অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর উচ্চতর গণিত

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

চিত্রে $\Delta\mathrm{ABC}$ এর $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$ ও $\mathrm{AC}$ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $\mathrm{R}$, $\mathrm{P}$ ও $\mathrm{Q}$ এবং $\mathrm{BCQR}$ একটি ট্রাপিজিয়াম।

Barisal · 2026

ক

দেখাও যে, $\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}}$ একটি একক ভেক্টর যার দিক $\underline{\mathrm{u}}$ মুখী।

উত্তর

$\underline{\mathrm{u}}\neq\underline{0}$ হওয়ায় $|\underline{\mathrm{u}}|\neq 0$ মনে করি, $\hat{\mathrm{u}}=\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}}$ তাহলে $|\hat{\mathrm{u}}|=\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}|\underline{\mathrm{u}}|=1$ এবং $\hat{\mathrm{u}}$ এর দিক ও $\underline{\mathrm{u}}$ এর দিক একই। সুতরাং $\hat{\mathrm{u}}$ একটি একক ভেক্টর যার দিক $\underline{\mathrm{u}}$ মুখী। অতএব, $\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}}$ একটি একক ভেক্টর যার দিক $\underline{\mathrm{u}}$ মুখী।

খ

প্রমাণ করো যে, $\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}$।

উত্তর

এখানে, $\Delta\mathrm{ABC}$ এর $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$ ও $\mathrm{AC}$ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $\mathrm{R}$, $\mathrm{P}$ ও $\mathrm{Q}$। $\mathrm{A}$, $\mathrm{P}$; $\mathrm{B}$, $\mathrm{Q}$ এবং $\mathrm{C}$, $\mathrm{R}$ যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, $\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}$। প্রমাণ : ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে, $\Delta\mathrm{ABQ}$ হতে পাই, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ $\therefore$ $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2\overrightarrow{\mathrm{AB}}+2\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$ $\ldots\ldots\ldots...(1)$ $\Delta\mathrm{ABC}$ হতে পাই, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ বা, $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ বা, $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=2\overrightarrow{\mathrm{AB}}+2\overrightarrow{\mathrm{BQ}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ [(1) হতে] $\therefore$ $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+2\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$ $\ldots\ldots\ldots...(2)$ $\Delta\mathrm{ABP}$ হতে পাই, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ বা, $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ [$\because$ $\overrightarrow{\mathrm{BP}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$] $=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+2\overrightarrow{\mathrm{BQ}})$ [(2) নং হতে] $=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$ $\ldots\ldots\ldots...(3)$ $\Delta\mathrm{ACR}$ হতে পাই, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\overrightarrow{\mathrm{AR}}$ বা, $\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ [$\because$ $\overrightarrow{\mathrm{AR}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$] বা, $\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-(2\overrightarrow{\mathrm{AB}}+2\overrightarrow{\mathrm{BQ}})$ [(2) হতে] $\therefore$ $\overrightarrow{\mathrm{CR}}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-2\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$ $\ldots\ldots\ldots...(4)$ এখন, বামপক্ষ $=\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}$ $=\left(\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}\right)+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\left(-\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-2\overrightarrow{\mathrm{BQ}}\right)$ [(3) ও (4) হতে] $=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+2\overrightarrow{\mathrm{BQ}}-\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-2\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=\underline{0}=$ ডানপক্ষ $\therefore$ $\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}$। (প্রমাণিত)

গ

$\mathrm{RB}$ ও $\mathrm{QC}$ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $\mathrm{S}$ ও $\mathrm{T}$ হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, $\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$।

উত্তর

এখানে, $\Delta\mathrm{ABC}$ এর $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$ ও $\mathrm{AC}$ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $\mathrm{R}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ এবং $\mathrm{BCQR}$ একটি ট্রাপিজিয়াম। $\mathrm{RB}$ ও $\mathrm{QC}$ এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $\mathrm{S}$ ও $\mathrm{T}$ S,T যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, $\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$। প্রমাণ : মনে করি, কোনো নির্দিষ্ট মূলবিন্দুর সাপেক্ষে $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{Q}$ ও $\mathrm{R}$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\underline{\mathrm{b}}$, $\underline{\mathrm{c}}$, $\underline{\mathrm{q}}$ ও $\underline{\mathrm{r}}$। তাহলে, $\mathrm{S}$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $=\frac{1}{2}(\underline{\mathrm{b}}+\underline{\mathrm{r}})$ $\mathrm{T}$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $=\frac{1}{2}(\underline{\mathrm{c}}+\underline{\mathrm{q}})$ $\therefore$ $\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{1}{2}(\underline{\mathrm{c}}+\underline{\mathrm{q}})-\frac{1}{2}(\underline{\mathrm{b}}+\underline{\mathrm{r}})$ $=\frac{1}{2}(\underline{\mathrm{c}}+\underline{\mathrm{q}}-\underline{\mathrm{b}}-\underline{\mathrm{r}})=\frac{1}{2}\{(\underline{\mathrm{c}}-\underline{\mathrm{b}})+(\underline{\mathrm{q}}-\underline{\mathrm{r}})\}$ $=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{RQ}})$ [$\because$ $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\underline{\mathrm{c}}-\underline{\mathrm{b}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{RQ}}=\underline{\mathrm{q}}-\underline{\mathrm{r}}$] $\therefore$ $\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{RQ}})$ $\ldots\ldots\ldots...(i)$ আবার, $\mathrm{AB}$ ও $\mathrm{AC}$ এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $\mathrm{R}$ ও $\mathrm{Q}$। $\therefore$ $\overrightarrow{\mathrm{AR}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ $\Delta\mathrm{ABC}$ হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে পাই, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ বা, $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ $\Delta\mathrm{ARQ}$ হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে পাই, $\overrightarrow{\mathrm{AR}}+\overrightarrow{\mathrm{RQ}}=\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$ বা, $\overrightarrow{\mathrm{RQ}}=\overrightarrow{\mathrm{AQ}}-\overrightarrow{\mathrm{AR}}$ বা, $\overrightarrow{\mathrm{RQ}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ [$\because$ $\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{AR}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$] বা, $\overrightarrow{\mathrm{RQ}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}})$ বা, $\overrightarrow{\mathrm{RQ}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ [$\because$ $\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}$] বা, $2\overrightarrow{\mathrm{RQ}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ $\therefore$ $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=2\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$

$$\ldots\ldots\ldots...(ii) (i)$$

নং ও (ii) নং হতে পাই, $\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{1}{2}(2\overrightarrow{\mathrm{RQ}}+\overrightarrow{\mathrm{RQ}})$ $=\frac{1}{2}\times 3\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$ $\therefore$ $\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$। (প্রমাণিত)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক

ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর

A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) বিন্দুসমূহ নিয়ে গঠিত ABCD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল = \frac{1}{2} \[\begin{vmatrix} -5 & 5 & 5 & -5 & -5 \\ 0 & 0 & 5 & 5 & 0 \end{vmatrix}\] = $\frac{1}{2}(0+25+25+0-0-0+25+25)$ = $\frac{1}{2} \times 100 = 50$ বর্গ একক (Ans.)

খ

দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।

উত্তর

দেওয়া আছে, A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) ও D(-5, 5) তাহলে, AB বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(5+5)² + (0-0)²}$ = $\sqrt{(10)² + (0)^2}$ = $\sqrt{100} = 10$ একক BC বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(5-5)² + (5-0)^2}$ = $\sqrt{0²+5^2} = \sqrt{25}$ = 5 একক CD বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(-5-5)² + (5-5)²} = \sqrt{(-10)^2 +0^2}$ =$\sqrt{100} = 10$ একক এবং AD বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(-5+5)² + (5-0)²} = \sqrt{0² + 5²}$ = $\sqrt{25} = 5$ একক আবার, AC কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(-5-5)² + (0-5)²}$ = $\sqrt{10² + 5²}$ = $\sqrt{100+ 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$ একক এবং BD কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(-5-5)² + (5-0)²}$ = $\sqrt{(-10)² + 5²}$ = $\sqrt{100+25}=\sqrt{125} = 5\sqrt{5}$ একক এখানে, AB = CD; BC = AD এবং কর্ণ AC = কর্ণ BD ∴ ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র। (দেখানো হলো)

গ

AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = $\frac{1}{2}$ BC.

উত্তর

মনে করি, $A B C$ ত্রিভুজের $A B$ ও $A C$ বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $D$ ও $E$ । $D$ ও $E$ যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, $D E \| B C$ এবং $D E=\frac{1}{2} B C$ । ভেক্টর বিয়োগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, $\overrightarrow{A E}-$$\overrightarrow{A D}$$=$$\overrightarrow{D E}$$\cdots \cdots$ (1) এবং $\overrightarrow{A C}-$$\overrightarrow{A B}$$=\overrightarrow{B C}$ কিন্তু $\overrightarrow{A C}=2$$\overrightarrow{A E}$$,$$\overrightarrow{A B}$$=2$$\overrightarrow{A D}$$[\because D, E$ বিন্দু যথাক্রমে $A B$ ও $A C$ এর মধ্যবিন্দু] $\therefore$$\overrightarrow{A C}$$-$$\overrightarrow{A B}$$=\overrightarrow{B C}$ থেকে পাই $2$$\overrightarrow{A E}$$-2$$\overrightarrow{A D}$$=\overrightarrow{B C}$, অর্থাৎ $2($$\overrightarrow{A E}$$-$$\overrightarrow{A D}$$)=\overrightarrow{B C}$ $\therefore 2$$\overrightarrow{D E}$$=\overrightarrow{B C}$ [(1) হতে] $\therefore$$\overrightarrow{D E}$$=\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}$ এবং $|$$\overrightarrow{D E}$$|=\frac{1}{2}|$$\overrightarrow{B C}$$|$ বা $D E=\frac{1}{2} B C$ সুতরাং $\overrightarrow{D E}$ ও $\overrightarrow{B C}$ ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। সুতরাং $\overrightarrow{D E}$ ও $\overrightarrow{B C}$ ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখাদ্বয় অর্থাৎ $D E$ এবং $B C$ সমান্তরাল।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো