Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দুগুলোর স্থানাঙ্ক A(10, 6), B(4, 0), C(14, 0) হলে, ∆ABC ও ∆AEF এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করে দেখাও যে, ∆ABC : ∆AEF = 4:1.

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এর শীর্ষবিন্দুগুলো [গণিত] ও [গণিত] ABC এর ক্ষেত্রফল [গণিত] যেহেতু E ও F যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু [গণিত] এবং F বিন্দুর স্থানাঙ্ক [গণিত] এর ক্ষেত্রফল [গণিত] ঃ 1 (দেখানো হলো)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল

ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দুগুলোর স্থানাঙ্ক A(10, 6), B(4, 0), C(14, 0) হ…

উদ্দীপক

∆ABC এর BC, AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F.

Sylhet · 2017

উত্তর

question image △\triangleABF হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, AB⃗+BF⃗=AF⃗\vec{\mathrm{AB}} + \vec{\mathrm{BF}} = \vec{\mathrm{AF}} [ত্রিভুজবিধি] বা, AB⃗=AF⃗−BF⃗\vec{\mathrm{AB}} = \vec{\mathrm{AF}} - \vec{\mathrm{BF}} ∴ AB⃗=12AC⃗−BF⃗\vec{\mathrm{AB}} = \frac{1}{2}\vec{\mathrm{AC}} - \vec{\mathrm{BF}} ……..(i)\ldots\ldots.. (i) আবার, ∆ACE হতে, AC⃗+CE⃗=AE⃗\vec{\mathrm{AC}} + \vec{\mathrm{CE}} = \vec{\mathrm{AE}} [ত্রিভুজ বিধি] ∴ AC⃗=AE⃗−CE⃗\vec{\mathrm{AC}} = \vec{\mathrm{AE}} - \vec{\mathrm{CE}}
……..(ii)(i)\ldots\ldots.. (ii) (i)
ও (ii) থেকে পাই, AB⃗=12(AE⃗−CE⃗)−BF⃗\vec{\mathrm{AB}} = \frac{1}{2}(\vec{\mathrm{AE}} - \vec{\mathrm{CE}}) - \vec{\mathrm{BF}} বা, AB⃗=12(12AB⃗−CE⃗)−BF⃗\vec{\mathrm{AB}} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}\vec{\mathrm{AB}}-\vec{\mathrm{CE}}) - \vec{\mathrm{BF}} বা, AB⃗=14AB⃗−12CE⃗−BF⃗\vec{\mathrm{AB}} = \frac{1}{4}\vec{\mathrm{AB}} - \frac{1}{2}\vec{\mathrm{CE}} - \vec{\mathrm{BF}} বা, 4AB⃗=AB⃗−2CE⃗−4BF⃗4\vec{\mathrm{AB}} = \vec{\mathrm{AB}}-2 \vec{\mathrm{CE}}-4 \vec{\mathrm{BF}} [উভয় পক্ষকে 4 দ্বারা গুণ করে] বা, 3AB⃗=−2CE⃗−4BF⃗3 \vec{\mathrm{AB}}=-2 \vec{\mathrm{CE}} - 4 \vec{\mathrm{BF}} বা, AB⃗=−23CE⃗−43BF⃗\vec{\mathrm{AB}} = -\frac{2}{3}\vec{\mathrm{CE}} - \frac{4}{3}\vec{\mathrm{BF}} ∴ AB⃗=−43BF⃗−23CE⃗\vec{\mathrm{AB}}=-\frac{4}{3}\vec{\mathrm{BF}}-\frac{2}{3}\vec{\mathrm{CE}} (Ans.)

উত্তর

question image মনে করি, ABC ত্রিভুজের AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু E ও F। E, F যোগ করি। ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করতে হবে যে, EF || BC এবং EF=12\frac{1}{2}BC। প্রমাণ: E ও F যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু। ত্রিভুজবিধি অনুসারে পাই, ∴ EB = AE = 12\frac{1}{2}AB এবং AF = FC = 12\frac{1}{2}AC △\triangleABC হতে ত্রিভুজবিধি অনুসারে পাই, AB⃗+BC⃗=AC⃗\vec{\mathrm{AB}}+\vec{\mathrm{BC}} = \vec{\mathrm{AC}} ∴ BC⃗=AC⃗−AB⃗\vec{\mathrm{BC}} = \vec{\mathrm{AC}}-\vec{\mathrm{AB}}………...(i)\ldots\ldots\ldots... (i) এবং △\triangleAEF হতে, AE⃗+EF⃗=AF⃗\vec{\mathrm{AE}}+ \vec{\mathrm{EF}} = \vec{\mathrm{AF}} বা, EF⃗=AF⃗−AE⃗\vec{\mathrm{EF}} = \vec{\mathrm{AF}} - \vec{\mathrm{AE}} [AE = 12\frac{1}{2}AB এবং AF=12\frac{1}{2}AC] =12AC⃗−12AB⃗\frac{1}{2}\vec{\mathrm{AC}}-\frac{1}{2}\vec{\mathrm{AB}} =12(AC⃗−AB⃗)\frac{1}{2}(\vec{\mathrm{AC}}-\vec{\mathrm{AB}}) বা, EF⃗=12BC⃗\vec{\mathrm{EF}}=\frac{1}{2}\vec{\mathrm{BC}} [সমীকরণ (i) হতে] বা, ∣EF⃗∣=12∣BC⃗∣|\vec{\mathrm{EF}}|=\frac{1}{2}|\vec{\mathrm{BC}}| ∴ EF = 12\frac{1}{2}BC ∴ EF ও BC এর ধারকরেখা একই বা সমান্তরাল। কিন্তু E ও F যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু বলে EF ও BC এর ধারকরেখা একই হতে পারে না। ∴ EF || BC । সুতরাং EF || BC এবং EF = 12\frac{1}{2} BC (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, △ABC\triangle \mathrm{ABC} এর শীর্ষবিন্দুগুলো A(10,6),B(4,0)\mathrm{A}(10,6), \mathrm{B}(4,0) ও C(14,0)\mathrm{C}(14,0) Δ\DeltaABC এর ক্ষেত্রফল = \frac{1}{2} \[\begin{vmatrix} 10 & 4 & 14 & 10 \\ 6 & 0 & 0 & 6 \end{vmatrix}\] =12(0+0+84−24−0−0)=\frac{1}{2}(0+0+84-24-0-0) =12×60=30 বর্গ একক =\frac{1}{2} \times 60=30 \text{ বর্গ একক } যেহেতু E ও F যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু ∴E বিন্দুর স্থানাঙ্ক ≡(10+42,6+02)=(7,3)\therefore \quad E \text{ বিন্দুর স্থানাঙ্ক } \equiv\left(\frac{10+4}{2}, \frac{6+0}{2}\right)=(7,3) এবং F বিন্দুর স্থানাঙ্ক ≡(10+142,6+02)=(12,3)\equiv\left(\frac{10+14}{2}, \frac{6+0}{2}\right)=(12,3) ∴△AEF\therefore \quad \triangle \mathrm{AEF} এর ক্ষেত্রফল =\frac{1}{2}\left|\[\begin{array}{cccc}10 & 7 & 12 & 10 \\ 6 & 3 & 3 & 6\end{array}\]\right| =12(30+21+72−42−36−30)=12×15=152 বর্গ একক \begin{aligned} & =\frac{1}{2}(30+21+72-42-36-30) \\ & =\frac{1}{2} \times 15=\frac{15}{2} \text{ বর্গ একক }\end{aligned} ∴△ABC△AEF=30152=6015=41\therefore \quad \frac{\triangle \mathrm{ABC}}{\triangle \mathrm{AEF}}=\frac{30}{\frac{15}{2}}=\frac{60}{15}=\frac{4}{1} ∴△ABCঃ△AEF=4\therefore \triangle \mathrm{ABC} ঃ \triangle \mathrm{AEF}=4 ঃ 1 (দেখানো হলো)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে ΔABC\Delta\mathrm{ABC} এর AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC} ও AC\mathrm{AC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R\mathrm{R}, P\mathrm{P} ও Q\mathrm{Q} এবং BCQR\mathrm{BCQR} একটি ট্রাপিজিয়াম।

Barisal · 2026

ক
দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।
খ
প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।
গ
RB\mathrm{RB} ও QC\mathrm{QC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S\mathrm{S} ও T\mathrm{T} হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, ST→=32RQ→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক
ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
গ
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = 12\frac{1}{2} BC.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, [গণিত] .অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?[গণিত] -এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, [গণিত] কে [গণিত] ও [গণিত] -এর মাধ্যমে প্রকাশ [গণিত] এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একটি স্কেলার।মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে [গ[গণিত] ও [গণিত] বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে, ভেক্টরের সাহায্যেপ্রমাণ করো যে, [গণিত] ।দেখাও যে, [গণিত] একটি একক ভেক্টর যার দিক [গণিত] মুখী।PQRS একটি সামান্তরিক হলে [গণিত] ভেক্টরকে [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমেAB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST ||

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন