Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || QR এবং ST = [গণিত] QR.

উত্তর: [চিত্র] এখানে PQR ত্রিভুজের PQ ও PR বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S ও T. প্রমাণ করতে হবে যে, ST || QR এবং ST = [গণিত] QR. প্রমাণ: PS = SQ = [গণিত] PQ এবং PT = TR = [গণিত] PR ত্রিভুজ বিধি অনুসারে [গণিত] PQR হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, [গণিত] PST হতে পাই, [গণিত] = [গণিত] = [গণিত] ∴ [গণিত] ∴ ST = [গণিত] QR সুতরাং, [গণিত] ও [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। সুতরাং, [গণিত] ও [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখাদ্বয় অর্থাৎ ST ও QR সমান্তরাল। ∴ ST || QR এবং ST = [গণিত] QR (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল

ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || QR এবং ST = QR.

উদ্দীপক

P(8, 3), Q(3, ৪) এবং R(- 2, 3) বিন্দু তিনটি একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু। S ও T যথাক্রমে PQ ও PR এর মধ্যবিন্দু।

Chittagong · 2017

উত্তর

দেওয়া আছে, Q ও R বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (3, ৪) ও (-2, 3) ∴ QR রেখার ঢাল = 3−8−2−3=−5−5=1\frac{3-8}{-2-3}=\frac{-5}{-5}=1 (Ans.)

উত্তর

দেওয়া আছে, একটি ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় P(8, 3), Q(3, ৪) এবং R(-2, 3) PQ বাহুর দৈর্ঘ্য = (3−8)2+(8−3)2=50\sqrt{(3-8)² + (8-3)²} = \sqrt{50} একক QR বাহুর দৈর্ঘ্য = (−2−3)2+(3−8)2=50\sqrt{(-2-3)² + (3-8)²} = \sqrt{50} একক PR বাহুর দৈর্ঘ্য = (−2−8)2+(3−3)2=100\sqrt{(-2-8)²+(3-3)²} = \sqrt{100} একক = 10 একক যেহেতু △\trianglePQR এর PQ = QR = 50\sqrt{50} একক ∴ △\trianglePQR সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। (দেখানো হলো) ধরি, সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 50\sqrt{50} একক এবং অপর বাহুর দৈর্ঘ্য, b = 10 একক আমরা জানি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = b44a2−b2\frac{\mathrm{b}}{4}\sqrt{4\mathrm{a}²-\mathrm{b}²} বর্গ একক = 1044(50)2−(10)2=524×50−100\frac{10}{4}\sqrt{4(\sqrt{50})² - (10)²}=\frac{5}{2}\sqrt{4\times 50-100} = 52100=52×10=25\frac{5}{2}\sqrt{100}=\frac{5}{2}\times 10 = 25 ∴ △\trianglePQR এর ক্ষেত্রফল = 25 বর্গ একক। (দেখানো হলো)

উত্তর

question image এখানে PQR ত্রিভুজের PQ ও PR বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S ও T. প্রমাণ করতে হবে যে, ST || QR এবং ST = 12\frac{1}{2}QR. প্রমাণ: PS = SQ = 12\frac{1}{2} PQ এবং PT = TR = 12\frac{1}{2}PR ত্রিভুজ বিধি অনুসারে △\trianglePQR হতে পাই, QR⃗=QP⃗+PR⃗\vec{\mathrm{QR}} = \vec{\mathrm{QP}} + \vec{\mathrm{PR}} বা, QR⃗=−PQ⃗+PR⃗\vec{\mathrm{QR}} = - \vec{\mathrm{PQ}} + \vec{\mathrm{PR}} বা, QR⃗=PR⃗−PQ⃗\vec{\mathrm{QR}} = \vec{\mathrm{PR}} - \vec{\mathrm{PQ}} আবার, △\trianglePST হতে পাই, ST⃗=SP⃗+PT⃗=−PS⃗+PT⃗\vec{\mathrm{ST}} = \vec{\mathrm{SP}} + \vec{\mathrm{PT}} = -\vec{\mathrm{PS}}+\vec{\mathrm{PT}} = −12PQ⃗+12PR⃗-\frac{1}{2}\vec{\mathrm{PQ}} + \frac{1}{2}\vec{\mathrm{PR}} = 12(PR⃗−PQ⃗)=12QR⃗\frac{1}{2}(\vec{\mathrm{PR}}-\vec{\mathrm{PQ}}) = \frac{1}{2}\vec{\mathrm{QR}} ∴ ∣ST⃗∣=12∣QR⃗∣|\vec{\mathrm{ST}}| = \frac{1}{2}|\vec{\mathrm{QR}}| ∴ ST = 12\frac{1}{2}QR সুতরাং, ST⃗\vec{\mathrm{ST}} ও QR⃗\vec{\mathrm{QR}} ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। সুতরাং, ST⃗\vec{\mathrm{ST}} ও QR⃗\vec{\mathrm{QR}} ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখাদ্বয় অর্থাৎ ST ও QR সমান্তরাল। ∴ ST || QR এবং ST = 12\frac{1}{2}QR (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে ΔABC\Delta\mathrm{ABC} এর AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC} ও AC\mathrm{AC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R\mathrm{R}, P\mathrm{P} ও Q\mathrm{Q} এবং BCQR\mathrm{BCQR} একটি ট্রাপিজিয়াম।

Barisal · 2026

ক
দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।
খ
প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।
গ
RB\mathrm{RB} ও QC\mathrm{QC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S\mathrm{S} ও T\mathrm{T} হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, ST→=32RQ→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক
ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
গ
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = 12\frac{1}{2} BC.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, [গণিত] .অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?[গণিত] -এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, [গণিত] কে [গণিত] ও [গণিত] -এর মাধ্যমে প্রকাশ [গণিত] এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একটি স্কেলার।মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে [গ[গণিত] ও [গণিত] বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে, ভেক্টরের সাহায্যেপ্রমাণ করো যে, [গণিত] ।দেখাও যে, [গণিত] একটি একক ভেক্টর যার দিক [গণিত] মুখী।PQRS একটি সামান্তরিক হলে [গণিত] ভেক্টরকে [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমেAB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST ||

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন