Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, [গণিত] .

উত্তর: [চিত্র] মনে করি, [গণিত] -এ, BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F । A, D; B, E এবং C, F যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] . △ ABE এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, [গণিত] আবার, [গণিত] এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, [গণিত] বা, [গণিত] [ ∵ D, BC এর মধ্যবিন্দু] বা, [গণিত] এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, [গণিত] এর মধ্যবিন্দু] [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] = ডানপক্ষ সুতরাং [গণিত] . (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

উত্তর

question image মনে করি, △ABC\triangle \mathrm{ABC}-এ, BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F । A, D; B, E এবং C, F যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, AD→+\overrightarrow{A D}+BE→\overrightarrow{B E}++CF→\overrightarrow{C F}=0=0. △ ABE এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই, AB→+BE→=AE→AB→+BE→=12AC→[∵E,AC এর মধ্যবিন্দু ]\begin{aligned} & \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}} \\ & \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AC}}[\because \mathrm{E}, \mathrm{AC} \text{ এর মধ্যবিন্দু }]\end{aligned} বা, AC→=2(AB→+BE→)\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}) আবার,AB→+BC→=AC→\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}} ∴BC→=AC→−AB→=2(AB→+BE→)−AB→=AB→+2BE→\therefore \quad \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}=2(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}})-\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+2 \overrightarrow{\mathrm{BE}} আবার, △ABD\triangle \mathrm{ABD} এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, AB→+BD→=AD→\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}} বা, AB→+12BC→=AD→\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}} [ ∵ D, BC এর মধ্যবিন্দু] বা, AD→=AB→+12(AB→+2BE→)=AB→+12AB→+BE→=32AB→+BE→\begin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{AD}} & =\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+2 \overrightarrow{\mathrm{BE}}) \\ & =\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}\end{aligned} △ACF\triangle \mathrm{ACF} এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, AC→+CF→=AF→AC→+CF→=12AB→[∵F,AB\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=\overrightarrow{\mathrm{AF}} \overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}[\because \mathrm{F}, \mathrm{AB} এর মধ্যবিন্দু] ∴CF→=12AB→−AC→=12AB→−2(AB→+BE→)=12AB→−2(AB→+BE→)=12AB→−2AB→−2BE→=−32AB→−2BE→\begin{aligned} \therefore \quad \overrightarrow{\mathrm{CF}} & =\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-2(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}) \\ & =\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-2(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}) \\ & =\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-2 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-2 \overrightarrow{\mathrm{BE}}=-\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-2 \overrightarrow{\mathrm{BE}}\end{aligned} বামপক্ষ =AD→+BE→+CF→=\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}} =(32AB→+BE→)+BE→+(−32AB→−2BE→)=\left(\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}\right)+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\left(-\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-2 \overrightarrow{\mathrm{BE}}\right) =32AB→+BE→+BE→−32AB→−2BE→=\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}-\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-2 \overrightarrow{\mathrm{BE}} =32AB→−32AB→+2BE→−2BE→=0=\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+2 \overrightarrow{\mathrm{BE}}-2 \overrightarrow{\mathrm{BE}}=0 = ডানপক্ষ সুতরাং AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0. (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে ΔABC\Delta\mathrm{ABC} এর AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC} ও AC\mathrm{AC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R\mathrm{R}, P\mathrm{P} ও Q\mathrm{Q} এবং BCQR\mathrm{BCQR} একটি ট্রাপিজিয়াম।

Barisal · 2026

ক
দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।
খ
প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।
গ
RB\mathrm{RB} ও QC\mathrm{QC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S\mathrm{S} ও T\mathrm{T} হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, ST→=32RQ→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক
ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
গ
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = 12\frac{1}{2} BC.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।

দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, [গণিত] .অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?[গণিত] -এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, [গণিত] কে [গণিত] ও [গণিত] -এর মাধ্যমে প্রকাশ দেখাও যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একটি স্কেলার।মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে [গ[গণিত] ও [গণিত] বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে, ভেক্টরের সাহায্যেপ্রমাণ করো যে, [গণিত] ।দেখাও যে, [গণিত] একটি একক ভেক্টর যার দিক [গণিত] মুখী।PQRS একটি সামান্তরিক হলে [গণিত] ভেক্টরকে [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমেAB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST ||দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন