Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

BD ও CE এর মধ্যবিন্দু যথাক্কমে M ও N হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, [গণিত] এবং [গণিত]

উত্তর: [চিত্র] মনে করি, BDEC ট্রাপিজিয়ামের BD ও EC বাহুদ্বয় অসমান্তরাল এবং DE ও BC বাহুদ্বয় সমান্তরাল। M ও N যথাক্রমে BD ও EC এর মধ্যবিন্দু। M. N যোগ করা হলো। প্রমাণ করতে হবে যে, MN, BC ও DE-এর সমান্তরাল এবং তাদের যোগফলের অর্ধেক। অর্থাৎ [গণিত] প্রমাণ: মনে করি, কোনো ভেক্টর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে C, B, D, E বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে [গণিত] বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর [গণিত] এর মধ্যাবন্দু] এবং N বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর [গণিত] এর মধ্যবিন্দু] [গণিত] কিন্তু [গণিত] ও [গণিত] পরস্পর সমান্তরাল হওয়ায় [গণিত] ভেক্টরটিও তাদের (অর্থাৎ BC ও DE এর) সমান্তরাল হবে। [গণিত] এখন, [গণিত] (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল

BD ও CE এর মধ্যবিন্দু যথাক্কমে M ও N হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ ক…

উদ্দীপক

∆ABC এর AB ও AC বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E.

Comilla · 2019

উত্তর

question image প্রশ্নমতে, OA⃗=a⃗\vec{\mathrm{OA}}=\vec{\mathrm{a}} OB⃗=b⃗\vec{\mathrm{OB}}=\vec{\mathrm{b}} ত্রিভুজ সূত্রানুযায়ী, OA⃗+AB⃗=OB⃗\vec{\mathrm{OA}} + \vec{\mathrm{AB}}=\vec{\mathrm{OB}} বা, a⃗+AB⃗=b⃗\vec{\mathrm{a}}+\vec{\mathrm{AB}}=\vec{\mathrm{b}} ∴ AB⃗=b⃗−a⃗\vec{\mathrm{AB}}=\vec{\mathrm{b}}-\vec{\mathrm{a}} (Ans.)

উত্তর

মনে করি, ABCA B C ত্রিভুজের ABA B ও ACA C বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে DD ও EE । DD ও EE যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, DE∥BCD E \| B C এবং DE=12BCD E=\frac{1}{2} B C । question image ভেক্টর বিয়োগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, AE→−\overrightarrow{A E}-AD→\overrightarrow{A D}==DE→\overrightarrow{D E}⋯⋯\cdots \cdots (1) এবং AC→−\overrightarrow{A C}-AB→\overrightarrow{A B}=BC→=\overrightarrow{B C} কিন্তু AC→=2\overrightarrow{A C}=2AE→\overrightarrow{A E},,AB→\overrightarrow{A B}=2=2AD→\overrightarrow{A D}[∵D,E[\because D, E বিন্দু যথাক্রমে ABA B ও ACA C এর মধ্যবিন্দু] ∴\thereforeAC→\overrightarrow{A C}−-AB→\overrightarrow{A B}=BC→=\overrightarrow{B C} থেকে পাই 22AE→\overrightarrow{A E}−2-2AD→\overrightarrow{A D}=BC→=\overrightarrow{B C}, অর্থাৎ 2(2(AE→\overrightarrow{A E}−-AD→\overrightarrow{A D})=BC→)=\overrightarrow{B C} ∴2\therefore 2DE→\overrightarrow{D E}=BC→=\overrightarrow{B C} [(1) হতে] ∴\thereforeDE→\overrightarrow{D E}=12BC→=\frac{1}{2} \overrightarrow{B C} এবং ∣|DE→\overrightarrow{D E}∣=12∣|=\frac{1}{2}|BC→\overrightarrow{B C}∣| বা DE=12BCD E=\frac{1}{2} B C সুতরাং DE→\overrightarrow{D E} ও BC→\overrightarrow{B C} ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। সুতরাং DE→\overrightarrow{D E} ও BC→\overrightarrow{B C} ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখাদ্বয় অর্থাৎ DED E এবং BCB C সমান্তরাল।

উত্তর

question image মনে করি, BDEC ট্রাপিজিয়ামের BD ও EC বাহুদ্বয় অসমান্তরাল এবং DE ও BC বাহুদ্বয় সমান্তরাল। M ও N যথাক্রমে BD ও EC এর মধ্যবিন্দু। M. N যোগ করা হলো। প্রমাণ করতে হবে যে, MN, BC ও DE-এর সমান্তরাল এবং তাদের যোগফলের অর্ধেক। অর্থাৎ MN=12(BC+DE)\mathrm{MN}=\frac{1}{2}(\mathrm{BC}+\mathrm{DE}) প্রমাণ: মনে করি, কোনো ভেক্টর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে C, B, D, E বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে c‾,b‾,d‾,e‾\underline{\mathrm{c}}, \underline{\mathrm{b}}, \underline{\mathrm{d}}, \underline{\mathrm{e}} ∴\thereforeBC→\overrightarrow{BC}=c‾−b‾,=\underline{c}- \underline{b},DE→\overrightarrow{DE}=e‾−d‾= \underline{e} - \underline{d} ∴M\therefore \quad \mathrm{M} বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর =12( d‾+b‾)[∵M,CB=\frac{1}{2}(\underline{\mathrm{~d}}+\underline{\mathrm{b}})[\because \mathrm{M}, \mathrm{CB} এর মধ্যাবন্দু] এবং N বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর =12(c‾+e‾)=\frac{1}{2}(\underline{\mathrm{c}}+\underline{\mathrm{e}}) [∵N,CE[\because \mathrm{N}, \mathrm{CE} এর মধ্যবিন্দু] ∴MN→=12(c‾+e‾)−12(d‾+b‾)\therefore \quad \overrightarrow{\mathrm{MN}} =\frac{1}{2}(\underline{c}+\underline{e})-\frac{1}{2}(\underline{d}+\underline{b}) =12(c‾+e‾−d‾−b‾)=12{(c‾−b‾)+(e‾−d‾)}=\frac{1}{2}(\underline{c}+\underline{e}-\underline{d}-\underline{b})=\frac{1}{2}\{(\underline{c}-\underline{b})+(\underline{e}-\underline{d})\} ∴MN→=12(\therefore \quad \overrightarrow{\mathrm{MN}} =\frac{1}{2}(BC→\overrightarrow{B C}++DE→\overrightarrow{D E})) কিন্তু BC→\overrightarrow{B C} ও DE→\overrightarrow{D E} পরস্পর সমান্তরাল হওয়ায় BC→+DE\overrightarrow{B C}+\mathrm{DE} ভেক্টরটিও তাদের (অর্থাৎ BC ও DE এর) সমান্তরাল হবে। ∴DE∥MN∥BC (প্রমাণিত) \therefore \quad D E\|M N\| B C \text{ (প্রমাণিত) } এখন, MN→=12(\overrightarrow{M N}=\frac{1}{2}(BC→\overrightarrow{B C}++DE→\overrightarrow{D E})⇒∣) \Rightarrow|MN→\overrightarrow{M N}∣=12∣|=\frac{1}{2}|BC→\overrightarrow{B C}++DE→\overrightarrow{D E}∣| ∴MN=12(BC+DE)\therefore M N=\frac{1}{2}(B C+D E) (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে ΔABC\Delta\mathrm{ABC} এর AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC} ও AC\mathrm{AC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R\mathrm{R}, P\mathrm{P} ও Q\mathrm{Q} এবং BCQR\mathrm{BCQR} একটি ট্রাপিজিয়াম।

Barisal · 2026

ক
দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।
খ
প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।
গ
RB\mathrm{RB} ও QC\mathrm{QC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S\mathrm{S} ও T\mathrm{T} হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, ST→=32RQ→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক
ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
গ
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = 12\frac{1}{2} BC.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, [গণিত] .অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?[গণিত] -এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, [গণিত] কে [গণিত] ও [গণিত] -এর মাধ্যমে প্রকাশ [গণিত] এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একটি স্কেলার।মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে [গ[গণিত] ও [গণিত] বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে, ভেক্টরের সাহায্যেপ্রমাণ করো যে, [গণিত] ।দেখাও যে, [গণিত] একটি একক ভেক্টর যার দিক [গণিত] মুখী।PQRS একটি সামান্তরিক হলে [গণিত] ভেক্টরকে [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমেAB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST ||

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন