Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

যদি উদ্দীপকে উল্লেখিত চতুর্ভুজটির সন্নিহিত বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E, F ও G হয়, তবে ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ কর যে, DEFG একটি সামান্তরিক।

উত্তর: [চিত্র] PQRS চতুর্ভুজের সন্নিহিত বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E, F, G । D, E; E, F; F, G এবং D, G যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, DEFG চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক। প্রমাণ: মনে করি, [গণিত] P, R যোগ করা হলো। তাহলে [গণিত] অনুরূপভাবে [গণিত] কিন্তু [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] ∴ [গণিত] বা, [গণিত] ∴ DE ও GF সমান ও সমান্তরাল ∴ DEFG চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক। (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল

যদি উদ্দীপকে উল্লেখিত চতুর্ভুজটির সন্নিহিত বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু যথা…

উদ্দীপক

P(7, 2), Q(-4, 2), R(-4, -3) এবং S(7, -3) বিন্দুগুলো একটি চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু।

Comilla · 2016

উত্তর

দেওয়া আছে, P(7, 2) এবং Q(-4, 2) PQ বাহুর ঢাল = 2−27−(−4)=07+4=0\frac{2-2}{7-(-4)}=\frac{0}{7+4}=0 (Ans.)

উত্তর

দেওয়া আছে, একটি চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষ যথাক্রমে A(7, 2), B(-4, 2), C(-4, -3) এবং D(7,-3) ∴ AB বাহুর দৈর্ঘ্য = (7+4)2+(2−2)2\sqrt{(7+4)² + (2-2)^2} =(11)2+0=11\sqrt{(11)² + 0} = 11 একক BC বাহুর দৈর্ঘ্য = (−4+4)2+(2+3)2=0+52=5\sqrt{(-4+4)² + (2+3)²} = \sqrt{0 + 5^2} = 5 একক CD বাহুর দৈর্ঘ্য = (−4−7)2+(−3+3)2=121+0=11\sqrt{(-4-7)^2+(-3+3)^2}=\sqrt{121 + 0} = 11 একক AD বাহুর দৈর্ঘ্য = (7−7)2+(2+3)2=0+52=5\sqrt{(7-7)² + (2+3)²} = \sqrt{0 + 5^2} = 5 একক AC কর্ণের দৈর্ঘ্য = (7+4)2+(2+3)2\sqrt{(7 + 4)^2 + (2+3)^2} = 121+25=146\sqrt{121 + 25} = \sqrt{146} একক BD কর্ণের দৈর্ঘ্য = (−4−7)2+(2+3)2=121+25\sqrt{(-4-7)² + (2+3)²} = \sqrt{121 + 25} = 146\sqrt{146} একক সুতরাং আমরা পাই, AB = CD এবং BC = AD আবার, কর্ণ AC = কর্ণ BD. ∴ ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র। (Ans.)

উত্তর

question image PQRS চতুর্ভুজের সন্নিহিত বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E, F, G । D, E; E, F; F, G এবং D, G যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, DEFG চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক। প্রমাণ: মনে করি, PQ⃗=p⃗,QR⃗=q⃗,RS⃗=r⃗,SP⃗=s⃗\vec{\mathrm{PQ}} = \vec{\mathrm{p}}, \vec{\mathrm{QR}} = \vec{\mathrm{q}}, \vec{\mathrm{RS}} = \vec{\mathrm{r}}, \vec{\mathrm{SP}} = \vec{\mathrm{s}} P, R যোগ করা হলো। তাহলে DE⃗=DQ⃗+QE⃗=12(PQ⃗+QR⃗)=12(p⃗+q⃗)\vec{\mathrm{DE}} = \vec{\mathrm{DQ}} + \vec{\mathrm{QE}} = \frac{1}{2}(\vec{\mathrm{PQ}}+\vec{\mathrm{QR}}) = \frac{1}{2}(\vec{\mathrm{p}}+\vec{\mathrm{q}}) অনুরূপভাবে FG⃗=FS⃗+SG⃗=12(RS⃗+SP⃗)=12(r⃗+s⃗)\vec{\mathrm{FG}}=\vec{\mathrm{FS}}+\vec{\mathrm{SG}}=\frac{1}{2}(\vec{\mathrm{RS}}+\vec{\mathrm{SP}})=\frac{1}{2}(\vec{\mathrm{r}}+\vec{\mathrm{s}}) কিন্তু (p⃗+q⃗)+(r⃗+s⃗)=PR⃗+RP⃗=PR⃗−PR⃗=0(\vec{\mathrm{p}}+\vec{\mathrm{q}})+(\vec{\mathrm{r}}+\vec{\mathrm{s}})=\vec{\mathrm{PR}}+\vec{\mathrm{RP}}=\vec{\mathrm{PR}}-\vec{\mathrm{PR}}=0 বা, (p⃗+q⃗)+(r⃗+s⃗)=0(\vec{\mathrm{p}}+\vec{\mathrm{q}})+(\vec{\mathrm{r}}+\vec{\mathrm{s}}) = 0 বা, (p⃗+q⃗)=−(r⃗+s⃗)(\vec{\mathrm{p}}+\vec{\mathrm{q}})= -(\vec{\mathrm{r}} + \vec{\mathrm{s}}) বা, 12(p⃗+q⃗)=−12(r⃗+s⃗)\frac{1}{2}(\vec{\mathrm{p}}+\vec{\mathrm{q}})= -\frac{1}{2}(\vec{\mathrm{r}}+\vec{\mathrm{s}}) ∴ DE⃗=−FG⃗\vec{\mathrm{DE}} =- \vec{\mathrm{FG}} বা, DE⃗=GF⃗\vec{\mathrm{DE}} = \vec{\mathrm{GF}} ∴ DE ও GF সমান ও সমান্তরাল ∴ DEFG চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক। (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে ΔABC\Delta\mathrm{ABC} এর AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC} ও AC\mathrm{AC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R\mathrm{R}, P\mathrm{P} ও Q\mathrm{Q} এবং BCQR\mathrm{BCQR} একটি ট্রাপিজিয়াম।

Barisal · 2026

ক
দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।
খ
প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।
গ
RB\mathrm{RB} ও QC\mathrm{QC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S\mathrm{S} ও T\mathrm{T} হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, ST→=32RQ→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক
ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
গ
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = 12\frac{1}{2} BC.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, [গণিত] .অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?[গণিত] -এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, [গণিত] কে [গণিত] ও [গণিত] -এর মাধ্যমে প্রকাশ [গণিত] এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একটি স্কেলার।মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে [গ[গণিত] ও [গণিত] বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে, ভেক্টরের সাহায্যেপ্রমাণ করো যে, [গণিত] ।দেখাও যে, [গণিত] একটি একক ভেক্টর যার দিক [গণিত] মুখী।PQRS একটি সামান্তরিক হলে [গণিত] ভেক্টরকে [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমেAB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST ||

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন