Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, PO = RO এবং QO = SO.

উত্তর: [চিত্র] মনে করি, PQRS সামান্তরিকের PR ও QS কর্ণদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে। মনে করি, [গণিত] প্রমাণ করতে হবে যে, PO = OR এবং QO = OS প্রমাণ: [গণিত] এবং [গণিত] যেহেতু সামান্তরিকের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল। ∴ [গণিত] অর্থাৎ, [গণিত] বা, [গণিত] ∴ [গণিত] এখানে, [গণিত] ও [গণিত] এর ধারক PR ∴ [গণিত] এর ধারক PR আবার, [গণিত] ও [গণিত] এর ধারক QS ∴ [গণিত] এর ধারক QS [গণিত] ও [গণিত] দুইটি সমান সমান অশূন্য ভেক্টর হলে তাদের ধারক রেখা একই অথবা সমান্তরাল হবে। কিন্তু PR ও QS দুইটি পরস্পরছেদী অসমান্তরাল সরলরেখা। সুতরাং [গণিত] ও [গণিত] ভেক্টরদ্বয় অশূন্য হতে পারে না বিধায় এদের মান শূন্য হবে। ∴ [গণিত] – [গণিত] = 0 বা, [গণিত] = [গণিত] বা, [গণিত] ∴ [গণিত] এবং [গণিত] – [গণিত] = 0 বা, [গণিত] = [গণিত] বা, [গণিত] ∴ [গণিত] ∴ PO = RO এবং QO = SO (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল

ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, PO = RO এবং QO = SO.

উদ্দীপক

question image চিত্রে PQRS একটি সামান্তরিক।

Dinajpur · 2016

উত্তর

এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য: ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি, তৃতীয় বাহুর অর্ধেকের ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল এবং ঐ বাহুর সমদ্বিখণ্ডক মধ্যমার ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির দ্বিগুণ।

উত্তর

△\trianglePSQ এর PO মধ্যমা SQ বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, PQ² + PS² = 2(PO² + QO²) question image অঙ্কন: SQ বাহুর ওপর PM লম্ব অঙ্কন করি। প্রমাণ: △\trianglePSO এর ∠POS স্থূলকোণ এবং SO রেখার বর্ধিতাংশের উপর PO রেখার লম্ব অভিক্ষেপ OM ∴ স্থূলকোণের ক্ষেত্রে পীথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে, আমরা পাই, PS² = PO² + SO² + 2SO.OM …...(i)\ldots...(i) আবার, △\trianglePQO এর ∠POQ সূক্ষ্মকোণ এবং OQ রেখার উপর PO রেখার লম্ব অভিক্ষেপ OM. ∴ সূক্ষ্মকোণের ক্ষেত্রে পীথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে পাই, PQ² = PO² + QO² - 2QO.OM
………(ii)(i)\ldots\ldots\ldots(ii) (i)
ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই, PS² + PQ² = 2PO² + SO² + QO² + 2SO.OM - 2QO.OM = 2PO² + QO² + QO² + 2QO.OM - 2QO.OM [∵ SO=QO] = 2(PO² + QO²) ∴ PQ² + PS² = 2(PO² + QO²) (প্রমাণিত)

উত্তর

question image মনে করি, PQRS সামান্তরিকের PR ও QS কর্ণদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে। মনে করি, PO→=p‾,QO→=q‾,OR→=r‾,OS→=s‾\overrightarrow{\mathrm{PO}} = \underline{\mathrm{p}}, \overrightarrow{\mathrm{QO}} = \underline{\mathrm{q}}, \overrightarrow{\mathrm{OR}} = \underline{\mathrm{r}}, \overrightarrow{\mathrm{OS}} = \underline{\mathrm{s}} প্রমাণ করতে হবে যে, PO = OR এবং QO = OS প্রমাণ: PO→+OS→=PS→\overrightarrow{\mathrm{PO}}+\overrightarrow{\mathrm{OS}} = \overrightarrow{\mathrm{PS}} এবং QO→+OR→=QR→\overrightarrow{\mathrm{QO}} + \overrightarrow{\mathrm{OR}} = \overrightarrow{\mathrm{QR}} যেহেতু সামান্তরিকের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল। ∴ PS→=QR→\overrightarrow{\mathrm{PS}} = \overrightarrow{\mathrm{QR}} অর্থাৎ, PO→+OS→=QO→+OR→\overrightarrow{\mathrm{PO}}+\overrightarrow{\mathrm{OS}}=\overrightarrow{\mathrm{QO}}+\overrightarrow{\mathrm{OR}} বা, p‾+s‾=q‾+r‾\underline{\mathrm{p}}+\underline{\mathrm{s}}=\underline{\mathrm{q}}+\underline{\mathrm{r}} ∴ p‾−r‾=q‾−s‾\underline{\mathrm{p}}-\underline{\mathrm{r}}=\underline{\mathrm{q}}-\underline{\mathrm{s}} এখানে, p‾\underline{\mathrm{p}} ও r‾\underline{\mathrm{r}} এর ধারক PR ∴ p‾−r‾\underline{\mathrm{p}}-\underline{\mathrm{r}} এর ধারক PR আবার, q‾\underline{\mathrm{q}} ও s‾\underline{\mathrm{s}} এর ধারক QS ∴ q‾−s‾\underline{\mathrm{q}}-\underline{\mathrm{s}} এর ধারক QS p⃗−r⃗\vec{\mathrm{p}}-\vec{\mathrm{r}} ও q⃗−s⃗\vec{\mathrm{q}}-\vec{\mathrm{s}} দুইটি সমান সমান অশূন্য ভেক্টর হলে তাদের ধারক রেখা একই অথবা সমান্তরাল হবে। কিন্তু PR ও QS দুইটি পরস্পরছেদী অসমান্তরাল সরলরেখা। সুতরাং p‾−r‾\underline{\mathrm{p}}-\underline{\mathrm{r}} ও q‾−s‾\underline{\mathrm{q}}-\underline{\mathrm{s}} ভেক্টরদ্বয় অশূন্য হতে পারে না বিধায় এদের মান শূন্য হবে। ∴ p‾\underline{\mathrm{p}} – r‾\underline{\mathrm{r}} = 0 বা, p‾\underline{\mathrm{p}} = r‾\underline{\mathrm{r}} বা, PO→=OR→\overrightarrow{\mathrm{PO}}=\overrightarrow{\mathrm{OR}} ∴ ∣PO→∣=∣OR→∣|\overrightarrow{\mathrm{PO}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OR}}| এবং q‾\underline{\mathrm{q}} – s‾\underline{\mathrm{s}} = 0 বা, q‾\underline{\mathrm{q}} = s‾\underline{\mathrm{s}} বা, QO→=OS→\overrightarrow{\mathrm{QO}}=\overrightarrow{\mathrm{OS}} ∴ ∣QO→∣=∣OS→∣|\overrightarrow{\mathrm{QO}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OS}}| ∴ PO = RO এবং QO = SO (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে ΔABC\Delta\mathrm{ABC} এর AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC} ও AC\mathrm{AC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R\mathrm{R}, P\mathrm{P} ও Q\mathrm{Q} এবং BCQR\mathrm{BCQR} একটি ট্রাপিজিয়াম।

Barisal · 2026

ক
দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।
খ
প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।
গ
RB\mathrm{RB} ও QC\mathrm{QC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S\mathrm{S} ও T\mathrm{T} হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, ST→=32RQ→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক
ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
গ
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = 12\frac{1}{2} BC.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, [গণিত] .অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?[গণিত] -এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, [গণিত] কে [গণিত] ও [গণিত] -এর মাধ্যমে প্রকাশ [গণিত] এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একটি স্কেলার।মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে [গ[গণিত] ও [গণিত] বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে, ভেক্টরের সাহায্যেপ্রমাণ করো যে, [গণিত] ।দেখাও যে, [গণিত] একটি একক ভেক্টর যার দিক [গণিত] মুখী।PQRS একটি সামান্তরিক হলে [গণিত] ভেক্টরকে [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমেAB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST ||

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, PO = RO এবং QO = SO. | Prosthuti