অধ্যায়-১ : সেট ও ফাংশন উচ্চতর গণিত

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

$\mathrm{U}=\{\mathrm{x}: \mathrm{x}$ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা$\}$, $\mathrm{A}=\{\mathrm{x}: \mathrm{x} \geq 5\} \subset \mathrm{U}$ $\mathrm{B}=\{\mathrm{x}: 5 \mathrm{x}<12\} \subset \mathrm{U}. \mathrm{C}=\mathrm{A}^{\prime} \cup \mathrm{B}$ এবং $\mathrm{S}=\{3^{\mathrm{n}}, \mathrm{n}=0$ অথবা, $\mathrm{n} \in \mathbb{N}\}$. [বগুড়া সরকারি বালিকা উচ্চ বিদ্যালয়]

ক

$\mathrm{A}^{\prime}$ নির্ণয় করো।

উত্তর

দেওয়া আছে, $\mathrm{U}=\{\mathrm{x}: \mathrm{x}$ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা$\}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, \ldots\}$ $\mathrm{A}=\{\mathrm{x}: \mathrm{x} \geq 5\} \subset \mathrm{U}$ এখন, $\mathrm{A}$ সেট তালিকা আকারে প্রকাশ করে পাই, $\mathrm{A}=\{5,6,7,8, \ldots\}$ $\therefore \mathrm{A}^{\prime}=\mathrm{U}-\mathrm{A}$ $\qquad=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, \ldots\}-\{5,6,7,8, \ldots\}$ $\qquad=\{1,2,3,4\}$

খ

প্রমাণ করো যে, $\mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \cap \mathrm{P}(\mathrm{C})$.

উত্তর

ক-হতে পাই, $\mathrm{U}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, \ldots\}$ এবং $\mathrm{A}^{\prime}=\{1,2,3,4\}$ $\mathrm{B}=\{\mathrm{x}: 5 \mathrm{x}<12\} \subset \mathrm{U}$ $\mathrm{B}$ কে তালিকা আকারে প্রকাশ করে পাই, $\mathrm{B}=\{1,2\}$ $\mathrm{C}=\mathrm{A}^{\prime} \cup \mathrm{B}$ $=\{1,2,3,4\} \cup\{1,2\}=\{1,2,3,4\}$ এখন, $\mathrm{B} \cap \mathrm{C}=\{1,2\} \cap\{1,2,3,4\}=\{1,2\}$ $\therefore \mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}, \emptyset\}$ আবার, $\mathbf{P ( B )}=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}, \varnothing\}$ এবং P(C) = {{1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1,3}, {1,4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, ∅} ∴ P(B) P(C) = {{1}, {2}, {1, 2},∅ }∩ {{1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1,3}, {1,4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, ∅} $=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}, \varnothing\}$ $\therefore \mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \cap \mathrm{P}(\mathrm{C})$ (প্রমাণিত)

গ

$\mathrm{S}$ সেটের এমন একটি প্রকৃত উপসেট $\mathrm{S}_1$ বর্ণনা করো। যা $\mathrm{S}$ এর সমতুল্য এবং $\mathrm{S}$ এর সাথে $\mathrm{S}_1$ এর এক-এক মিলটি বর্ণনা করো।

উত্তর

দেওয়া আছে, $\mathrm{S}=\{3^{\mathrm{n}}, \mathrm{n}=0$ অথবা $\mathrm{n} \in \mathbb{N}\}$ এখন, $\mathrm{n}=0$ হলে, $\mathrm{S}=3^0=1$ $\mathrm{n} \in \mathbb{N}$ এর জন্য $\mathrm{n}=1$ হলে, $\mathrm{S}=3^1=3$ $\mathrm{n}=2$ হলে, $\mathrm{S}=3^2=9$ $\mathrm{n}=3$ হলে, $\mathrm{S}=3^3=27$ $\mathrm{n}=4$ হলে, $\mathrm{S}=3^4=81$ $\ldots\ldots\ldots\ldots$ $\ldots\ldots\ldots\ldots$ $\therefore \mathrm{S}=\{1,3,9,27,81, \ldots, 3^{\mathrm{n}}\}$ $\therefore$ প্রকৃত উপসেট, $\mathrm{S}_1=\{1,3,9,27,81, \ldots\}$ $\qquad=\{3^0, 3^1, 3^2, 3^3, \ldots, 3^{\mathrm{n}-1}, \mathrm{n}=0$; যেখানে $\mathrm{n} \in \mathbb{N}\}$ $\therefore \mathrm{S}_1$ হলো $\mathrm{S}$ সেটের প্রকৃত উপসেট, যা $\mathrm{S}$ সেটের সমতুল্য ($\mathrm{S}_1 \subset \mathrm{S}$) $\therefore \mathrm{S}$ ও $\mathrm{S}_1$ সেট দুইটির মধ্যে এক-এক মিল নিচের চিত্রে দেখানো হলো : সুতরাং $\mathrm{S}$ ও $\mathrm{S}_1$ সেট দুইটি সমতুল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

$\mathrm{A}, \mathrm{B}$ সান্ত সেট এবং $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathbb{N} \subseteq \mathrm{U}$ এবং $f: \mathbb{R}-\left\{\frac{1}{2}\right\} \to \mathbb{R}-\left\{\frac{1}{2}\right\}$; যেন $f(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{x}+4}{2 \mathrm{x}-1}$. [আইডিয়াল স্কুল এন্ড কলেজ, মতিঝিল ঢাকা]

ক

প্রমাণ করো যে, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট $\mathbb{N}$ একটি অনন্ত সেট।

উত্তর

আমরা জানি, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট, $\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5,6, \ldots, \mathrm{n}\}$ $\mathbb{N}$ সেট থেকে বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহ নিয়ে গঠিত সেট, $\mathrm{A}=\{1,3,5,7, \ldots\}$ জোড় স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহ নিয়ে গঠিত সেট, $\mathrm{B}=\{2,4,6,8, \ldots\}$ $3$-এর গুণিতকসমূহ নিয়ে গঠিত সেট, $\mathrm{C}=\{3,6,9, \ldots\}$ এখানে, $\mathbb{N}$ সেট থেকে গঠিত $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ও $\mathrm{C}$ সেটসমূহ থেকে উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায় না। তাই, $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ও $\mathrm{C}$ অনন্ত সেট। সুতরাং, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট $\mathbb{N}$ একটি অনন্ত সেট।

খ

প্রমাণ করো যে, $\mathrm{n}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\mathrm{n}(\mathrm{A})+\mathrm{n}(\mathrm{B})-\mathrm{n}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})$.

উত্তর

এখানে, $\mathrm{A} \setminus \mathrm{B}, \mathrm{A} \cap \mathrm{B}$ এবং $\mathrm{B} \setminus \mathrm{A}$ সেট তিনটি পরস্পর নিচ্ছেদ সেট এবং $\mathrm{A}=(\mathrm{A} \setminus \mathrm{B}) \cup(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})$ $\mathrm{B}=(\mathrm{B} \setminus \mathrm{A}) \cup(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})$ $\mathrm{A} \cup \mathrm{B}=(\mathrm{A} \setminus \mathrm{B}) \cup(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) \cup(\mathrm{B} \setminus \mathrm{A})$ $\therefore \mathrm{n}(\mathrm{A})=\mathrm{n}(\mathrm{A} \setminus \mathrm{B})+\mathrm{n}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})$ $\ldots\ldots. (1)$ $\mathrm{n}(\mathrm{B})=\mathrm{n}(\mathrm{B} \setminus \mathrm{A})+\mathrm{n}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})$ $\ldots\ldots. (2)$ $\mathrm{n}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\mathrm{n}(\mathrm{A} \setminus \mathrm{B})+\mathrm{n}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})+\mathrm{n}(\mathrm{B} \setminus \mathrm{A})$ $\ldots\ldots. (3)$ সুতরাং (1) নং থেকে পাই, $\mathrm{n}(\mathrm{A} \setminus \mathrm{B})=\mathrm{n}(\mathrm{A})-\mathrm{n}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})$ (2) নং থেকে পাই, $\mathrm{n}(\mathrm{B} \setminus \mathrm{A})=\mathrm{n}(\mathrm{B})-\mathrm{n}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})$ এখন, $\mathrm{n}(\mathrm{A} \setminus \mathrm{B})$ এবং $\mathrm{n}(\mathrm{B} \setminus \mathrm{A})$ এর মান (3) নং এ বসিয়ে পাই, $\mathrm{n}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\mathrm{n}(\mathrm{A})-\mathrm{n}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})+\mathrm{n}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})+\mathrm{n}(\mathrm{B})-\mathrm{n}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})$ $\therefore \mathrm{n}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\mathrm{n}(\mathrm{A})+\mathrm{n}(\mathrm{B})-\mathrm{n}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})$। (প্রমাণিত)

গ

$f(\mathrm{x})$ এক-এক এবং সার্বিক কি-না যাচাই করো।

উত্তর

দেওয়া আছে, $f(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{x}+4}{2 \mathrm{x}-1}$ $f(\mathrm{x}) \in \mathbb{R}$ হবে যদি ও কেবল যদি $2 \mathrm{x}-1 \neq 0$ বা, $\mathrm{x} \neq \frac{1}{2}$ হয়। $\therefore f(\mathrm{x})$ এর ডোমেন $=\mathbb{R}-\left\{\frac{1}{2}\right\}$ ধরি, $\mathrm{a}, \mathrm{b} \in$ ডোম $f(\mathrm{x})$ $\therefore f(\mathrm{a})=\frac{\mathrm{a}+4}{2 \mathrm{a}-1}$ এবং $f(\mathrm{b})=\frac{\mathrm{b}+4}{2 \mathrm{b}-1}$ এখন, $f(\mathrm{x})$ এক-এক ফাংশন হবে যদি ও কেবল যদি $f(\mathrm{a})=f(\mathrm{b})$ এর জন্য $\mathrm{a}=\mathrm{b}$ হয়। $f(\mathrm{a})=f(\mathrm{b})$ হলে, $\frac{\mathrm{a}+4}{2 \mathrm{a}-1}=\frac{\mathrm{b}+4}{2 \mathrm{b}-1}$ বা, $2 \mathrm{ab}-\mathrm{a}+8 \mathrm{b}-4=2 \mathrm{ab}-\mathrm{b}+8 \mathrm{a}-4$ বা, $8 \mathrm{b}+\mathrm{b}=8 \mathrm{a}+\mathrm{a}$ বা, $9 \mathrm{a}=9 \mathrm{b}$ $\therefore \mathrm{a}=\mathrm{b}$ $\therefore f(\mathrm{x})$ একটি এক-এক ফাংশন। আবার ধরি, $\mathrm{y}=f(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{x}+4}{2 \mathrm{x}-1}$ $\therefore \mathrm{y}=f(\mathrm{x})$ বা, $\mathrm{x}=f^{-1}(\mathrm{y})$ আবার, $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{x}+4}{2 \mathrm{x}-1}$ বা, $2 \mathrm{xy}-\mathrm{y}=\mathrm{x}+4$ বা, $2 \mathrm{xy}-\mathrm{x}=\mathrm{y}+4$ বা, $\mathrm{x}(2 \mathrm{y}-1)=\mathrm{y}+4$ বা, $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{y}+4}{2 \mathrm{y}-1}$ $\therefore f^{-1}(\mathrm{y})=\frac{\mathrm{y}+4}{2 \mathrm{y}-1}$ এখন, $f^{-1}(\mathrm{y}) \in \mathbb{R}$ হবে যদি ও কেবল যদি $2 \mathrm{y}-1 \neq 0$ বা, $\mathrm{y} \neq \frac{1}{2}$ হয়। $\therefore f(\mathrm{x})$ এর রেঞ্জ $=f^{-1}(\mathrm{x})$ এর ডোমেন $=\mathbb{R}-\left\{\frac{1}{2}\right\}=$ কোডোমেন $\therefore f(\mathrm{x})$ একটি সার্বিক ফাংশন। অতএব, $f(\mathrm{x})$ এক-এক এবং সার্বিক।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো