Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, প্রদত্ত চতুর্ভুজের সন্নিহিত বাহুগুলোর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাসমূহ একটি সামান্তরিক উৎপন্ন করে।

উত্তর: মনে করি, PQRS চতুর্ভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দুগুলো যথাক্রমে A, B, C ও D। প্রমাণ করতে হবে যে, ABCD একটি সামান্তরিক। [চিত্র] প্রমাণ: ধরি, [গণিত] P, R যোগ করা হলো। তাহলে, [গণিত] অনুরূপভাবে, [গণিত] আবার, [গণিত] এবং [গণিত] কিন্তু [গণিত] অর্থাৎ [গণিত] তাহলে, [গণিত] ও [গণিত] এর ধারকরেখাদ্বয় একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারকরেখা এক নয়। ∴ ধারকরেখাদ্বয় সমান্তরাল। ∴ [গণিত] . এখন, [গণিত] এবং DC সমান ও সমান্তরাল। অনুরূপভাবে, BC এবং AD সমান ও সমান্তরাল। ∴ ABCD একটি সামান্তরিক। (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল

ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, প্রদত্ত চতুর্ভুজের সন্নিহিত বাহুগুলোর…

উদ্দীপক

PQRSPQRS একটি চতুর্ভুজ এবং PRPR ও QSQS দুটি কর্ণ।

Barisal · 2024

উত্তর

question image এখানে, ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে (6 + 4) বা 10 সে.মি., (4 + 3) বা 7 সে.মি. এবং (6+3)(6+3) বা 9 সে.মি. ∴\therefore ত্রিভুজটির পরিসীমা =(10+7+9)= (10+7+9) সে.মি. = 26 সে.মি. (Ans.)

উত্তর

question image বিশেষ নির্বচন : মনে করি, বৃত্তে অর্ন্তলিখিত PQRS চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো যথাক্রমে PQ ও RS এবং QR ও PS। PR এবং QS চতুর্ভুজটির দুইটি কর্ণ। প্রমাণ করতে হবে যে, PR⋅QS=PQ⋅SR+PS⋅QR\mathrm{PR} \cdot \mathrm{QS}=\mathrm{PQ} \cdot \mathrm{SR}+\mathrm{PS} \cdot \mathrm{QR}. অঙ্কন : ∠QPR\angle \mathrm{QPR} কে ∠SPR\angle \mathrm{SPR} থেকে ছোট ধরে নিয়ে P বিন্দুতে PS রেখাংশের সাথে ∠QPR\angle \mathrm{QPR}-এর সমান করে ∠SPM\angle \mathrm{SPM} আঁকি যেন PM রেখা QS কর্ণকে M বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ : অঙ্কন অনুসারে ∠QPR=∠SPM\angle \mathrm{QPR}=\angle \mathrm{SPM} উভয়পক্ষে ∠RPM\angle \mathrm{RPM} যোগ করে পাই, ∠QPR+∠RPM=∠SPM+∠RPM\angle \mathrm{QPR}+\angle \mathrm{RPM}=\angle \mathrm{SPM}+\angle \mathrm{RPM} অর্থাৎ, ∠QPM=∠RPS\angle \mathrm{QPM}=\angle \mathrm{RPS} এখন △PQM\triangle \mathrm{PQM} ও △PRS\triangle \mathrm{PRS} এর মধ্যে ∠QPM=∠RPS\angle \mathrm{QPM}=\angle \mathrm{RPS} ∠PQM=∠PRS\angle \mathrm{PQM}=\angle \mathrm{PRS} [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান বলে] এবং অবশিষ্ট ∠PMQ=\angle \mathrm{PMQ}= অবশিষ্ট ∠PSR\angle \mathrm{PSR} ∴△PQM\therefore \triangle \mathrm{PQM} ও △PRS\triangle \mathrm{PRS} সদৃশকোণী। ∴QMRS=PQPR\therefore \frac{\mathrm{QM}}{\mathrm{RS}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}} অর্থাৎ, PR.QM=PQ.RS\mathrm{PR} . \mathrm{QM}=\mathrm{PQ} . \mathrm{RS} ……(i)\ldots\ldots (i) আবার, △PQR\triangle \mathrm{PQR} ও △PMS\triangle \mathrm{PMS} এর মধ্যে ∠QPR=∠SPM\angle \mathrm{QPR}=\angle \mathrm{SPM} [অঙ্কন অনুসারে] ∠PRQ=PSM\angle \mathrm{PRQ}=\mathrm{PSM} [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান বলে] এবং অবশিষ্ট ∠PQR=\angle \mathrm{PQR}= অবশিষ্ট ∠PMS\angle \mathrm{PMS} ∴△PQR\therefore \triangle \mathrm{PQR} ও △PMS\triangle \mathrm{PMS} সদৃশকোণী। ∴PSPR=MSQR\therefore \frac{\mathrm{PS}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{MS}}{\mathrm{QR}} অর্থাৎ, PR.MS=QR.PSPR.MS = QR.PS …..(ii)\ldots.. (ii) এখন সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই, PR.QM+PR.MS=PQ.RS+QR.PS\mathrm{PR.QM + PR.MS = PQ.RS + QR.PS} বা, PR(QM+MS)=PQ.RS+QR.PS\mathrm{PR}(\mathrm{QM}+\mathrm{MS})=\mathrm{PQ} . \mathrm{RS}+\mathrm{QR} . \mathrm{PS} বা, PR⋅QS=PQ⋅RS+QR⋅PSP R \cdot Q S=P Q \cdot R S+Q R \cdot P S [যেহেতু QM + MS = QS] ∴PR⋅QS=PQ⋅SR+PS⋅QR⋅\therefore \mathrm{PR} \cdot \mathrm{QS}=\mathrm{PQ} \cdot \mathrm{SR}+\mathrm{PS} \cdot \mathrm{QR} \cdot (প্রমাণিত)

উত্তর

মনে করি, PQRS চতুর্ভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দুগুলো যথাক্রমে A, B, C ও D। প্রমাণ করতে হবে যে, ABCD একটি সামান্তরিক। question image প্রমাণ: ধরি, PQ→=p‾,QR→=q‾,RS→=r‾,SP→=s‾\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\underline{\mathrm{p}}, \overrightarrow{\mathrm{QR}}=\underline{\mathrm{q}}, \overrightarrow{\mathrm{RS}}=\underline{\mathrm{r}}, \overrightarrow{\mathrm{SP}}=\underline{\mathrm{s}} P, R যোগ করা হলো। তাহলে, AB→=AQ→+QB→=12(PQ→+QR→)=12(p‾+q‾)\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QB}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QR}})=\frac{1}{2}(\underline{\mathrm{p}}+\underline{\mathrm{q}}) অনুরূপভাবে, BC→=12(q‾+r‾),CD→=12(r‾+s‾),DA→=12( s‾+p‾)\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\frac{1}{2}(\underline{\mathrm{q}}+\underline{\mathrm{r}}), \overrightarrow{\mathrm{CD}}=\frac{1}{2}(\underline{\mathrm{r}}+\underline{\mathrm{s}}), \overrightarrow{\mathrm{DA}}=\frac{1}{2}(\underline{\mathrm{~s}}+\underline{\mathrm{p}}) আবার, PR→=PQ→+QR→=p‾+q‾\overrightarrow{\mathrm{PR}}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\underline{\mathrm{p}}+\underline{\mathrm{q}} এবং RP→=RS→+SP→=r‾+s‾\overrightarrow{\mathrm{RP}}=\overrightarrow{\mathrm{RS}}+\overrightarrow{\mathrm{SP}}=\underline{\mathrm{r}}+\underline{\mathrm{s}} কিন্তু (p‾+q‾)+(r‾+s‾)=PR→+RP→=PR→−PR→=0(\underline{p}+\underline{q})+(\underline{r}+\underline{s})=\overrightarrow{\mathrm{PR}}+\overrightarrow{\mathrm{RP}}=\overrightarrow{\mathrm{PR}}-\overrightarrow{\mathrm{PR}}=0 অর্থাৎ (p‾+q‾)=−(r‾+s‾)(\underline{p}+\underline{q})=-(\underline{r}+\underline{s}) ∴AB→=12(p‾+q‾)=−12(r‾+s‾)=−CD→=DC→\therefore \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\frac{1}{2}(\underline{\mathrm{p}}+\underline{\mathrm{q}})=-\frac{1}{2}(\underline{\mathrm{r}}+\underline{\mathrm{s}})=-\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{\mathrm{DC}} তাহলে, AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও DC→\overrightarrow{\mathrm{DC}} এর ধারকরেখাদ্বয় একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারকরেখা এক নয়। ∴ ধারকরেখাদ্বয় সমান্তরাল। ∴ AB→∥DC→\overrightarrow{\mathrm{AB}} \| \overrightarrow{\mathrm{DC}}. এখন, ∣AB→∣=∣DC→∣∴AB=DC|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{DC}}| \therefore \mathrm{AB}=\mathrm{DC} ∴AB\therefore \mathrm{AB} এবং DC সমান ও সমান্তরাল। অনুরূপভাবে, BC এবং AD সমান ও সমান্তরাল। ∴ ABCD একটি সামান্তরিক। (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে ΔABC\Delta\mathrm{ABC} এর AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC} ও AC\mathrm{AC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R\mathrm{R}, P\mathrm{P} ও Q\mathrm{Q} এবং BCQR\mathrm{BCQR} একটি ট্রাপিজিয়াম।

Barisal · 2026

ক
দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।
খ
প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।
গ
RB\mathrm{RB} ও QC\mathrm{QC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S\mathrm{S} ও T\mathrm{T} হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, ST→=32RQ→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক
ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
গ
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = 12\frac{1}{2} BC.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, [গণিত] .অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?[গণিত] -এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, [গণিত] কে [গণিত] ও [গণিত] -এর মাধ্যমে প্রকাশ [গণিত] এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একটি স্কেলার।মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে [গ[গণিত] ও [গণিত] বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে, ভেক্টরের সাহায্যেপ্রমাণ করো যে, [গণিত] ।দেখাও যে, [গণিত] একটি একক ভেক্টর যার দিক [গণিত] মুখী।PQRS একটি সামান্তরিক হলে [গণিত] ভেক্টরকে [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমেAB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST ||

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন