Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, AB || PR এবং AB = [গণিত] PR.

উত্তর: [চিত্র] প্রমাণ: [গণিত] এ ভেত্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে, প্রমাণ: [গণিত] এ ভেন্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে, [গণিত] ..(i) আবার, [গণিত] এ [গণিত] বা, [গণিত] ও B যথাক্রমে PQ ও QR এর মধ্যবিন্দু] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা [গণিত] আবার, [গণিত] ও [গণিত] ভৌরীদ্বয়ের ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। [গণিত] ও [গণিত] ভেন্টরদ্বয়ের ধারকরেখাদ্বয় সমান্তরাল। [গণিত] এবং [গণিত] (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল

ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, AB || PR এবং AB = PR.

উদ্দীপক

question image চিত্রে PQRS চতুর্ভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে A, B, C এবং D.

Jessore · 2017

উত্তর

△ABQ\triangle \mathrm{ABQ} থেকে ভেন্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে, AQ→+QB→=AB→\overrightarrow{\mathrm{AQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QB}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} বা, 12PQ→+12QR→=AB→[∵A\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{QR}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \quad[\because \mathrm{A} ও B যখক্রমে PQ ও QR এর মধ্যবিন্দু] ∴AB→=12(PQ→+QR→) (Ans.) \therefore \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QR}}) \text{ (Ans.) }

উত্তর

question image মনে করি PQRS সামান্তরিকের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দুগুলো যথাক্রমে A, B, C ও D । প্রমাণ করতে হবে যে, ABCD একটি সামান্তরিক। প্রমাণ: ধরি, PQ→=p‾,\overrightarrow{PQ} = \underline{p},QR→\overrightarrow{QR}=q‾,= \underline{q},RS→\overrightarrow{RS}=r‾,= \underline{r},SP→\overrightarrow{SP}=s‾= \underline{s} তাহলে,AB→=\overrightarrow{A B}=AQ→\overrightarrow{A Q}++QB→\overrightarrow{Q B}=12(=\frac{1}{2}(PQ→\overrightarrow{P Q}++QR→\overrightarrow{Q R})=12(p+q))=\frac{1}{2}(\mathrm{p}+\mathrm{q}) অনুরূপভাবে BC→=12(q‾+r‾)\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}(\underline{q} + \underline{r}) CD→=12(r‾+s‾)\overrightarrow{CD} = \frac{1}{2}(\underline{r} + \underline{s}) DA→=12(s‾+p‾)\overrightarrow{DA} = \frac{1}{2}(\underline{s} + \underline{p}) আবার, PR→=PQ→+QR→=p+q\overrightarrow{\mathrm{PR}}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\mathrm{p}+\mathrm{q} এবং RP→=RS→+SP→=r‾+s‾\overrightarrow{\mathrm{RP}}=\overrightarrow{\mathrm{RS}}+\overrightarrow{\mathrm{SP}}=\underline{\mathrm{r}}+\underline{\mathrm{s}} কিন্তু (p+q)+(r+s‾)=(p+q)+(r+\underline{s})=PR→\overrightarrow{P R}++RP→\overrightarrow{R P}==PR→\overrightarrow{P R}−-PR→\overrightarrow{P R}=0=0 অর্থাৎ (p+q)=−(r+s‾)(p+q)=-(r+\underline{s}) ∴\thereforeAB→\overrightarrow{A B}=12(p+q)=−12(r‾+s‾)=−=\frac{1}{2}(p+q)=-\frac{1}{2}(\underline{r}+\underline{s})=-CD→\overrightarrow{C D}=DC→=\overrightarrow{D C} তাহলে, AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও DC→\overrightarrow{\mathrm{DC}} এর ধারকরেখাদ্বয় একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারকরেখা এক নয়। ∴ ধারকরেখাদ্বয় সমান্তরাল। ∴AB→∥DC→\therefore \overrightarrow{\mathrm{AB}} \| \overrightarrow{\mathrm{DC}}. এখন, ∣AB→∣=∣DC→∣∴AB=DC|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{DC}}| \therefore \mathrm{AB}=\mathrm{DC} ∴AB\therefore \mathrm{AB} এবং DC সমান ও সমান্তরাল। অনুরূপভাবে, BC এবং AD সমান ও সমান্তরাল। ∴ABCD\therefore \mathrm{ABCD} একটি সামান্তরিক। (প্রমাণিত)

উত্তর

question image প্রমাণ: △ABQ\triangle \mathrm{ABQ} এ ভেত্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে, প্রমাণ: △ABQ\triangle \mathrm{ABQ} এ ভেন্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে, AQ→+QB→=AB→\overrightarrow{\mathrm{AQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QB}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}…..(i)\ldots..(i) আবার, △PQR\triangle \mathrm{PQR} এ PQ→+QR→=PR→\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\overrightarrow{\mathrm{PR}} বা, 2AQ→+2QB→=PR→[∵A2 \overrightarrow{\mathrm{AQ}}+2 \overrightarrow{\mathrm{QB}}=\overrightarrow{\mathrm{PR}}[\because \mathrm{A} ও B যথাক্রমে PQ ও QR এর মধ্যবিন্দু] বা, 2(2(AQ→\overrightarrow{A Q}++QB→\overrightarrow{Q B})=PR→)=\overrightarrow{P R} বা, 22AB→\overrightarrow{A B}=PR→=\overrightarrow{P R} বা, AB→=12PR→\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PR}} বা ∣AB→∣=12∣PR→∣|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{PR}}| ∴AB=12PR\therefore \mathrm{AB}=\frac{1}{2} \mathrm{PR} আবার, AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} ভৌরীদ্বয়ের ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। ∴AB→\therefore \overrightarrow{\mathrm{AB}} ও PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} ভেন্টরদ্বয়ের ধারকরেখাদ্বয় সমান্তরাল। ∴AB∥PR\therefore \mathrm{AB} \| \mathrm{PR} এবং AB=12PR\mathrm{AB}=\frac{1}{2} \mathrm{PR} (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে ΔABC\Delta\mathrm{ABC} এর AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC} ও AC\mathrm{AC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R\mathrm{R}, P\mathrm{P} ও Q\mathrm{Q} এবং BCQR\mathrm{BCQR} একটি ট্রাপিজিয়াম।

Barisal · 2026

ক
দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।
খ
প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।
গ
RB\mathrm{RB} ও QC\mathrm{QC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S\mathrm{S} ও T\mathrm{T} হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, ST→=32RQ→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক
ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
গ
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = 12\frac{1}{2} BC.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, [গণিত] .অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?[গণিত] -এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, [গণিত] কে [গণিত] ও [গণিত] -এর মাধ্যমে প্রকাশ [গণিত] এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একটি স্কেলার।মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে [গ[গণিত] ও [গণিত] বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে, ভেক্টরের সাহায্যেপ্রমাণ করো যে, [গণিত] ।দেখাও যে, [গণিত] একটি একক ভেক্টর যার দিক [গণিত] মুখী।PQRS একটি সামান্তরিক হলে [গণিত] ভেক্টরকে [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমেAB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST ||

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন