Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

BE ও CD -এর মধ্যবিন্দু M ও N হলে ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ করো যে, [গণিত] এবং [গণিত] .

উত্তর: এখানে, BCNM ট্রাপিজিয়ামের BN ও CM কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q।P, Q যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] এবং [গণিত] প্রমাণ : মনে করি, কোনো নির্দিষ্ট মূলবিন্দুর প্রেক্ষিতে B, C, N ও M বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] . তাহলে [গণিত] এবং [গণিত] এখন, P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর [গণিত] এবং [গণিত] বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর [গণিত] এখন, [গণিত] ও [গণিত] সমান্তরাল কিন্তু বিপরীতমুখী । সুতরাং, [গণিত] ভেক্টরও [গণিত] ও [গণিত] এর সমান্তরাল। অর্থাৎ [গণিত] ভেক্টরও [গণিত] ও [গণিত] এর সমান্তরাল। আবার, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] . (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল

BE ও CD -এর মধ্যবিন্দু M ও N হলে ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ করো যে, এব…

উদ্দীপক

△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E.

উত্তর

দেওয়া আছে, একটি সরলরেখা (x1,y1)=(2,−1)\left(\mathrm{x}_1, \mathrm{y}_1\right)=(2,-1) বিন্দুগামী। এবং ঢাল, m=13\mathrm{m}=\frac{1}{3}. আমরা জানি, m ঢাল ও (x1,y1)\left(\mathrm{x}_1, \mathrm{y}_1\right) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ, y−y1=m(x−x1)\mathrm{y}-\mathrm{y}_1=\mathrm{m}\left(\mathrm{x}-\mathrm{x}_1\right) বা, y−(−1)=13(x−2)\mathrm{y}-(-1)=\frac{1}{3}(\mathrm{x}-2) বা, y+1=13(x−2)\mathrm{y}+1=\frac{1}{3}(\mathrm{x}-2) বা, 3y+3=x−23 \mathrm{y}+3=\mathrm{x}-2 বা, 0=x−2−3y−30=x-2-3 y-3 ∴x−3y−5=0\therefore \quad x-3 y-5=0 নির্ণেয় সমীকরণ, x−3y−5=0x-3 y-5=0.

উত্তর

question image এখানে, △ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর AB ও AC বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E। D, E যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, DE∥BC\mathrm{DE} \| \mathrm{BC} এবং DE=12BC\mathrm{DE}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}. প্রমাণ : D ও E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু। ∴AD→=12AB→\therefore \quad \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}} এবং AE→=12AC→\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AC}} △ADE\triangle \mathrm{ADE} হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই, AD→+DE→=AE→\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}} বা, DE→=AE→−AD→\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}-\overrightarrow{\mathrm{AD}} বা, DE→=12AC→−12AB→\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}} বা, DE→=12(AC→−AB→)\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}) …...(1)\ldots... (1) আবার, △ABC\triangle \mathrm{ABC} হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে, AB→+BC→=AC→\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}} ∴BC→=AC→−AB→……2\therefore \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}} \ldots\ldots{2} (1) ও (2) হতে পাই, DE→=12BC→\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{BC}} বা, ∣DE→∣=12∣BC→∣|\overrightarrow{\mathrm{DE}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{BC}}| ∴DE=12BC\therefore \mathrm{DE}=\frac{1}{2} \mathrm{BC} আবার, DE→\overrightarrow{\mathrm{DE}} ও BC→\overrightarrow{\mathrm{BC}} ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। সুতরাং DE→\overrightarrow{\mathrm{DE}} ও BC→\overrightarrow{\mathrm{BC}} ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখাদ্বয় DE এবং B∩\cap সমান্তরাল। ∴DE∥BC\therefore \mathrm{DE} \| \mathrm{BC} এবং DE=12BC\mathrm{DE}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}. (প্রমাণিত)

উত্তর

এখানে, BCNM ট্রাপিজিয়ামের BN ও CM কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q।P, Q যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, PQ∥MN∥BC\mathrm{PQ}\|\mathrm{MN}\| \mathrm{BC} এবং PQ=12(BC−MN).\mathrm{PQ}=\frac{1}{2}(\mathrm{BC}-\mathrm{MN}) . প্রমাণ : মনে করি, কোনো নির্দিষ্ট মূলবিন্দুর প্রেক্ষিতে B, C, N ও M বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে b‾,c‾,n‾\underline{\mathrm{b}}, \underline{\mathrm{c}}, \underline{\mathrm{n}} ও m‾\underline{\mathrm{m}}. তাহলে BC→=c‾−b‾\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\underline{\mathrm{c}}-\underline{\mathrm{b}} এবং MN→=n‾−m‾\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\underline{\mathrm{n}}-\underline{\mathrm{m}} এখন, P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর =12(b‾+n‾)=\frac{1}{2}(\underline{b}+\underline{n}) এবং QQ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর =12(c‾+m‾)=\frac{1}{2}(\underline{c}+\underline{m}) ∴PQ→=12(c‾+m‾)−12(b‾+n‾)=12(c‾+m‾−b‾−n‾)\therefore \overrightarrow{\mathrm{PQ}} =\frac{1}{2}(\underline{c}+\underline{m})-\frac{1}{2}(\underline{b}+\underline{n})=\frac{1}{2}(\underline{c}+\underline{m}-\underline{b}-\underline{n}) =12(c‾−b‾+m‾−n‾)=12(=\frac{1}{2}(\underline{c}-\underline{b}+\underline{m}-\underline{n})=\frac{1}{2}(BC→\overrightarrow{B C}++NM→\overrightarrow{N M})=12()=\frac{1}{2}(BC→\overrightarrow{B C}−-MN→\overrightarrow{M N})) এখন, BC→\overrightarrow{\mathrm{BC}} ও MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} সমান্তরাল কিন্তু বিপরীতমুখী । সুতরাং, (BC→−MN→)(\overrightarrow{\mathrm{BC}}-\overrightarrow{\mathrm{MN}}) ভেক্টরও BC→\overrightarrow{\mathrm{BC}} ও MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} এর সমান্তরাল। অর্থাৎ PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরও BC→\overrightarrow{\mathrm{BC}} ও MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} এর সমান্তরাল। আবার, ∣PQ→∣=12∣BC→−MN→∣|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{BC}}-\overrightarrow{\mathrm{MN}}| বা, PQ=12(∣BC→∣−∣MN→∣)=12(BC−MN)\mathrm{PQ}=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|-|\overrightarrow{\mathrm{MN}}|)=\frac{1}{2}(\mathrm{BC}-\mathrm{MN}) ∴PQ∥MN∥BC\therefore \quad \mathrm{PQ}\|\mathrm{MN}\| \mathrm{BC} এবং PQ=12(BC−MN)\mathrm{PQ}=\frac{1}{2}(\mathrm{BC}-\mathrm{MN}). (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে ΔABC\Delta\mathrm{ABC} এর AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC} ও AC\mathrm{AC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R\mathrm{R}, P\mathrm{P} ও Q\mathrm{Q} এবং BCQR\mathrm{BCQR} একটি ট্রাপিজিয়াম।

Barisal · 2026

ক
দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।
খ
প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।
গ
RB\mathrm{RB} ও QC\mathrm{QC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S\mathrm{S} ও T\mathrm{T} হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, ST→=32RQ→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক
ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
গ
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = 12\frac{1}{2} BC.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, [গণিত] .অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?[গণিত] -এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, [গণিত] কে [গণিত] ও [গণিত] -এর মাধ্যমে প্রকাশ [গণিত] এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একটি স্কেলার।মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে [গ[গণিত] ও [গণিত] বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে, ভেক্টরের সাহায্যেপ্রমাণ করো যে, [গণিত] ।দেখাও যে, [গণিত] একটি একক ভেক্টর যার দিক [গণিত] মুখী।PQRS একটি সামান্তরিক হলে [গণিত] ভেক্টরকে [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমেAB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST ||

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন