উদ্দীপকের [গণিত] ও [গণিত] ডেন্টরদ্বয়ের মধ্যে কোনটি সলিনয়ডাল এবং কোনটি অঘূর্ণনশীল তা গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে যাচাই করো।
উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এর ডাইভারজেন্স [গণিত] যেহেতু [গণিত] , তাই [গণিত] ভেক্টরটি সলিনয়ডাল। [গণিত] এর কার্ল [গণিত] যেহেতু, [গণিত] তাই, [গণিত] ভেক্টরটি ঘূর্ণনশীল আবার, [গণিত] এর ডাইভারজেন্স [গণিত] যেহেতু, [গণিত] , তাই, [গণিত] ভেক্টরটি সলিনয়ডাল না। [গণিত] এর কার্ল [গণিত] যেহেতু, [গণিত] , তাই [গণিত] ভেন্টরটি অঘূর্ণনশীল। অর্থাৎ, [গণিত] ভেন্টরটি সলিনয়ডাল এবং [গণিত] ভৌন্টরটি অঘূর্ণনশীল। [গণিত]
HSC Physics 1st Paper Chapter 2 : ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Physics 1st Paper · Chapter 2 : ভেক্টর · সৃজনশীল
উদ্দীপকের ও ডেন্টরদ্বয়ের মধ্যে কোনটি সলিনয়ডাল এবং কোনটি অঘূর্ণন…
উদ্দীপক
ও তিনটি ভেষ্ঠর রাশি।
সিলেট এমসি কলেজ · 2026
উত্তর
ভেক্টর ক্ষেত্রে অবস্থিত একটি বিন্দুর চারদিকে এর লাইন ইন্টিগ্রালের মান প্রতি একক ক্ষেত্রফলে সর্বোচ্চ হলে তা উক্ত বিন্দুতে ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল প্রকাশ করে।
উত্তর
দুটি সমান্তরাল ভেক্টরের একটির মান অপরটির বিপ্রতীপ হলে তাদেরকে বিপ্রতীপ ভেক্টর বলে। যেমন, ও ।
চিত্রে ও বিপ্রতীপ ভেক্টর।
আবার, দুই বা ততোধিক ভেক্টর যদি এমন হয় যে তারা একই রেখায় বা সমান্তরালে ক্রিয়া করে, তাদেরকে সমরেখ ভেক্টর বলে।
চিত্রে, বা সমরেখ ভেক্টর।
সুতরাং বিপ্রতীপ ভেক্টরকে সমরেখ ভেক্টর বলা যাবে।
আবার, দুই বা ততোধিক ভেক্টর যদি এমন হয় যে তারা একই রেখায় বা সমান্তরালে ক্রিয়া করে, তাদেরকে সমরেখ ভেক্টর বলে।
চিত্রে, বা সমরেখ ভেক্টর।
সুতরাং বিপ্রতীপ ভেক্টরকে সমরেখ ভেক্টর বলা যাবে।উত্তর
এখানে,
এখন,
\begin{aligned}= & \left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \x^2 y & y^2 z & z^2 x\end{aligned}\right| \\ = & \hat{i}\left\{\frac{\partial}{\partial y}\left(z^2 x\right)-\frac{\partial}{\partial z}\left(y^2 z\right)\right\}-\hat{j}\left\{\frac{\partial}{\partial x}\left(z^2 x\right)-\frac{\partial}{\partial z}\left(x^2 y\right)\right\} \\ & +\hat{k}\left\{\frac{\partial}{\partial x}\left(y^2 z\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(x^2 y\right)\right\} \\ = & \hat{i}\left\{0-y^2\right\}-\hat{j}\left\{z^2-0\right\}+\hat{k}\left\{0-x^2\right\}=-y^2 \hat{i}-z^2 \hat{j}-x^2 \hat{k} \\ \therefore \operatorname{div}(
\end{array}) \\ = & \left(\hat{i} \frac{\partial}{\partial x}+\hat{j} \frac{\partial}{\partial y}+\hat{k} \frac{\partial}{\partial z}\right) \cdot\left(-y^2 \hat{i}-z^2 \hat{j}-x^2 \hat{k}\right) \\ = & -\left\{\frac{\partial}{\partial x}\left(y^2\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(z^2\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(x^2\right)\right\}=-\{0+0+0\}=0\end{aligned}
অতএব, উদ্দীপকের ভেক্টরের কার্লের ডাইভারজেন্স শূন্য ।\end{array}
উত্তর
দেওয়া আছে,
এর ডাইভারজেন্স
\cdot \overrightarrow{\mathrm{A}} \\ & =\left(\frac{\partial}{\partial \mathrm{x}} \hat{\mathrm{i}}+\frac{\partial}{\partial \mathrm{y}} \hat{\mathrm{j}}+\frac{\partial}{\partial \mathrm{z}} \hat{\mathrm{k}}\right) \cdot\left\{(2 \mathrm{x}+\mathrm{y}) \hat{\mathrm{i}}+\left(3 \mathrm{y}+\mathrm{z}^2\right) \hat{\mathrm{j}}+(-5 \mathrm{z}+\mathrm{x}) \hat{\mathrm{k}}\right\} \\ & =\frac{\partial}{\partial \mathrm{x}}(2 \mathrm{x}+\mathrm{y})+\frac{\partial}{\partial \mathrm{y}}\left(3 \mathrm{y}+\mathrm{z}^2\right)+\frac{\partial}{\partial \mathrm{z}}(-5 \mathrm{z}+\mathrm{x}) \\ & =2+3-5=0\end{aligned}
যেহেতু , তাই ভেক্টরটি সলিনয়ডাল। এর কার্ল
\begin{aligned} & =\left|\begin{array}{ccc}\hat{\mathrm{i}} & \hat{\mathrm{j}} & \hat{\mathrm{k}} \\ \frac{\partial}{\partial \mathrm{x}} & \frac{\partial}{\partial \mathrm{y}} & \frac{\partial}{\partial \mathrm{z}} \\ 2 \mathrm{x}+\mathrm{y} & 3 \mathrm{y}+\mathrm{z}^2 & -5 \mathrm{z}+\mathrm{x}\end{aligned}\right| \\ & =\hat{\mathrm{i}}\left\{\frac{\partial}{\partial \mathrm{y}}(-5 \mathrm{z}+\mathrm{x})-\frac{\partial}{\partial \mathrm{z}}\left(3 \mathrm{y}+\mathrm{z}^2\right)\right\}-\hat{\mathrm{j}}\left\{\frac{\partial}{\partial \mathrm{x}}(-5 \mathrm{z}+\mathrm{x})-\frac{\partial}{\partial \mathrm{z}}(2 \mathrm{x}+\mathrm{y})\right\} \\ & +\hat{\mathrm{k}}\left\{\frac{\partial}{\partial \mathrm{x}}\left(3 \mathrm{y}+\mathrm{z}^2\right)-\frac{\partial}{\partial \mathrm{y}}(2 \mathrm{x}+\mathrm{y})\right\} \\ & =\hat{\mathrm{i}}\{0-2 \mathrm{z}\}-\hat{\mathrm{j}}\{1-0\}+\hat{\mathrm{k}}\{0-1\} \\ & =-2 \mathrm{zi}-\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}\end{aligned}
\end{array}
যেহেতু, তাই, ভেক্টরটি ঘূর্ণনশীল
আবার, এর ডাইভারজেন্স
\\ & =\left(\frac{\partial}{\partial x} \hat{i}+\frac{\partial}{\partial y} \hat{j}+\frac{\partial}{\partial z} \hat{k}\right) \cdot\left\{\left(6 x y+z^3\right) \hat{i}+\left(3 x^2-z\right) \hat{j}+\left(3 x z^2-y\right) \hat{k}\right\} \\ & =\frac{\partial}{\partial x}\left(6 x y+z^3\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(3 x^2-z\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(3 x z^2-y\right) \\ & =6 y+0+6 x z=6 x z+6 y\end{aligned}
যেহেতু, , তাই, ভেক্টরটি সলিনয়ডাল না।
এর কার্ল
\begin{aligned} & =\left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 6 x y+z^3 & 3 x^2-z & 3 x z^2-y\end{aligned}\right|=\hat{i}\left\{\frac{\partial}{\partial y}\left(3 x z^2-y\right)-\frac{\partial}{\partial z}\left(3 x^2-z\right)\right\} \\ & -\hat{j}\left\{\frac{\partial}{\partial x}\left(3 x z^2-y\right)-\frac{\partial}{\partial z}\left(6 x y+z^3\right)\right\}+\hat{k}\left\{\frac{\partial}{\partial x}\left(3 x^2-z\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(6 x y+z^3\right)\right\} \\ & =\hat{i}(-1+1)-\hat{j}\left(3 z^2-3 z^2\right)+\hat{k}(6 x-6 x) \\ & =0 \hat{i}-0 \hat{j}+0 \mathrm{k}=0\end{aligned}
\end{array}
যেহেতু, , তাই ভেন্টরটি অঘূর্ণনশীল।
অর্থাৎ, ভেন্টরটি সলিনয়ডাল এবং ভৌন্টরটি অঘূর্ণনশীল।\end{array}