Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ করো যে, [গণিত] ।

উত্তর: [চিত্র] এখানে, [গণিত] এর [গণিত] , [গণিত] ও [গণিত] বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] , [গণিত] ও [গণিত] । [গণিত] , [গণিত] ; [গণিত] , [গণিত] এবং [গণিত] , [গণিত] যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] । প্রমাণ : ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে, [গণিত] হতে পাই, [গণিত] ...(1) [গণিত] হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [(1) হতে] [গণিত] ...(2) [গণিত] হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] [ [গণিত] ] [গণিত] [(2) নং হতে] [গণিত] ...(3) [গণিত] হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] [ [গণিত] ] বা, [গণিত] [(2) হতে] [গণিত] ...(4) এখন, বামপক্ষ [গণিত] [(3) ও (4) হতে] [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] । (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল

প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

উত্তর

question image এখানে, ΔABC\Delta\mathrm{ABC} এর AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC} ও AC\mathrm{AC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R\mathrm{R}, P\mathrm{P} ও Q\mathrm{Q}। A\mathrm{A}, P\mathrm{P}; B\mathrm{B}, Q\mathrm{Q} এবং C\mathrm{C}, R\mathrm{R} যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}। প্রমাণ : ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে, ΔABQ\Delta\mathrm{ABQ} হতে পাই, AB→+BQ→=AQ→=12AC→\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}} ∴\therefore AC→=2AB→+2BQ→\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2\overrightarrow{\mathrm{AB}}+2\overrightarrow{\mathrm{BQ}} ………...(1)\ldots\ldots\ldots...(1) ΔABC\Delta\mathrm{ABC} হতে পাই, AB→+BC→=AC→\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}} বা, BC→=AC→−AB→\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}} বা, BC→=2AB→+2BQ→−AB→\overrightarrow{\mathrm{BC}}=2\overrightarrow{\mathrm{AB}}+2\overrightarrow{\mathrm{BQ}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}} [(1) হতে] ∴\therefore BC→=AB→+2BQ→\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+2\overrightarrow{\mathrm{BQ}} ………...(2)\ldots\ldots\ldots...(2) ΔABP\Delta\mathrm{ABP} হতে পাই, AB→+BP→=AP→\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}} বা, AP→=AB→+12BC→\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}} [∵\because BP→=12BC→\overrightarrow{\mathrm{BP}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}] =AB→+12(AB→+2BQ→)=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+2\overrightarrow{\mathrm{BQ}}) [(2) নং হতে] =32AB→+BQ→=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}} ………...(3)\ldots\ldots\ldots...(3) ΔACR\Delta\mathrm{ACR} হতে পাই, AC→+CR→=AR→\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\overrightarrow{\mathrm{AR}} বা, CR→=12AB→−AC→\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}} [∵\because AR→=12AB→\overrightarrow{\mathrm{AR}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}] বা, CR→=12AB→−(2AB→+2BQ→)\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-(2\overrightarrow{\mathrm{AB}}+2\overrightarrow{\mathrm{BQ}}) [(2) হতে] ∴\therefore CR→=−32AB→−2BQ→\overrightarrow{\mathrm{CR}}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-2\overrightarrow{\mathrm{BQ}} ………...(4)\ldots\ldots\ldots...(4) এখন, বামপক্ষ =AP→+BQ→+CR→=\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}} =(32AB→+BQ→)+BQ→+(−32AB→−2BQ→)=\left(\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}\right)+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\left(-\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-2\overrightarrow{\mathrm{BQ}}\right) [(3) ও (4) হতে] =32AB→+2BQ→−32AB→−2BQ→=0‾==\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+2\overrightarrow{\mathrm{BQ}}-\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-2\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=\underline{0}= ডানপক্ষ ∴\therefore AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}। (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে ΔABC\Delta\mathrm{ABC} এর AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC} ও AC\mathrm{AC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R\mathrm{R}, P\mathrm{P} ও Q\mathrm{Q} এবং BCQR\mathrm{BCQR} একটি ট্রাপিজিয়াম।

Barisal · 2026

ক
দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।
খ
প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।
গ
RB\mathrm{RB} ও QC\mathrm{QC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S\mathrm{S} ও T\mathrm{T} হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, ST→=32RQ→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক
ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
গ
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = 12\frac{1}{2} BC.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।

দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, [গণিত] .অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?[গণিত] -এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, [গণিত] কে [গণিত] ও [গণিত] -এর মাধ্যমে প্রকাশ [গণিত] এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একটি স্কেলার।মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে [গ[গণিত] ও [গণিত] বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে, ভেক্টরের সাহায্যেদেখাও যে, [গণিত] একটি একক ভেক্টর যার দিক [গণিত] মুখী।PQRS একটি সামান্তরিক হলে [গণিত] ভেক্টরকে [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমেAB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST ||দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন