Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর উপর [গণিত] এর লম্ব-অভিক্ষেপ নির্ণয় করো।

উত্তর: এখানে, M এর অবস্থান ভেক্টর, [গণিত] N এর অবস্থান ভেক্টর, [গণিত] এবং, [গণিত] আমরা জানি, [গণিত] ভেক্টরের ওপর [গণিত] এর লম্ব অভিক্ষেপ, [গণিত] ∴ [গণিত] এর উপর, [গণিত] এর লম্ব-অভিক্ষেপ, [গণিত] (Ans.)

HSC Physics 1st Paper Chapter 2 : ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Physics 1st Paper · Chapter 2 : ভেক্টর · সৃজনশীল

এর উপর এর লম্ব-অভিক্ষেপ নির্ণয় করো।

উদ্দীপক

question image চিত্রে দুটি বিন্দু M ও N এর স্থানাঙ্ক দেয়া আছে। OM→\overrightarrow{\mathrm{OM}} ও ON→\overrightarrow{\mathrm{ON}} বিন্দুদ্বয়ের অবস্থান ভেক্টর নির্দেশ করে।

Comilla · 2025

উত্তর

কোন ভেক্টর ক্ষেত্রের ঘূর্ণনের সাথে সম্পর্কিত এমন একটি ভেক্টর রাশি যা ঐ ভেক্টর ক্ষেত্রের কোনো একটি বিন্দুর চতুর্দিকে প্রতি একক ক্ষেত্রফলে ভেক্টরটির সর্বোচ্চ লাইন ইন্টিগ্র্যাল প্রকাশ করে তাকে কার্ল বলে।

উত্তর

কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স এমন একটি স্কেলার ফাংশন যা ঐ ভেক্টর ক্ষেত্রের কোন বিন্দুর চতুর্দিকে একক আয়তনে ক্ষেত্রটির সর্বোচ্চ বদ্ধ ক্ষেত্রে সমাকলন অর্থাৎ ক্ষেত্রটি অন্তর্মুখী / বহিমুখী তা নির্দেশ করে। অপারেশনে ∇⃗\vec{\nabla} অপারেটর দ্বারা ডাইভারজেন্স করা হয়। ভেক্টর অপারেটর ও প্রদত্ত ভেক্টর ক্ষেত্রের ডট গুণনে ক্ষেত্রটির ডাইভারজেন্স পাওয়া যায়। আমরা জানি দুটি ভেক্টরের ডট গুণন বা স্কেলার গুণফল একটি স্কেলার রাশি হয়। একটি ভেক্টর ক্ষেত্র V⃗(x,y,z)=Vxi^+Vyj^+Vzk^\vec{V}(x, y, z)=V_x \hat{i}+V_y \hat{j}+V_z \hat{k} এর ডাইভারজেন্সকে নিম্নোক্তভাবে প্রকাশ করা হয়- ∇⃗⋅\vec{\nabla} \cdotV⃗\vec{V}=(∂∂xi^+∂∂yj^+∂∂zk^)⋅(Vxi^+Vyj^+Vzk^)=\left(\frac{\partial}{\partial x} \hat{i}+\frac{\partial}{\partial y} \hat{j}+\frac{\partial}{\partial z} \hat{k}\right) \cdot\left(V_x \hat{i}+V_y \hat{j}+V_z \hat{k}\right) =∂Vx∂x+∂Vy∂y+∂Vz∂z=\frac{\partial V_x}{\partial x}+\frac{\partial V_y}{\partial y}+\frac{\partial V_z}{\partial z} যা একটি স্কেলার রাশিকে নির্দেশ করে। সুতরাং, ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স একটি স্কেলার রাশি।

উত্তর

এখানে, M এর অবস্থান ভেক্টর, OM→=2i^+2j^−k^\overrightarrow{\mathrm{OM}}=2 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}} N এর অবস্থান ভেক্টর, ON→=6i^−3j^+2k^\overrightarrow{\mathrm{ON}}=6 \hat{\mathrm{i}}-3 \hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}} এবং, ∣ON→∣=62+(−3)2+22=7|\overrightarrow{\mathrm{ON}}|=\sqrt{6^2+(-3)^2+2^2}=7 ON→⋅OM→=(2i^+2j^−k^).(6i^−3j^+2k^)\overrightarrow{\mathrm{ON}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}=(2 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}).(6 \hat{\mathrm{i}}-3 \hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}) =12−6−2=4=12-6-2=4 আমরা জানি, A→\overrightarrow{\mathrm{A}} ভেক্টরের ওপর B→\overrightarrow{\mathrm{B}} এর লম্ব অভিক্ষেপ, B \cos \theta=\frac{A⃗\vec{A}⋅\cdotB⃗\vec{B}}{|A⃗\vec{A}|} ∴ ON→\overrightarrow{\mathrm{ON}} এর উপর, OM→\overrightarrow{\mathrm{OM}} এর লম্ব-অভিক্ষেপ, OMcos⁡θ=ON→⋅OM→∣ON→∣=47\mathrm{OM} \cos \theta=\frac{\overrightarrow{\mathrm{ON}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}}{|\overrightarrow{\mathrm{ON}}|}=\frac{4}{7} (Ans.)

উত্তর

এখানে, তিনটি বিন্দু, O(0,0,0)\mathrm{O}(0,0,0) M(2,2,−1)\mathrm{M}(2,2,-1) N(6,−3,2)\mathrm{N}(6,-3,2) 'গ' হতে পাই, OM→=2i^+2j^−k^;ON→=6i^−3j^+2k^\overrightarrow{\mathrm{OM}}=2 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}} ; \overrightarrow{\mathrm{ON}}=6 \hat{\mathrm{i}}-3 \hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}} এখন, MN→=ON→−OM→=(6−2)i^+(−3−2)j^+(2+1)k^\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{ON}}-\overrightarrow{\mathrm{OM}}=(6-2) \hat{\mathrm{i}}+(-3-2) \hat{\mathrm{j}}+(2+1) \hat{\mathrm{k}} =4i^−5j^+3k^=4 \hat{\mathrm{i}}-5 \hat{\mathrm{j}}+3 \hat{\mathrm{k}} ∴∣OM→∣=(2)2+22+(−1)2=3\therefore|\overrightarrow{\mathrm{OM}}|=\sqrt{(2)^2+2^2+(-1)^2}=3 ∣ON→∣=62+(−3)2+22=7|\overrightarrow{\mathrm{ON}}|=\sqrt{6^2+(-3)^2+2^2}=7 এবং ∣MN→∣=42+(−5)2+32=52|\overrightarrow{\mathrm{MN}}|=\sqrt{4^2+(-5)^2+3^2}=5 \sqrt{2} এখানে, ∣OM→∣2+∣ON→∣2=32+72=58|\overrightarrow{\mathrm{OM}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{ON}}|^2=3^2+7^2=58 এবং ∣MN→∣2=(52)2=50|\overrightarrow{\mathrm{MN}}|^2=(5 \sqrt{2})^2=50 অর্থাৎ, ∣MN→∣2≠∣OM→∣2+∣ON→∣2|\overrightarrow{\mathrm{MN}}|^2 \neq|\overrightarrow{\mathrm{OM}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{ON}}|^2 ∴ উদ্দীপকের △OMN\triangle \mathrm{OMN} সমকোণী ত্রিভুজ হবে না।
HSCPhysics 1st PaperChapter 2 : ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

1400 Kg ভরের একটি গাড়ি 20 m প্রশস্ত একটি বাঁকা রাস্তায় বাঁক নিচ্ছে। রাস্তার বাইরের প্রান্ত ভিতরের প্রান্ত অপেক্ষা 0.75 m উঁচু । রাস্তার বাঁকের ব্যাসার্ধ 120 m. যাত্রীরা চালককে 8.5 ms-1 বেগে গাড়ি চালাতে অনুরোধ করে।

রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ, ঢাকা · 2024

ক
টর্ক কী?
খ
কোনো বস্তুকে বৃত্তাকার পথে সুষম বেগে গতিশীল রাখা সম্ভব নয়। ব্যাখ্যা কর।
গ
রাস্তায় গাড়ির উপর ক্রিয়াশীল প্রতিক্রিয়া বল হিসেব কর।
ঘ
গাড়ির চালক যাত্রীদের অনুরোধ রক্ষা করতে পারবেন কিনা— গাণিতিক ব্যাখ্যা দাও ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

1400 Kg ভরের একটি গাড়ি 20 m প্রশস্ত একটি বাঁকা রাস্তায় বাঁক নিচ্ছে। রাস্তার বাইরের প্রান্ত ভিতরের প্রান্ত অপেক্ষা 0.75 m উঁচু । রাস্তার বাঁকের ব্যাসার্ধ 120 m. যাত্রীরা চালককে 8.5 ms-1 বেগে গাড়ি চালাতে অনুরোধ করে।

রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ, ঢাকা · 2024

ক
টর্ক কী?
খ
কোনো বস্তুকে বৃত্তাকার পথে সুষম বেগে গতিশীল রাখা সম্ভব নয়। ব্যাখ্যা কর।
গ
রাস্তায় গাড়ির উপর ক্রিয়াশীল প্রতিক্রিয়া বল হিসেব কর।
ঘ
গাড়ির চালক যাত্রীদের অনুরোধ রক্ষা করতে পারবেন কিনা— গাণিতিক ব্যাখ্যা দাও ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.কোনো বস্তুকে বৃত্তাকার পথে সুষম বেগে গতিশীল রাখা সম্ভব নয়। ব্যাখ্যা কর।

কোনো বস্তুকে বৃত্তাকার পথে সুষম বেগে গতিশীল রাখা সম্ভব নয়। ব্যাখ্যা কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.টর্ক কী?

টর্ক কী?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

600 m প্রস্থের একটি নদীতে 8 kmh-1 বেগে স্রোত প্রবাহিত হয়। মি. 'X′X^{\prime} ও মি. 'Y′Y^{\prime} ঠিক করলেন যে তারা সাঁতার প্রতিযোগিতা করে নদীটি পার হবেন। মি. 'X′X^{\prime} সোজাসুজি ঠিক অপর পাড়ে পৌঁছানোর জন্য স্রোতের সাথে a কোণে 12 kmh-1 বেগে সাঁতার শুরু করলেন। ঠিক একই সময় মি. 'Y′Y^{\prime} সোতের দিকের সাথে লম্ব বরাবর kmh-1 বেগে সাঁতার শুরু করলেন।

রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ, ঢাকা · 2024

ক
অবস্থান ভেক্টর কী?
খ
ভেক্টর রাশির স্কেলের গুণন ব্যাখ্যা কর।
গ
a এর মান নির্ণয় কর?
ঘ
উদ্দীপক অনুসারে কে জিতবে? গাণিতিক ব্যাখ্যা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

600 m প্রস্থের একটি নদীতে 8 kmh-1 বেগে স্রোত প্রবাহিত হয়। মি. 'X′X^{\prime} ও মি. 'Y′Y^{\prime} ঠিক করলেন যে তারা সাঁতার প্রতিযোগিতা করে নদীটি পার হবেন। মি. 'X′X^{\prime} সোজাসুজি ঠিক অপর পাড়ে পৌঁছানোর জন্য স্রোতের সাথে a কোণে 12 kmh-1 বেগে সাঁতার শুরু করলেন। ঠিক একই সময় মি. 'Y′Y^{\prime} সোতের দিকের সাথে লম্ব বরাবর kmh-1 বেগে সাঁতার শুরু করলেন।

রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ, ঢাকা · 2024

ক
অবস্থান ভেক্টর কী?
খ
ভেক্টর রাশির স্কেলের গুণন ব্যাখ্যা কর।
গ
a এর মান নির্ণয় কর?
ঘ
উদ্দীপক অনুসারে কে জিতবে? গাণিতিক ব্যাখ্যা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.ভেক্টর রাশির স্কেলের গুণন ব্যাখ্যা কর।

ভেক্টর রাশির স্কেলের গুণন ব্যাখ্যা কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.অবস্থান ভেক্টর কী?

অবস্থান ভেক্টর কী?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

স্থির বাতাসে 8 kmh-1 বেগে বৃষ্টি পড়ছে। এ সময়ে সাইকেলে চড়ে একজন ব্যক্তি 10 kmh-1বেগে চলছে। তার চলার বিপরীত দিকে 3 kmh-1 বেগে বাতাস প্রবাহিত হতে লাগল। উভয় ক্ষেত্রে বৃষ্টি থেকে বাঁচতে ব্যক্তিটি ছাতা ব্যবহার করলো।

রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ, ঢাকা · 2024

ক
ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্রটি লিখ।
খ
ট্রলি ব্যাগের হাতল লম্বা রাখা হয় কেন? ব্যাখ্যা কর।
গ
স্থির বাতাসে বৃষ্টির লব্ধি বেগ নির্ণয় কর।
ঘ
বাতাস প্রবাহিত হওয়ার আগে ও পরে একইভাবে ছাতা ধরলে ব্যক্তিটি বৃষ্টি থেকে রক্ষা পাবে কিনা— গাণিতিক ব্যাখ্যা দাও ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

স্থির বাতাসে 8 kmh-1 বেগে বৃষ্টি পড়ছে। এ সময়ে সাইকেলে চড়ে একজন ব্যক্তি 10 kmh-1বেগে চলছে। তার চলার বিপরীত দিকে 3 kmh-1 বেগে বাতাস প্রবাহিত হতে লাগল। উভয় ক্ষেত্রে বৃষ্টি থেকে বাঁচতে ব্যক্তিটি ছাতা ব্যবহার করলো।

রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ, ঢাকা · 2024

ক
ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্রটি লিখ।
খ
ট্রলি ব্যাগের হাতল লম্বা রাখা হয় কেন? ব্যাখ্যা কর।
গ
স্থির বাতাসে বৃষ্টির লব্ধি বেগ নির্ণয় কর।
ঘ
বাতাস প্রবাহিত হওয়ার আগে ও পরে একইভাবে ছাতা ধরলে ব্যক্তিটি বৃষ্টি থেকে রক্ষা পাবে কিনা— গাণিতিক ব্যাখ্যা দাও ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ট্রলি ব্যাগের হাতল লম্বা রাখা হয় কেন? ব্যাখ্যা কর।

ট্রলি ব্যাগের হাতল লম্বা রাখা হয় কেন? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্রটি লিখ।

ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্রটি লিখ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

গাড়ির চালক যাত্রীদের অনুরোধ রক্ষা করতে পারবেন কিনা— গাণিতিক ব্যাখ্যা দাও ।রাস্তায় গাড়ির উপর ক্রিয়াশীল প্রতিক্রিয়া বল হিসেব কর।কোনো বস্তুকে বৃত্তাকার পথে সুষম বেগে গতিশীল রাখা সম্ভব নয়। ব্যাখ্যা কর।টর্ক কী?উদ্দীপক অনুসারে কে জিতবে? গাণিতিক ব্যাখ্যা দাও।a এর মান নির্ণয় কর?ভেক্টর রাশির স্কেলের গুণন ব্যাখ্যা কর।অবস্থান ভেক্টর কী?বাতাস প্রবাহিত হওয়ার আগে ও পরে একইভাবে ছাতা ধরলে ব্যক্তিটি বৃষ্টি থেকে রক্ষা পাস্থির বাতাসে বৃষ্টির লব্ধি বেগ নির্ণয় কর।ট্রলি ব্যাগের হাতল লম্বা রাখা হয় কেন? ব্যাখ্যা কর।ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্রটি লিখ।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন