Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, R বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত NO এর সমান্তরাল সরলরেখা Q বিন্দুগামী হবে।

উত্তর: [চিত্র] [গণিত] MNO এর MN ও MO বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R ও Q। প্রমাণ করতে হবে যে, R বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত NO রেখার সমান্তরাল রেখা অবশ্যই Q বিন্দুগামী হবে। Q, R যোগ করি। ইহা প্রমাণ করাই যথেষ্ট হবে যে, RQ || NO। প্রমাণ: ভেক্টর বিয়োগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, [গণিত] (i) এবং [গণিত] (ii) কিন্তু, [গণিত] [∵ R, Q বিন্দু যথাক্রমে MN ও MO এর মধ্যবিন্দু।] (ii) থেকে পাই, [গণিত] অর্থাৎ [গণিত] ∴ [গণিত] [(i) থেকে] ∴ [গণিত] অতএব, [গণিত] ও [গণিত] এর ধারকরেখা সমান্তরাল বা একই হবে। কিন্তু এখানে ধারকরেখা এক নয়। ∴ RQ || NO ∴ R বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত NO এর সমান্তরাল রেখা অবশ্যই Q বিন্দুগামী হবে। (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল

ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, R বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত NO এর সমান্তরা…

উদ্দীপক

question image P, Q, R যথাক্রমে NO, MO, MN এর মধ্যবিন্দু।

Dinajpur · 2019

উত্তর

যেহেতু R, Q যথাক্রমে MN ও MO এর মধ্যবিন্দু। তাই R বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর = a‾+b‾2\frac{\underline{a}+\underline{b}}{2} Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর = a‾+c‾2\frac{\underline{a}+\underline{c}}{2} ∴ RQ⃗=a‾+c‾2−a‾+b‾2=c‾−b‾2\vec{\mathrm{RQ}}=\frac{\underline{a}+\underline{c}}{2}-\frac{\underline{a}+\underline{b}}{2}=\frac{\underline{c}-\underline{b}}{2} ∴ RQ⃗=12(c‾−b‾)\vec{\mathrm{RQ}} = \frac{1}{2}(\underline{c}-\underline{b}) (দেখানো হলো)

উত্তর

question image △\triangleMNP-এ ত্রিভুজ সূত্র হতে পাই, MP⃗=MN⃗+NP⃗\vec{\mathrm{MP}} = \vec{\mathrm{MN}} + \vec{\mathrm{NP}} ∴ MP⃗=MN⃗+12NO⃗\vec{\mathrm{MP}}=\vec{\mathrm{MN}}+\frac{1}{2}\vec{\mathrm{NO}}
…………(i)[P,NO\ldots\ldots\ldots\ldots(i) [P, NO
এর মধ্যবিন্দু বলে NP⃗=12NO⃗\vec{\mathrm{NP}} = \frac{1}{2}\vec{\mathrm{NO}}] △\triangleMOR-এ MR⃗=MO⃗+OR⃗\vec{\mathrm{MR}} = \vec{\mathrm{MO}} + \vec{\mathrm{OR}} ∴ OR⃗=MR⃗−MO⃗\vec{\mathrm{OR}} = \vec{\mathrm{MR}}-\vec{\mathrm{MO}} ∴ OR⃗=12MN⃗−MO⃗\vec{\mathrm{OR}}=\frac{1}{2}\vec{\mathrm{MN}}-\vec{\mathrm{MO}}
…………(ii)[R,MN\ldots\ldots\ldots\ldots (ii) [R, MN
এর মধ্যবিন্দু বলে MR⃗=12MN⃗\vec{\mathrm{MR}}=\frac{1}{2}\vec{\mathrm{MN}}] এবং △\triangleMNQ-এ MQ⃗=MN⃗+NQ⃗\vec{\mathrm{MQ}} = \vec{\mathrm{MN}} + \vec{\mathrm{NQ}} বা, NQ⃗=MQ⃗−MN⃗\vec{\mathrm{NQ}} = \vec{\mathrm{MQ}}-\vec{\mathrm{MN}} ∴ NQ⃗=12MO⃗−MN⃗\vec{\mathrm{NQ}}=\frac{1}{2}\vec{\mathrm{MO}}-\vec{\mathrm{MN}}
………...(iii)[Q,MO\ldots\ldots\ldots... (iii) [Q, MO
এর মধ্যবিন্দু বলে MQ⃗=12MO⃗\vec{\mathrm{MQ}}=\frac{1}{2}\vec{\mathrm{MO}}] এখন, (i), (ii) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই, MP⃗+OR⃗+NQ⃗=MN⃗+12NO⃗+12MN⃗−MO⃗+12MO⃗−MN⃗\vec{\mathrm{MP}}+\vec{\mathrm{OR}}+\vec{\mathrm{NQ}}=\vec{\mathrm{MN}}+\frac{1}{2}\vec{\mathrm{NO}}+\frac{1}{2}\vec{\mathrm{MN}}-\vec{\mathrm{MO}}+\frac{1}{2}\vec{\mathrm{MO}}-\vec{\mathrm{MN}} বা, MP⃗+NQ⃗+OR⃗=MN⃗+12NO⃗−12MO⃗\vec{\mathrm{MP}}+\vec{\mathrm{NQ}}+\vec{\mathrm{OR}}=\vec{\mathrm{MN}}+\frac{1}{2}\vec{\mathrm{NO}}-\frac{1}{2}\vec{\mathrm{MO}} =12(MN⃗+NO⃗)−12MO⃗\frac{1}{2}(\vec{\mathrm{MN}}+\vec{\mathrm{NO}})-\frac{1}{2}\vec{\mathrm{MO}} =12MO⃗−12MO⃗=0\frac{1}{2}\vec{\mathrm{MO}}-\frac{1}{2}\vec{\mathrm{MO}}=0 ∴ MP⃗+NQ⃗+OR⃗=0\vec{\mathrm{MP}} + \vec{\mathrm{NQ}} + \vec{\mathrm{OR}} = 0 (প্রমাণিত)

উত্তর

question image △\triangleMNO এর MN ও MO বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R ও Q। প্রমাণ করতে হবে যে, R বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত NO রেখার সমান্তরাল রেখা অবশ্যই Q বিন্দুগামী হবে। Q, R যোগ করি। ইহা প্রমাণ করাই যথেষ্ট হবে যে, RQ || NO। প্রমাণ: ভেক্টর বিয়োগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, MQ→−MR→=RQ→\overrightarrow{\mathrm{MQ}}-\overrightarrow{\mathrm{MR}} = \overrightarrow{\mathrm{RQ}} ………(i)\ldots\ldots\ldots (i) এবং MO→−MN→=NO→\overrightarrow{\mathrm{MO}} - \overrightarrow{\mathrm{MN}} = \overrightarrow{\mathrm{NO}} ………(ii)\ldots\ldots\ldots (ii) কিন্তু, MO→=2MQ→,MN→=2MO→\overrightarrow{\mathrm{MO}} = 2\overrightarrow{\mathrm{MQ}}, \overrightarrow{\mathrm{MN}}= 2\overrightarrow{\mathrm{MO}} [∵ R, Q বিন্দু যথাক্রমে MN ও MO এর মধ্যবিন্দু।] (ii) থেকে পাই, 2MQ→−2MR→=NO→2\overrightarrow{\mathrm{MQ}} - 2 \overrightarrow{\mathrm{MR}} = \overrightarrow{\mathrm{NO}} অর্থাৎ 2(MQ→−MR→)=NO→2(\overrightarrow{\mathrm{MQ}} - \overrightarrow{\mathrm{MR}}) =\overrightarrow{\mathrm{NO}} ∴ 2RQ→=NO→2\overrightarrow{\mathrm{RQ}} = \overrightarrow{\mathrm{NO}} [(i) থেকে] ∴ RQ→=12NO→\overrightarrow{\mathrm{RQ}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{NO}} অতএব, RQ→\overrightarrow{\mathrm{RQ}} ও NO→\overrightarrow{\mathrm{NO}} এর ধারকরেখা সমান্তরাল বা একই হবে। কিন্তু এখানে ধারকরেখা এক নয়। ∴ RQ || NO ∴ R বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত NO এর সমান্তরাল রেখা অবশ্যই Q বিন্দুগামী হবে। (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে ΔABC\Delta\mathrm{ABC} এর AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC} ও AC\mathrm{AC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R\mathrm{R}, P\mathrm{P} ও Q\mathrm{Q} এবং BCQR\mathrm{BCQR} একটি ট্রাপিজিয়াম।

Barisal · 2026

ক
দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।
খ
প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।
গ
RB\mathrm{RB} ও QC\mathrm{QC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S\mathrm{S} ও T\mathrm{T} হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, ST→=32RQ→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক
ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
গ
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = 12\frac{1}{2} BC.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, [গণিত] .অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?[গণিত] -এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, [গণিত] কে [গণিত] ও [গণিত] -এর মাধ্যমে প্রকাশ [গণিত] এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একটি স্কেলার।মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে [গ[গণিত] ও [গণিত] বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে, ভেক্টরের সাহায্যেপ্রমাণ করো যে, [গণিত] ।দেখাও যে, [গণিত] একটি একক ভেক্টর যার দিক [গণিত] মুখী।PQRS একটি সামান্তরিক হলে [গণিত] ভেক্টরকে [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমেAB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST ||

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন