Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর ভেক্টর রূপ নির্ণয় কর।

উত্তর: এখানে, [গণিত] অক্ষের সাথে উৎপন্ন কোণ, [গণিত] বলের আনুভূমিক বরাবর উপাংশ [গণিত] বলের উলম্ব উপাংশ [গণিত] সুতরাং, [গণিত] এর ভেক্টর রূপ, [গণিত] (Ans.)

HSC Physics 1st Paper Chapter 2 : ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Physics 1st Paper · Chapter 2 : ভেক্টর · সৃজনশীল

এর ভেক্টর রূপ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

নিচের উদ্দীপকটি পড় ও সংশ্লিষ্ট প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও: question image

Jessore · 2024

উত্তর

ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় ধনাত্মক তিনটি অক্ষের দিকে ব্যবহৃত একক ভেক্টরগুলো হচ্ছে আয়ত একক ভেক্টর।

উত্তর

ভেক্টর অপারেটর ∇⃗\vec{\nabla} এর সাথে কোনো একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের ডট গুণন বা স্কেলার গুণনকে ঐ ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স বলে। মনে করি, V⃗(x,y,z)\vec{V}(x, y, z) একটি ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্কে ভেক্টর ক্ষেত্র। একে ক্ষেত্রের প্রত্যেক বিন্দুতে অন্তরীকরণ বা ডিফারেনসিয়েট 'করা সম্ভব। তাহলে, V→(x,y,z)=i^Vx(x,y,z)+j^Vy(x,y,z)+k^Vz(x,y,z)\overrightarrow{\mathrm{V}}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\hat{\mathrm{i}} \mathrm{V}_{\mathrm{x}}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})+\hat{\mathrm{j}} \mathrm{V}_{\mathrm{y}}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})+\hat{\mathrm{k}} \mathrm{V}_{\mathrm{z}}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) বা, V⃗=i^Vx+j^Vy+k^Vz\vec{V}=\hat{i} V_x+\hat{j} V_y+\hat{k} V_z এবং ভেক্টর অপারেটর ∇⃗=i^∂∂x+j^∂∂y+k^∂∂z\vec{\nabla}=\hat{i} \frac{\partial}{\partial x}+\hat{j} \frac{\partial}{\partial y}+\hat{k} \frac{\partial}{\partial z} উপরোক্ত ডেক্টর অপারেটর ∇⃗\vec{\nabla} এবং ভেক্টর পয়েন্ট ফাংশন v⃗\vec{v} স্কেলার বা ডট গুণফলকে ভেক্টর ক্ষেত্র V⃗\vec{V} ডাইভারজেন্স বলে। অর্থাৎ, div⁡\operatorname{div}V⃗\vec{V}==∇⃗\vec{\nabla}⋅V⃗\cdot \vec{V} । অতএব; div⁡V→=\operatorname{div} \overrightarrow{\mathrm{V}}=∇⃗\vec{\nabla}⋅V→\cdot \overrightarrow{\mathrm{V}} =(i^∂∂x+j^∂∂y+k^∂∂z)⋅(i^Vx+j^Vy+k^Vz)=\left(\hat{i} \frac{\partial}{\partial x}+\hat{j} \frac{\partial}{\partial y}+\hat{k} \frac{\partial}{\partial z}\right) \cdot\left(\hat{i} V_x+\hat{j} V_y+\hat{k} V_z\right) =i^⋅i^∂Vx∂x+i^⋅j^∂Vy∂x+i^⋅k^∂Vz∂x+j^⋅i^∂Vx∂y+j^⋅j^∂Vy∂y=\hat{i} \cdot \hat{i} \frac{\partial V_x}{\partial x}+\hat{i} \cdot \hat{j} \frac{\partial V_y}{\partial x}+\hat{i} \cdot \hat{k} \frac{\partial V_z}{\partial x}+\hat{j} \cdot \hat{i} \frac{\partial V_x}{\partial y}+\hat{j} \cdot \hat{j} \frac{\partial V_y}{\partial y} +j^⋅k^∂ Vz∂y+k^⋅i^∂ Vx∂z+k^⋅j^∂ Vy∂z+k^⋅k^∂ Vz∂z+\hat{\mathrm{j}} \cdot \hat{\mathrm{k}} \frac{\partial \mathrm{~V}_{\mathrm{z}}}{\partial \mathrm{y}}+\hat{\mathrm{k}} \cdot \hat{\mathrm{i}} \frac{\partial \mathrm{~V}_{\mathrm{x}}}{\partial \mathrm{z}}+\hat{\mathrm{k}} \cdot \hat{\mathrm{j}} \frac{\partial \mathrm{~V}_{\mathrm{y}}}{\partial \mathrm{z}}+\hat{\mathrm{k}} \cdot \hat{\mathrm{k}} \frac{\partial \mathrm{~V}_{\mathrm{z}}}{\partial \mathrm{z}} ∴\therefore∇⃗\vec{\nabla}⋅ V→=∂Vx∂x+∂Vv∂y+∂Vz∂z\cdot \overrightarrow{\mathrm{~V}}=\frac{\partial \mathrm{V}_{\mathrm{x}}}{\partial \mathrm{x}}+\frac{\partial \mathrm{V}_{\mathrm{v}}}{\partial \mathrm{y}}+\frac{\partial \mathrm{V}_{\mathrm{z}}}{\partial \mathrm{z}} [i^⋅i^=j^⋅j^=k^⋅k^=1[\hat{\mathrm{i}} \cdot \hat{\mathrm{i}}=\hat{\mathrm{j}} \cdot \hat{\mathrm{j}}=\hat{\mathrm{k}} \cdot \hat{\mathrm{k}}=1 এবং i⋅j=j⋅i=j⋅k=k⋅j=k⋅i=i⋅k=0]\mathrm{i} \cdot \mathrm{j}=\mathrm{j} \cdot \mathrm{i}=\mathrm{j} \cdot \mathrm{k}=\mathrm{k} \cdot \mathrm{j}=\mathrm{k} \cdot \mathrm{i}=\mathrm{i} \cdot \mathrm{k}=0] ∇⃗⋅V→\vec{\nabla} \cdot \overrightarrow{\mathrm{V}} একটি স্কেলার রাশি। অর্থাৎ, কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স নির্ণয়ের মাধ্যমে একটি ভেক্টর রাশিকে স্কেলার রাশিতে রূপান্তর করা যাবে।

উত্তর

এখানে, ∣F→1∣=15 N\left|\overrightarrow{\mathrm{F}}_1\right|=15 \mathrm{~N} XX অক্ষের সাথে উৎপন্ন কোণ, θ=180∘−30∘=150∘\theta=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ} F→1\overrightarrow{\mathrm{F}}_1 বলের আনুভূমিক বরাবর উপাংশ =∣F→1∣cos⁡θ=15cos⁡150∘=−15⋅32=\left|\overrightarrow{\mathrm{F}}_1\right| \cos \theta=15 \cos 150^{\circ}=-15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}  F→1\overrightarrow{\mathrm{~F}}_1 বলের উলম্ব উপাংশ =∣F→1∣sin⁡θ=\left|\overrightarrow{\mathrm{F}}_1\right| \sin \theta =15sin⁡150∘=15×12=152=15 \sin 150^{\circ}=15 \times \frac{1}{2}=\frac{15}{2} সুতরাং, F1\mathrm{F}_1 এর ভেক্টর রূপ, F→1=−1532i^+152j^\overrightarrow{\mathrm{F}}_1=-\frac{15 \sqrt{3}}{2} \hat{\mathrm{i}}+\frac{15}{2} \hat{\mathrm{j}} (Ans.)

উত্তর

এখানে, 'গ' হতে পাই, F→1=−1532i^+152j^\overrightarrow{\mathrm{F}}_1=-\frac{15 \sqrt{3}}{2} \hat{\mathrm{i}}+\frac{15}{2} \hat{\mathrm{j}} ∣ F→2∣=10 N\left|\overrightarrow{\mathrm{~F}}_2\right|=10 \mathrm{~N} XX অক্ষের সাথে ∣F→2∣\left|\overrightarrow{\mathrm{F}}_2\right| ভেক্টরের কোণ =30∘=30^{\circ} এখানে, F2F_2 এর ভেক্টর রূপ, \begin{aligned} \end{aligned}F⃗\vec{F}_2 & =10 \cos 30^{\circ} \hat{i}+10 \sin 30^{\circ} \hat{j} \\ & =\frac{10 \sqrt{3}}{2} \hat{i}+10 \times \frac{1}{2} \hat{j} \\ & =5 \sqrt{3} \hat{i}+5 \hat{j}\end{aligned} F→1+F→2=−1532i^+152j^+53i^+5j^=−532i^+252j^\overrightarrow{\mathrm{F}}_1+\overrightarrow{\mathrm{F}}_2=-\frac{15 \sqrt{3}}{2} \hat{\mathrm{i}}+\frac{15}{2} \hat{\mathrm{j}}+5 \sqrt{3} \hat{\mathrm{i}}+5 \hat{\mathrm{j}}=-\frac{5 \sqrt{3}}{2} \hat{\mathrm{i}}+\frac{25}{2} \hat{\mathrm{j}} এবং F→1−F→2=−1532i^+152j^−53i^−5j^=−2532i^+52j^\overrightarrow{\mathrm{F}}_1-\overrightarrow{\mathrm{F}}_2=-\frac{15 \sqrt{3}}{2} \hat{\mathrm{i}}+\frac{15}{2} \hat{\mathrm{j}}-5 \sqrt{3} \hat{\mathrm{i}}-5 \hat{\mathrm{j}}=-\frac{25 \sqrt{3}}{2} \hat{\mathrm{i}}+\frac{5}{2} \hat{\mathrm{j}} (F→1+F→2)⋅(F→1−F→2)=(−532i^+252j^)⋅(−2532i^+52j^)\left(\overrightarrow{\mathrm{F}}_1+\overrightarrow{\mathrm{F}}_2\right) \cdot\left(\overrightarrow{\mathrm{F}}_1-\overrightarrow{\mathrm{F}}_2\right)=\left(\frac{-5 \sqrt{3}}{2} \hat{\mathrm{i}}+\frac{25}{2} \hat{\mathrm{j}}\right) \cdot\left(\frac{-25 \sqrt{3}}{2} \hat{\mathrm{i}}+\frac{5}{2} \hat{\mathrm{j}}\right) =125×(3)24+1254=125≠0=\frac{125 \times(\sqrt{3})^2}{4}+\frac{125}{4}=125 \neq 0 যেহেতু ডট গুণফল শূন্য নয় তাই (F→1+F→2)\left(\overrightarrow{\mathrm{F}}_1+\overrightarrow{\mathrm{F}}_2\right) ও (F→1−F→2)\left(\overrightarrow{\mathrm{F}}_1-\overrightarrow{\mathrm{F}}_2\right) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব নয়।
HSCPhysics 1st PaperChapter 2 : ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

1400 Kg ভরের একটি গাড়ি 20 m প্রশস্ত একটি বাঁকা রাস্তায় বাঁক নিচ্ছে। রাস্তার বাইরের প্রান্ত ভিতরের প্রান্ত অপেক্ষা 0.75 m উঁচু । রাস্তার বাঁকের ব্যাসার্ধ 120 m. যাত্রীরা চালককে 8.5 ms-1 বেগে গাড়ি চালাতে অনুরোধ করে।

রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ, ঢাকা · 2024

ক
টর্ক কী?
খ
কোনো বস্তুকে বৃত্তাকার পথে সুষম বেগে গতিশীল রাখা সম্ভব নয়। ব্যাখ্যা কর।
গ
রাস্তায় গাড়ির উপর ক্রিয়াশীল প্রতিক্রিয়া বল হিসেব কর।
ঘ
গাড়ির চালক যাত্রীদের অনুরোধ রক্ষা করতে পারবেন কিনা— গাণিতিক ব্যাখ্যা দাও ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

1400 Kg ভরের একটি গাড়ি 20 m প্রশস্ত একটি বাঁকা রাস্তায় বাঁক নিচ্ছে। রাস্তার বাইরের প্রান্ত ভিতরের প্রান্ত অপেক্ষা 0.75 m উঁচু । রাস্তার বাঁকের ব্যাসার্ধ 120 m. যাত্রীরা চালককে 8.5 ms-1 বেগে গাড়ি চালাতে অনুরোধ করে।

রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ, ঢাকা · 2024

ক
টর্ক কী?
খ
কোনো বস্তুকে বৃত্তাকার পথে সুষম বেগে গতিশীল রাখা সম্ভব নয়। ব্যাখ্যা কর।
গ
রাস্তায় গাড়ির উপর ক্রিয়াশীল প্রতিক্রিয়া বল হিসেব কর।
ঘ
গাড়ির চালক যাত্রীদের অনুরোধ রক্ষা করতে পারবেন কিনা— গাণিতিক ব্যাখ্যা দাও ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.কোনো বস্তুকে বৃত্তাকার পথে সুষম বেগে গতিশীল রাখা সম্ভব নয়। ব্যাখ্যা কর।

কোনো বস্তুকে বৃত্তাকার পথে সুষম বেগে গতিশীল রাখা সম্ভব নয়। ব্যাখ্যা কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.টর্ক কী?

টর্ক কী?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

600 m প্রস্থের একটি নদীতে 8 kmh-1 বেগে স্রোত প্রবাহিত হয়। মি. 'X′X^{\prime} ও মি. 'Y′Y^{\prime} ঠিক করলেন যে তারা সাঁতার প্রতিযোগিতা করে নদীটি পার হবেন। মি. 'X′X^{\prime} সোজাসুজি ঠিক অপর পাড়ে পৌঁছানোর জন্য স্রোতের সাথে a কোণে 12 kmh-1 বেগে সাঁতার শুরু করলেন। ঠিক একই সময় মি. 'Y′Y^{\prime} সোতের দিকের সাথে লম্ব বরাবর kmh-1 বেগে সাঁতার শুরু করলেন।

রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ, ঢাকা · 2024

ক
অবস্থান ভেক্টর কী?
খ
ভেক্টর রাশির স্কেলের গুণন ব্যাখ্যা কর।
গ
a এর মান নির্ণয় কর?
ঘ
উদ্দীপক অনুসারে কে জিতবে? গাণিতিক ব্যাখ্যা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

600 m প্রস্থের একটি নদীতে 8 kmh-1 বেগে স্রোত প্রবাহিত হয়। মি. 'X′X^{\prime} ও মি. 'Y′Y^{\prime} ঠিক করলেন যে তারা সাঁতার প্রতিযোগিতা করে নদীটি পার হবেন। মি. 'X′X^{\prime} সোজাসুজি ঠিক অপর পাড়ে পৌঁছানোর জন্য স্রোতের সাথে a কোণে 12 kmh-1 বেগে সাঁতার শুরু করলেন। ঠিক একই সময় মি. 'Y′Y^{\prime} সোতের দিকের সাথে লম্ব বরাবর kmh-1 বেগে সাঁতার শুরু করলেন।

রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ, ঢাকা · 2024

ক
অবস্থান ভেক্টর কী?
খ
ভেক্টর রাশির স্কেলের গুণন ব্যাখ্যা কর।
গ
a এর মান নির্ণয় কর?
ঘ
উদ্দীপক অনুসারে কে জিতবে? গাণিতিক ব্যাখ্যা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.ভেক্টর রাশির স্কেলের গুণন ব্যাখ্যা কর।

ভেক্টর রাশির স্কেলের গুণন ব্যাখ্যা কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.অবস্থান ভেক্টর কী?

অবস্থান ভেক্টর কী?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

স্থির বাতাসে 8 kmh-1 বেগে বৃষ্টি পড়ছে। এ সময়ে সাইকেলে চড়ে একজন ব্যক্তি 10 kmh-1বেগে চলছে। তার চলার বিপরীত দিকে 3 kmh-1 বেগে বাতাস প্রবাহিত হতে লাগল। উভয় ক্ষেত্রে বৃষ্টি থেকে বাঁচতে ব্যক্তিটি ছাতা ব্যবহার করলো।

রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ, ঢাকা · 2024

ক
ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্রটি লিখ।
খ
ট্রলি ব্যাগের হাতল লম্বা রাখা হয় কেন? ব্যাখ্যা কর।
গ
স্থির বাতাসে বৃষ্টির লব্ধি বেগ নির্ণয় কর।
ঘ
বাতাস প্রবাহিত হওয়ার আগে ও পরে একইভাবে ছাতা ধরলে ব্যক্তিটি বৃষ্টি থেকে রক্ষা পাবে কিনা— গাণিতিক ব্যাখ্যা দাও ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

স্থির বাতাসে 8 kmh-1 বেগে বৃষ্টি পড়ছে। এ সময়ে সাইকেলে চড়ে একজন ব্যক্তি 10 kmh-1বেগে চলছে। তার চলার বিপরীত দিকে 3 kmh-1 বেগে বাতাস প্রবাহিত হতে লাগল। উভয় ক্ষেত্রে বৃষ্টি থেকে বাঁচতে ব্যক্তিটি ছাতা ব্যবহার করলো।

রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ, ঢাকা · 2024

ক
ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্রটি লিখ।
খ
ট্রলি ব্যাগের হাতল লম্বা রাখা হয় কেন? ব্যাখ্যা কর।
গ
স্থির বাতাসে বৃষ্টির লব্ধি বেগ নির্ণয় কর।
ঘ
বাতাস প্রবাহিত হওয়ার আগে ও পরে একইভাবে ছাতা ধরলে ব্যক্তিটি বৃষ্টি থেকে রক্ষা পাবে কিনা— গাণিতিক ব্যাখ্যা দাও ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.ট্রলি ব্যাগের হাতল লম্বা রাখা হয় কেন? ব্যাখ্যা কর।

ট্রলি ব্যাগের হাতল লম্বা রাখা হয় কেন? ব্যাখ্যা কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্রটি লিখ।

ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্রটি লিখ।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

গাড়ির চালক যাত্রীদের অনুরোধ রক্ষা করতে পারবেন কিনা— গাণিতিক ব্যাখ্যা দাও ।রাস্তায় গাড়ির উপর ক্রিয়াশীল প্রতিক্রিয়া বল হিসেব কর।কোনো বস্তুকে বৃত্তাকার পথে সুষম বেগে গতিশীল রাখা সম্ভব নয়। ব্যাখ্যা কর।টর্ক কী?উদ্দীপক অনুসারে কে জিতবে? গাণিতিক ব্যাখ্যা দাও।a এর মান নির্ণয় কর?ভেক্টর রাশির স্কেলের গুণন ব্যাখ্যা কর।অবস্থান ভেক্টর কী?বাতাস প্রবাহিত হওয়ার আগে ও পরে একইভাবে ছাতা ধরলে ব্যক্তিটি বৃষ্টি থেকে রক্ষা পাস্থির বাতাসে বৃষ্টির লব্ধি বেগ নির্ণয় কর।ট্রলি ব্যাগের হাতল লম্বা রাখা হয় কেন? ব্যাখ্যা কর।ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্রটি লিখ।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন