Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

ACD ত্রিভুজের AD ও CD বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, [গণিত] এবং [গণিত] .

উত্তর: এখানে, △ ACD-এর AD ও CD বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q। P, Q যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] এবং [গণিত] [চিত্র] প্রমাণ: P ও Q যথাক্রমে AD ও CD এর মধ্যবিন্দু। [গণিত] এবং [গণিত] হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, [গণিত] হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে, [গণিত] (1) ও (2) হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, [গণিত] ও [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। সুতরাং [গণিত] ও [গণিত] ভেষ্টরদ্বয়ের ধারক রেখাদ্বয় PQ এবং AC সমান্তরাল। [গণিত] এবং [গণিত] . (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল

ACD ত্রিভুজের AD ও CD বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q হলে, ভেক্টরের…

উদ্দীপক

A(1,5),B(r,2),C(3,−4)\mathrm{A}(1,5), \mathrm{B}(\mathrm{r}, 2), \mathrm{C}(3,-4) এবং D(6,0)\mathrm{D}(6,0) যথাক্রমে ABCD চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু।

Mymensingh · 2024

উত্তর

দেওয়া আছে, A(1,5)A(1,5) এবং C(3,−4)C(3,-4) ∴AC\therefore \quad \mathrm{AC} রেখার ঢাল =y2−y1x2−x1=−4−53−1=−92=−92=\frac{\mathrm{y}_2-\mathrm{y}_1}{\mathrm{x}_2-\mathrm{x}_1}=\frac{-4-5}{3-1}=\frac{-9}{2}=-\frac{9}{2} নির্ণেয় ঢাল =−92=-\frac{9}{2}.

উত্তর

দেওয়া আছে, ABCD চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো A(1, 5), B(r, 2), C(3,−4)\mathrm{C}(3,-4) এবং D(6,0)\mathrm{D}(6,0). বিন্দুগুলি ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে নিয়ে ABCD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল =\frac{1}{2}\left|\[\begin{array}{rrrrr}1 & r & 3 & 6 & 1 \\ 5 & 2 & -4 & 0 & 5\end{array}\]\right| =12{(2−4r+0+30)−(5r+6−24+0)}=\frac{1}{2}\{(2-4 r+0+30)-(5 r+6-24+0)\} =12(32−4r−5r+18)=\frac{1}{2}(32-4 r-5 r+18) =12(50−9r)=\frac{1}{2}(50-9 r) শর্তমতে, 12(50−9r)=34\frac{1}{2}(50-9 r)=34 বা, 50−9r=6850-9 r=68 বা, 9r=50−689 \mathrm{r}=50-68 বা, r=−189r=\frac{-18}{9} ∴r=−2\therefore \quad \mathrm{r}=-2 নির্ণেয় মান : r=−2r=-2.

উত্তর

এখানে, △ ACD-এর AD ও CD বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q। P, Q যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, PQ∥ACP Q \| A C এবং PQ=12ACP Q=\frac{1}{2} A C question image প্রমাণ: P ও Q যথাক্রমে AD ও CD এর মধ্যবিন্দু। ∴DP→=12DA→\therefore \quad \overrightarrow{\mathrm{DP}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{DA}} এবং DQ→=12DC→\overrightarrow{\mathrm{DQ}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{DC}} △DPQ\triangle \mathrm{DPQ} হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই, DP→+PQ→=DQ→\overrightarrow{\mathrm{DP}}+\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{DQ}} বা, PQ→=DQ→−DP→\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{DQ}}-\overrightarrow{\mathrm{DP}} বা, PQ→=12DC→−12DA→\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{DC}}-\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{DA}} বা, PQ→=12(DC→−DA→)……(1)\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{DC}}-\overrightarrow{\mathrm{DA}})\ldots\ldots(1) আবার, △ADC\triangle \mathrm{ADC} হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে, DA→+AC→=DC→\overrightarrow{\mathrm{DA}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{DC}} ∴AC→=DC→−DA→…….(2)\therefore \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{DC}}-\overrightarrow{\mathrm{DA}}\ldots\ldots.(2) (1) ও (2) হতে পাই, PQ→=12AC→\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AC}} বা, ∣PQ→∣=12∣AC→∣|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{AC}}| ∴PQ=12AC\therefore \quad \mathrm{PQ}=\frac{1}{2} \mathrm{AC} আবার, PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। সুতরাং PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} ভেষ্টরদ্বয়ের ধারক রেখাদ্বয় PQ এবং AC সমান্তরাল। ∴PQ∥AC\therefore \quad \mathrm{PQ} \| \mathrm{AC} এবং PQ=12AC\mathrm{PQ}=\frac{1}{2} \mathrm{AC}. (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে ΔABC\Delta\mathrm{ABC} এর AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC} ও AC\mathrm{AC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R\mathrm{R}, P\mathrm{P} ও Q\mathrm{Q} এবং BCQR\mathrm{BCQR} একটি ট্রাপিজিয়াম।

Barisal · 2026

ক
দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।
খ
প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।
গ
RB\mathrm{RB} ও QC\mathrm{QC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S\mathrm{S} ও T\mathrm{T} হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, ST→=32RQ→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক
ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
গ
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = 12\frac{1}{2} BC.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, [গণিত] .অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?[গণিত] -এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, [গণিত] কে [গণিত] ও [গণিত] -এর মাধ্যমে প্রকাশ [গণিত] এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একটি স্কেলার।মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে [গ[গণিত] ও [গণিত] বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে, ভেক্টরের সাহায্যেপ্রমাণ করো যে, [গণিত] ।দেখাও যে, [গণিত] একটি একক ভেক্টর যার দিক [গণিত] মুখী।PQRS একটি সামান্তরিক হলে [গণিত] ভেক্টরকে [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমেAB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST ||

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন