Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ∆ABC এর যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশ ঐ ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও তার অর্ধেক।

উত্তর: মনে করি, [গণিত] ত্রিভুজের [গণিত] ও [গণিত] বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] । [গণিত] ও [গণিত] যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] এবং [গণিত] । [চিত্র] ভেক্টর বিয়োগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, [গণিত] (1) এবং [গণিত] কিন্তু [গণিত] বিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] এর মধ্যবিন্দু] [গণিত] থেকে পাই [গণিত] , অর্থাৎ [গণিত] [(1) হতে] [গণিত] এবং [গণিত] বা [গণিত] সুতরাং [গণিত] ও [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। সুতরাং [গণিত] ও [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখাদ্বয় অর্থাৎ [গণিত] এবং [গণিত] সমান্তরাল।

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল

ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ∆ABC এর যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দু…

উদ্দীপক

ABC ত্রিভুজের শীর্ষ বিন্দু যথাক্রমে A(2,-4), B(-4, 4) এবং C(3, a) যেখানে a > 0

Chittagong · 2016

উত্তর

দেওয়া আছে, ABC ত্রিভুজের শীর্ষ বিন্দুত্রয় A(2, -4), B(-4, 4) এবং C(3, a) প্রশ্নমতে, AC = BC বা, (3−2)2+(a+4)2=(3+4)2+(a−4)2\sqrt{(3-2)² + (a + 4)²} = \sqrt{(3 + 4)² + (a-4)²} বা, 1+a2+8a+16=49+a2−8a+16\sqrt{1 + a² + 8a + 16} = \sqrt{49 + a² - 8a+ 16} বা, a2+8a+17=a2−8a+65a² + 8a + 17 = a² - 8a+ 65 [বর্গ করে] বা, 16a=65−1716a = 65-17 বা, a=4816a = \frac{48}{16} ∴ a = 3 (Ans.)

উত্তর

A(2, – 4) ও B(-4, 4)-বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ, x−22−(−4)=y−(−4)−4−4\frac{\mathrm{x}-2}{2-(-4)}=\frac{\mathrm{y}-(-4)}{-4-4} বা, x−26=y+4−8\frac{\mathrm{x}-2}{6}=\frac{\mathrm{y}+4}{-8} বা, −8x+16=6y+24- 8\mathrm{x} + 16 = 6\mathrm{y} + 24 বা, – 8x−6y+16−24=08\mathrm{x}-6\mathrm{y}+16-24=0 বা, −8x−6y−8=0- 8\mathrm{x} - 6\mathrm{y} - 8 = 0 বা, −2(4x+3y+4)=0- 2(4\mathrm{x} + 3\mathrm{y} + 4) = 0 ∴ 4x+3y+4=04\mathrm{x} + 3\mathrm{y} + 4 = 0 (Ans.) আবার, AB রেখার ঢাল = 4−(−4)−4−2=8−6=−43\frac{4-(-4)}{-4-2}=\frac{8}{-6}=-\frac{4}{3} (Ans.)

উত্তর

মনে করি, ABCA B C ত্রিভুজের ABA B ও ACA C বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে DD ও EE । DD ও EE যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, DE∥BCD E \| B C এবং DE=12BCD E=\frac{1}{2} B C । question image ভেক্টর বিয়োগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, AE→−\overrightarrow{A E}-AD→\overrightarrow{A D}==DE→\overrightarrow{D E}⋯⋯\cdots \cdots (1) এবং AC→−\overrightarrow{A C}-AB→\overrightarrow{A B}=BC→=\overrightarrow{B C} কিন্তু AC→=2\overrightarrow{A C}=2AE→\overrightarrow{A E},,AB→\overrightarrow{A B}=2=2AD→\overrightarrow{A D}[∵D,E[\because D, E বিন্দু যথাক্রমে ABA B ও ACA C এর মধ্যবিন্দু] ∴\thereforeAC→\overrightarrow{A C}−-AB→\overrightarrow{A B}=BC→=\overrightarrow{B C} থেকে পাই 22AE→\overrightarrow{A E}−2-2AD→\overrightarrow{A D}=BC→=\overrightarrow{B C}, অর্থাৎ 2(2(AE→\overrightarrow{A E}−-AD→\overrightarrow{A D})=BC→)=\overrightarrow{B C} ∴2\therefore 2DE→\overrightarrow{D E}=BC→=\overrightarrow{B C} [(1) হতে] ∴\thereforeDE→\overrightarrow{D E}=12BC→=\frac{1}{2} \overrightarrow{B C} এবং ∣|DE→\overrightarrow{D E}∣=12∣|=\frac{1}{2}|BC→\overrightarrow{B C}∣| বা DE=12BCD E=\frac{1}{2} B C সুতরাং DE→\overrightarrow{D E} ও BC→\overrightarrow{B C} ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। সুতরাং DE→\overrightarrow{D E} ও BC→\overrightarrow{B C} ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখাদ্বয় অর্থাৎ DED E এবং BCB C সমান্তরাল।
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে ΔABC\Delta\mathrm{ABC} এর AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC} ও AC\mathrm{AC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R\mathrm{R}, P\mathrm{P} ও Q\mathrm{Q} এবং BCQR\mathrm{BCQR} একটি ট্রাপিজিয়াম।

Barisal · 2026

ক
দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।
খ
প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।
গ
RB\mathrm{RB} ও QC\mathrm{QC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S\mathrm{S} ও T\mathrm{T} হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, ST→=32RQ→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক
ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
গ
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = 12\frac{1}{2} BC.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, [গণিত] .অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?[গণিত] -এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, [গণিত] কে [গণিত] ও [গণিত] -এর মাধ্যমে প্রকাশ [গণিত] এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একটি স্কেলার।মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে [গ[গণিত] ও [গণিত] বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে, ভেক্টরের সাহায্যেপ্রমাণ করো যে, [গণিত] ।দেখাও যে, [গণিত] একটি একক ভেক্টর যার দিক [গণিত] মুখী।PQRS একটি সামান্তরিক হলে [গণিত] ভেক্টরকে [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমেAB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST ||

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন