Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, PQRS একটি সামান্তরিক।

উত্তর: [চিত্র] দেওয়া আছে,- ABCD চতুর্ভুজের AB, BC, CD ও AD বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q, R ও S. এখন, P, Q; Q, R; R, S ও S, P যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, PQRS একটি সামান্তরিক। প্রমাণ : মনে করি, [গণিত] তাহলে, [গণিত] অনুরুপে, [গণিত] কিন্তু [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] তাহলে, [গণিত] ও [গণিত] এর ধারক রেখাদ্বয় একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। [গণিত] ধারক রেখাদ্বয় সমান্তরাল। [গণিত] এবং [গণিত] এবং SR সমান ও সমান্তরাল। অনুরূপভাবে, QR এবং PS সমান ও সমান্তরাল । [গণিত] PQRS একটি সামান্তরিক। (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল

ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, PQRS একটি সামান্তরিক।

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A, B, C ও D বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (4, 4), (-4,2), (-2, - 6) ও (6, - 4)। AB, BC, CD′CD^{\prime}ও AD বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q, R ও S।

Rajshahi · 2024

উত্তর

দেওয়া আছে, A ও B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (4,4)(4,4) ও (−4,2)(-4,2) ∴AB\therefore \quad \mathrm{AB} রেখার ঢাল =y2−y1x2−x1=2−4−4−4=−2−8=14=\frac{\mathrm{y}_2-\mathrm{y}_1}{\mathrm{x}_2-\mathrm{x}_1}=\frac{2-4}{-4-4}=\frac{-2}{-8}=\frac{1}{4} ∴AB\therefore \quad \mathrm{AB} রেখার সমীকরণ, y−y1=m(x−x1)\mathrm{y}-\mathrm{y}_1=\mathrm{m}\left(\mathrm{x}-\mathrm{x}_1\right) বা, y−4=14(x−4)y-4=\frac{1}{4}(x-4) বা, 4y−16=x−44 y-16=x-4 [উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা গুণ করে] বা, x−4−4y+16=0x-4-4 y+16=0 ∴x−4y+12=0\therefore \quad x-4 y+12=0 নির্ণেয় সমীকরণ : x−4y+12=0x-4 y+12=0

উত্তর

এখানে, A(4, 4), B(-4, 2), C( - 2, - 6 ) এবং D(6. - 4) বিন্দুগু'লা ABCD চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু। xy সমতলে বিন্দুগুলোর অবস্থান দেখানো হলো। question image AB বাহুর দৈর্ঘ্য , =(−4−4)2+(2−4)2=\sqrt{(-4-4)^2+(2-4)^2} =(−8)2+(−2)2=\sqrt{(-8)^2+(-2)^2} =64+4=68=\sqrt{64+4}=\sqrt{68} একক BC বাহুর দৈর্ঘ্য =(−2+4)2+(−6−2)2=\sqrt{(-2+4)^2+(-6-2)^2} =22+(−8)2=4+64=68=\sqrt{2^2+(-8)^2}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68} একক CD বাহুর দৈর্ঘ্য =(6+2)2+(−4+6)2=\sqrt{(6+2)^2+(-4+6)^2} =82+22=64+4=68=\sqrt{8^2+2^2}=\sqrt{64+4}=\sqrt{68} একক AD বাহুর দৈর্ঘ্য == =(6−4)2+(−4−4)2=\sqrt{(6-4)^2+(-4-4)^2} =22+(−8)2=4+64=68=\sqrt{2^2+(-8)^2}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68} একক ∴AB\therefore \mathrm{AB} বাহুর দৈর্ঘ্য =BC=\mathrm{BC} বাহুর দৈর্ঘ্য =CD=\mathrm{CD} বাহুর দৈর্ঘ্য =AD=\mathrm{AD} বাহুর দৈর্ঘ্য। অর্থাৎ ABCD চতুর্ভুজের প্রত্যেকটি বাহুই সমান। সুতরাং বলা যায় ABCD একটি বর্গ অথবা রম্বস। এখন কর্ণ AC এর দৈর্ঘ্য =(4+2)2+(4+6)2=\sqrt{(4+2)^2+(4+6)^2} =62+102=36+100=136=\sqrt{6^2+10^2}=\sqrt{36+100}=\sqrt{136} একক কর্ণ BD এর দৈর্ঘ্য =(6+4)2+(−4−2)2=\sqrt{(6+4)^2+(-4-2)^2} =102+(−6)2=100+36=136=\sqrt{10^2+(-6)^2}=\sqrt{100+36}=\sqrt{136} একক যেহেতু, কর্ণ AC এর দৈর্ঘ্য = কর্ণ BD এর দৈর্ঘ্য আবার, AC2=(136)2=136\mathrm{AC}^2=(\sqrt{136})^2=136 AB2+BC2=(68)2+(68)2=68+68=136=AC2A B^2+B C^2=(\sqrt{68})^2+(\sqrt{68})^2=68+68=136=A C^2 ∴\therefore পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী ∠ABC\angle \mathrm{ABC} সমকোণ। অতএব, ABCD চতুর্ভুজটি একটি বর্গ।

উত্তর

question image দেওয়া আছে,- ABCD চতুর্ভুজের AB, BC, CD ও AD বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q, R ও S. এখন, P, Q; Q, R; R, S ও S, P যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, PQRS একটি সামান্তরিক। প্রমাণ : মনে করি, AB→=a‾,BC→=b‾,CD→=c‾,DA→=d‾\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\underline{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\underline{\mathrm{b}}, \overrightarrow{\mathrm{CD}}=\underline{\mathrm{c}}, \overrightarrow{\mathrm{DA}}=\underline{\mathrm{d}} তাহলে, PQ→=PB→+BQ→=12AB→+12BC→=12(a+b)\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\frac{1}{2}(\mathrm{a}+\mathrm{b}) অনুরুপে, QR→=12( b‾+c‾),RS→=12(c‾+d‾),SP→=12( d‾+a‾)\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\frac{1}{2}(\underline{\mathrm{~b}}+\underline{\mathrm{c}}), \overrightarrow{\mathrm{RS}}=\frac{1}{2}(\underline{\mathrm{c}}+\underline{\mathrm{d}}), \overrightarrow{\mathrm{SP}}=\frac{1}{2}(\underline{\mathrm{~d}}+\underline{\mathrm{a}}) কিন্তু (a‾+b‾)+(c‾+d‾)=(\underline{a}+\underline{b})+(\underline{c}+\underline{d})=AC→\overrightarrow{A C}++CA→\overrightarrow{C A}==AC→\overrightarrow{A C}−-AC→\overrightarrow{A C}=0‾=\underline{0} বা, (a‾+b‾)=−(c‾+d‾)(\underline{a}+\underline{b})=-(\underline{c}+\underline{d}) বা, 12(a+b)=−12(c+d)\frac{1}{2}(a+b)=-\frac{1}{2}(c+d) বা, PQ→=−RS→\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-\overrightarrow{\mathrm{RS}} ∴PQ→=SR→\therefore \quad \overrightarrow{\mathrm{P Q}}=\overrightarrow{\mathrm{S R}} তাহলে, PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ও SR→\overrightarrow{\mathrm{SR}} এর ধারক রেখাদ্বয় একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। ∴\therefore \quad ধারক রেখাদ্বয় সমান্তরাল। ∴PQ→∥SR→\therefore \overrightarrow{\mathrm{P Q}} \| \overrightarrow{\mathbf{S R}} এবং ∣PQ→∣=∣SR→∣|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=|\overrightarrow{\mathrm{SR}}| ∴PQ=SR\therefore \quad \mathrm{P Q}=\mathrm{S R} ∴PQ\therefore \quad \mathrm{PQ} এবং SR সমান ও সমান্তরাল। অনুরূপভাবে, QR এবং PS সমান ও সমান্তরাল । ∴\therefore \quad PQRS একটি সামান্তরিক। (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে ΔABC\Delta\mathrm{ABC} এর AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC} ও AC\mathrm{AC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R\mathrm{R}, P\mathrm{P} ও Q\mathrm{Q} এবং BCQR\mathrm{BCQR} একটি ট্রাপিজিয়াম।

Barisal · 2026

ক
দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।
খ
প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।
গ
RB\mathrm{RB} ও QC\mathrm{QC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S\mathrm{S} ও T\mathrm{T} হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, ST→=32RQ→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক
ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
গ
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = 12\frac{1}{2} BC.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, [গণিত] .অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?[গণিত] -এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, [গণিত] কে [গণিত] ও [গণিত] -এর মাধ্যমে প্রকাশ [গণিত] এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একটি স্কেলার।মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে [গ[গণিত] ও [গণিত] বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে, ভেক্টরের সাহায্যেপ্রমাণ করো যে, [গণিত] ।দেখাও যে, [গণিত] একটি একক ভেক্টর যার দিক [গণিত] মুখী।PQRS একটি সামান্তরিক হলে [গণিত] ভেক্টরকে [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমেAB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST ||

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন