক-এক এবং সার্বিক কি-না যাচাই করো।প্রমাণ করো যে, [গণিত] .প্রমাণ করো যে, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট [গণিত] একটি অনন্ত সেট।প্রমাণ করো যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] সেটের উপাদানসমূহ নির্ণয় করো।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন