Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এক-এক এবং সার্বিক কি-না যাচাই করো।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] হবে যদি ও কেবল যদি [গণিত] বা, [গণিত] হয়। [গণিত] এর ডোমেন [গণিত] ধরি, [গণিত] ডোম [গণিত] এবং [গণিত] এখন, [গণিত] এক-এক ফাংশন হবে যদি ও কেবল যদি [গণিত] এর জন্য [গণিত] হয়। [গণিত] হলে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] একটি এক-এক ফাংশন। আবার ধরি, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এখন, [গণিত] হবে যদি ও কেবল যদি [গণিত] বা, [গণিত] হয়। [গণিত] এর রেঞ্জ [গণিত] এর ডোমেন [গণিত] কোডোমেন [গণিত] একটি সার্বিক ফাংশন। অতএব, [গণিত] এক-এক এবং সার্বিক।

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১ : সেট ও ফাংশন CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১ : সেট ও ফাংশন · সৃজনশীল

এক-এক এবং সার্বিক কি-না যাচাই করো।

উদ্দীপক

A,B\mathrm{A}, \mathrm{B} সান্ত সেট এবং A,B,N⊆U\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathbb{N} \subseteq \mathrm{U} এবং f:R−{12}→R−{12}f: \mathbb{R}-\left\{\frac{1}{2}\right\} \to \mathbb{R}-\left\{\frac{1}{2}\right\}; যেন f(x)=x+42x−1f(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{x}+4}{2 \mathrm{x}-1}. [আইডিয়াল স্কুল এন্ড কলেজ, মতিঝিল ঢাকা]

উত্তর

আমরা জানি, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট, N={1,2,3,4,5,6,…,n}\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5,6, \ldots, \mathrm{n}\} N\mathbb{N} সেট থেকে বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহ নিয়ে গঠিত সেট, A={1,3,5,7,…}\mathrm{A}=\{1,3,5,7, \ldots\} জোড় স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহ নিয়ে গঠিত সেট, B={2,4,6,8,…}\mathrm{B}=\{2,4,6,8, \ldots\} 33-এর গুণিতকসমূহ নিয়ে গঠিত সেট, C={3,6,9,…}\mathrm{C}=\{3,6,9, \ldots\} এখানে, N\mathbb{N} সেট থেকে গঠিত A,B\mathrm{A}, \mathrm{B} ও C\mathrm{C} সেটসমূহ থেকে উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায় না। তাই, A,B\mathrm{A}, \mathrm{B} ও C\mathrm{C} অনন্ত সেট। সুতরাং, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N\mathbb{N} একটি অনন্ত সেট।

উত্তর

এখানে, A∖B,A∩B\mathrm{A} \setminus \mathrm{B}, \mathrm{A} \cap \mathrm{B} এবং B∖A\mathrm{B} \setminus \mathrm{A} সেট তিনটি পরস্পর নিচ্ছেদ সেট এবং A=(A∖B)∪(A∩B)\mathrm{A}=(\mathrm{A} \setminus \mathrm{B}) \cup(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) B=(B∖A)∪(A∩B)\mathrm{B}=(\mathrm{B} \setminus \mathrm{A}) \cup(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) A∪B=(A∖B)∪(A∩B)∪(B∖A)\mathrm{A} \cup \mathrm{B}=(\mathrm{A} \setminus \mathrm{B}) \cup(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) \cup(\mathrm{B} \setminus \mathrm{A}) question image ∴n(A)=n(A∖B)+n(A∩B)\therefore \mathrm{n}(\mathrm{A})=\mathrm{n}(\mathrm{A} \setminus \mathrm{B})+\mathrm{n}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) …….(1)\ldots\ldots. (1) n(B)=n(B∖A)+n(A∩B)\mathrm{n}(\mathrm{B})=\mathrm{n}(\mathrm{B} \setminus \mathrm{A})+\mathrm{n}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) …….(2)\ldots\ldots. (2) n(A∪B)=n(A∖B)+n(A∩B)+n(B∖A)\mathrm{n}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\mathrm{n}(\mathrm{A} \setminus \mathrm{B})+\mathrm{n}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})+\mathrm{n}(\mathrm{B} \setminus \mathrm{A}) …….(3)\ldots\ldots. (3) সুতরাং (1) নং থেকে পাই, n(A∖B)=n(A)−n(A∩B)\mathrm{n}(\mathrm{A} \setminus \mathrm{B})=\mathrm{n}(\mathrm{A})-\mathrm{n}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) (2) নং থেকে পাই, n(B∖A)=n(B)−n(A∩B)\mathrm{n}(\mathrm{B} \setminus \mathrm{A})=\mathrm{n}(\mathrm{B})-\mathrm{n}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) এখন, n(A∖B)\mathrm{n}(\mathrm{A} \setminus \mathrm{B}) এবং n(B∖A)\mathrm{n}(\mathrm{B} \setminus \mathrm{A}) এর মান (3) নং এ বসিয়ে পাই, n(A∪B)=n(A)−n(A∩B)+n(A∩B)+n(B)−n(A∩B)\mathrm{n}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\mathrm{n}(\mathrm{A})-\mathrm{n}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})+\mathrm{n}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})+\mathrm{n}(\mathrm{B})-\mathrm{n}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) ∴n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)\therefore \mathrm{n}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\mathrm{n}(\mathrm{A})+\mathrm{n}(\mathrm{B})-\mathrm{n}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})। (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=x+42x−1f(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{x}+4}{2 \mathrm{x}-1} f(x)∈Rf(\mathrm{x}) \in \mathbb{R} হবে যদি ও কেবল যদি 2x−1≠02 \mathrm{x}-1 \neq 0 বা, x≠12\mathrm{x} \neq \frac{1}{2} হয়। ∴f(x)\therefore f(\mathrm{x}) এর ডোমেন =R−{12}=\mathbb{R}-\left\{\frac{1}{2}\right\} ধরি, a,b∈\mathrm{a}, \mathrm{b} \in ডোম f(x)f(\mathrm{x}) ∴f(a)=a+42a−1\therefore f(\mathrm{a})=\frac{\mathrm{a}+4}{2 \mathrm{a}-1} এবং f(b)=b+42b−1f(\mathrm{b})=\frac{\mathrm{b}+4}{2 \mathrm{b}-1} এখন, f(x)f(\mathrm{x}) এক-এক ফাংশন হবে যদি ও কেবল যদি f(a)=f(b)f(\mathrm{a})=f(\mathrm{b}) এর জন্য a=b\mathrm{a}=\mathrm{b} হয়। f(a)=f(b)f(\mathrm{a})=f(\mathrm{b}) হলে, a+42a−1=b+42b−1\frac{\mathrm{a}+4}{2 \mathrm{a}-1}=\frac{\mathrm{b}+4}{2 \mathrm{b}-1} বা, 2ab−a+8b−4=2ab−b+8a−42 \mathrm{ab}-\mathrm{a}+8 \mathrm{b}-4=2 \mathrm{ab}-\mathrm{b}+8 \mathrm{a}-4 বা, 8b+b=8a+a8 \mathrm{b}+\mathrm{b}=8 \mathrm{a}+\mathrm{a} বা, 9a=9b9 \mathrm{a}=9 \mathrm{b} ∴a=b\therefore \mathrm{a}=\mathrm{b} ∴f(x)\therefore f(\mathrm{x}) একটি এক-এক ফাংশন। আবার ধরি, y=f(x)=x+42x−1\mathrm{y}=f(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{x}+4}{2 \mathrm{x}-1} ∴y=f(x)\therefore \mathrm{y}=f(\mathrm{x}) বা, x=f−1(y)\mathrm{x}=f^{-1}(\mathrm{y}) আবার, y=x+42x−1\mathrm{y}=\frac{\mathrm{x}+4}{2 \mathrm{x}-1} বা, 2xy−y=x+42 \mathrm{xy}-\mathrm{y}=\mathrm{x}+4 বা, 2xy−x=y+42 \mathrm{xy}-\mathrm{x}=\mathrm{y}+4 বা, x(2y−1)=y+4\mathrm{x}(2 \mathrm{y}-1)=\mathrm{y}+4 বা, x=y+42y−1\mathrm{x}=\frac{\mathrm{y}+4}{2 \mathrm{y}-1} ∴f−1(y)=y+42y−1\therefore f^{-1}(\mathrm{y})=\frac{\mathrm{y}+4}{2 \mathrm{y}-1} এখন, f−1(y)∈Rf^{-1}(\mathrm{y}) \in \mathbb{R} হবে যদি ও কেবল যদি 2y−1≠02 \mathrm{y}-1 \neq 0 বা, y≠12\mathrm{y} \neq \frac{1}{2} হয়। ∴f(x)\therefore f(\mathrm{x}) এর রেঞ্জ =f−1(x)=f^{-1}(\mathrm{x}) এর ডোমেন =R−{12}==\mathbb{R}-\left\{\frac{1}{2}\right\}= কোডোমেন ∴f(x)\therefore f(\mathrm{x}) একটি সার্বিক ফাংশন। অতএব, f(x)f(\mathrm{x}) এক-এক এবং সার্বিক।
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১ : সেট ও ফাংশন
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

f(x)=x−2x−3f(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}-3} এবং g(x)=3xg(\mathrm{x})=3^{\mathrm{x}}. [ময়মনসিংহ জিলা স্কুল]
ক
ডোমেন ff নির্ণয় করো।
খ
g−1(x)g^{-1}(\mathrm{x}) এবং রেঞ্জ gg নির্ণয় করো।
গ
f(x)f(\mathrm{x}) ফাংশন এক-এক এবং সার্বিক কি-না যাচাই করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.g−1(x)g^{-1}(\mathrm{x}) এবং রেঞ্জ gg নির্ণয় করো।

g−1(x)g^{-1}(\mathrm{x}) এবং রেঞ্জ gg নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.ডোমেন ff নির্ণয় করো।

ডোমেন ff নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

U={x:x\mathrm{U}=\{\mathrm{x}: \mathrm{x} ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা}\}, A={x:x≥5}⊂U\mathrm{A}=\{\mathrm{x}: \mathrm{x} \geq 5\} \subset \mathrm{U} B={x:5x<12}⊂U.C=A′∪B\mathrm{B}=\{\mathrm{x}: 5 \mathrm{x}<12\} \subset \mathrm{U}. \mathrm{C}=\mathrm{A}^{\prime} \cup \mathrm{B} এবং S={3n,n=0\mathrm{S}=\{3^{\mathrm{n}}, \mathrm{n}=0 অথবা, n∈N}\mathrm{n} \in \mathbb{N}\}. [বগুড়া সরকারি বালিকা উচ্চ বিদ্যালয়]
ক
A′\mathrm{A}^{\prime} নির্ণয় করো।
খ
প্রমাণ করো যে, P(B∩C)=P(B)∩P(C)\mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \cap \mathrm{P}(\mathrm{C}).
গ
S\mathrm{S} সেটের এমন একটি প্রকৃত উপসেট S1\mathrm{S}_1 বর্ণনা করো। যা S\mathrm{S} এর সমতুল্য এবং S\mathrm{S} এর সাথে S1\mathrm{S}_1 এর এক-এক মিলটি বর্ণনা করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.প্রমাণ করো যে, P(B∩C)=P(B)∩P(C)\mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \cap \mathrm{P}(\mathrm{C}).

প্রমাণ করো যে, P(B∩C)=P(B)∩P(C)\mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \cap \mathrm{P}(\mathrm{C}).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.A′\mathrm{A}^{\prime} নির্ণয় করো।

A′\mathrm{A}^{\prime} নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.প্রমাণ করো যে, n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)\mathrm{n}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\mathrm{n}(\mathrm{A})+\mathrm{n}(\mathrm{B})-\mathrm{n}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}).

প্রমাণ করো যে, n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)\mathrm{n}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\mathrm{n}(\mathrm{A})+\mathrm{n}(\mathrm{B})-\mathrm{n}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ করো যে, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N\mathbb{N} একটি অনন্ত সেট।

প্রমাণ করো যে, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N\mathbb{N} একটি অনন্ত সেট।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

A={x:x∈R\mathrm{A}=\{\mathrm{x}: \mathrm{x} \in \mathbb{R} এবং x2−(a+b)x+ab=0}\mathrm{x}^2-(\mathrm{a}+\mathrm{b}) \mathrm{x}+\mathrm{ab}=0\}, B={2,3},C={2,4,5}\mathrm{B}=\{2,3\}, \mathrm{C}=\{2,4,5\} যেখানে a,b∈R\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{R}. [ঢাকা বোর্ড ২০১৫]
ক
A\mathrm{A} সেটের উপাদানসমূহ নির্ণয় করো।
খ
দেখাও যে, P(B∩C)=P(B)∩P(C)\mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \cap \mathrm{P}(\mathrm{C}).
গ
প্রমাণ করো যে, A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)\mathrm{A} \times(\mathrm{B} \cup \mathrm{C})=(\mathrm{A} \times \mathrm{B}) \cup(\mathrm{A} \times \mathrm{C}).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দেখাও যে, P(B∩C)=P(B)∩P(C)\mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \cap \mathrm{P}(\mathrm{C}).

দেখাও যে, P(B∩C)=P(B)∩P(C)\mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \cap \mathrm{P}(\mathrm{C}).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.A\mathrm{A} সেটের উপাদানসমূহ নির্ণয় করো।

A\mathrm{A} সেটের উপাদানসমূহ নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

F(x)=2−4x\mathrm{F}(\mathrm{x}) = \sqrt{2 - 4\mathrm{x}} একটি ফাংশন।

Comilla · 2016

ক
F(x)\mathrm{F}(\mathrm{x}) দ্বারা বর্ণিত ফাংশনের ডোমেন নির্ণয় কর।
খ
F\mathrm{F} একটি এক-এক ফাংশন কি না নির্ধারণ কর।
গ
F−1(−3)\mathrm{F}^{-1}(-3) এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] ফাংশন এক-এক এবং সার্বিক কি-না যাচাই করো।[গণিত] এবং রেঞ্জ [গণিত] নির্ণয় করো।ডোমেন [গণিত] নির্ণয় করো।[গণিত] সেটের এমন একটি প্রকৃত উপসেট [গণিত] বর্ণনা করো। যা [গণিত] এর সমতুল্য এবং [প্রমাণ করো যে, [গণিত] .[গণিত] নির্ণয় করো।প্রমাণ করো যে, [গণিত] .প্রমাণ করো যে, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট [গণিত] একটি অনন্ত সেট।প্রমাণ করো যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] সেটের উপাদানসমূহ নির্ণয় করো।[গণিত] এর মান নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন