AD ও BC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, PQ || AB || DC এবং PQ = [গণিত] (AB + DC).
উত্তর: দেওয়া আছে, ABCD চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো A(3, 4), B(10, 4), C(7,10) এবং D(5, 10) AB রেখার ঢাল = [গণিত] DC রেখার ঢাল = [গণিত] ∴ AB || DC [চিত্র] দেওয়া আছে, ABCD চতুর্ভুজের AD ও BC বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q। প্রমাণ করতে হবে যে, PQ || AB || DC এবং PQ = [গণিত] (AB+DC) প্রমাণ: মনে করি, মূলবিন্দুর সাপেক্ষে A, B, C ও D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে a b c ও d [গণিত] = b - a এবং [গণিত] = c - d ∴ P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর = [গণিত] [∵ P, AD এর মধ্যবিন্দু] Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর = [গণিত] [∵ Q, CB এর মধ্যবিন্দু] এখন, [গণিত] = [গণিত] = [গণিত] কিন্তু [গণিত] ও [গণিত] পরস্পর সমান্তরাল হওয়ায় [গণিত] ভেক্টরটিও তাদের (অর্থাৎ [গণিত] ও [গণিত] এর) সমান্তরাল হবে। সুতরাং [গণিত] ভেক্টরও [গণিত] ও [গণিত] এর সমান্তরাল হবে। এখন [গণিত] ∴ [গণিত] অর্থাৎ [গণিত] অর্থাৎ PQ || AB || DC এবং PQ = [গণিত] (AB + DC) (প্রমাণিত)
SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল
AD ও BC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, PQ || AB || DC এবং PQ = (AB + DC).
উত্তর
দেওয়া আছে, ABCD চতুর্ভুজের AD ও BC বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q। প্রমাণ করতে হবে যে, PQ || AB || DC এবং PQ = (AB+DC)
প্রমাণ: মনে করি, মূলবিন্দুর সাপেক্ষে A, B, C ও D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে a b c ও d
= b - a এবং = c - d
∴ P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর = [∵ P, AD এর মধ্যবিন্দু]
Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর = [∵ Q, CB এর মধ্যবিন্দু]
এখন,
=
=
কিন্তু ও পরস্পর সমান্তরাল হওয়ায় ভেক্টরটিও তাদের (অর্থাৎ ও এর) সমান্তরাল হবে। সুতরাং ভেক্টরও ও এর সমান্তরাল হবে।
এখন
∴
অর্থাৎ
অর্থাৎ PQ || AB || DC এবং PQ = (AB + DC) (প্রমাণিত)