Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

QRBA ট্রাপিজিয়ামের কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, [গণিত]

উত্তর: মনে করি, QRBA ট্রাপিজিয়ামের QB ও AR কর্ণের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] [চিত্র] প্রমাণ : মনে করি, কোনো নির্দিষ্ট মূলবিন্দুর প্রেক্ষিতে Q, R, B ও A বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে q, t, t, ও s. তাহলে, [গণিত] এবং [গণিত] এখন, D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর [গণিত] এবং E বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর [গণিত] সুতরাং [গণিত] কিন্তু, [গণিত] এবং [গণিত] অর্থাৎ [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল

QRBA ট্রাপিজিয়ামের কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E হলে, ভেক্…

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প : PQR ত্রিভুজের PQ ও PR রাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে A ও B

উত্তর

P(3,−3)\mathrm{P}(3,-3) ও Q(−3,−2)\mathrm{Q}(-3,-2) বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ, y−(−3)−3−(−2)=x−33−(−3)\frac{y-(-3)}{-3-(-2)}=\frac{x-3}{3-(-3)} বা, y+3−3+2=x−33+3\frac{y+3}{-3+2}=\frac{x-3}{3+3} বা, 6(y+3)=−(x−3)6(y+3)=-(x-3) বা, 6y+18=−x+36 y+18=-x+3 বা, x+6y+18−3=0x+6 y+18-3=0 ∴x+6y+15=0\therefore \quad x+6 y+15=0 নির্ণেয় সমীকরণ x+6y+15=0x+6 y+15=0

উত্তর

এখানে, △PQR\triangle \mathrm{PQR} এর PQ ও PR বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে A ও B। প্রমাণ করতে হবে যে, 2AB=QR2 \mathrm{AB}=\mathrm{QR}. প্রমাণ : যেহেতু PQ ও PR এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে A এবং B question image ∴PA→=12PQ→\therefore \quad \overrightarrow{\mathrm{PA}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PQ}} এবং PB→=12PR→\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PR}} এখন, △PAB\triangle \mathrm{PAB} হতে ভেক্টর বিয়োগবিধি অনুসারে পাই, AB→=PB→−PA→\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{PB}}-\overrightarrow{\mathrm{PA}} বা, AB→=12PR→−12PQ→=12(PR→−PQ→)\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PR}}-\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{PR}}-\overrightarrow{\mathrm{PQ}}) আবার, △PQR\triangle \mathrm{PQR}-হতে ভেক্টরের ত্রিভুজের বিয়োগবিধি অনুসারে পাই, QR→=PR→−PQ→\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\overrightarrow{\mathrm{PR}}-\overrightarrow{\mathrm{PQ}} (1) ও (2) নং হতে পাই, AB→=12QR→\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{QR}} বা, ∣AB→∣=12∣QR→∣|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{QR}}| বা, AB=12QR\mathrm{AB}=\frac{1}{2} \mathrm{QR} ∴2AB=QR\therefore \quad 2 \mathrm{AB}=\mathrm{QR} প্রমাণিত

উত্তর

মনে করি, QRBA ট্রাপিজিয়ামের QB ও AR কর্ণের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E। প্রমাণ করতে হবে যে, DE=12(QR−AB)\mathrm{DE}=\frac{1}{2}(\mathrm{QR}-\mathrm{AB}) question image প্রমাণ : মনে করি, কোনো নির্দিষ্ট মূলবিন্দুর প্রেক্ষিতে Q, R, B ও A বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে q, t, t, ও s. তাহলে, QR→=r‾−q‾\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\underline{\mathrm{r}}-\underline{\mathrm{q}} এবংAB→=t‾−s‾\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\underline{\mathrm{t}}-\underline{\mathrm{s}} এখন, D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর =12(q‾+t‾)=\frac{1}{2}(\underline{q}+\underline{t}) এবং E বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর =12(r‾+s‾)=\frac{1}{2}(\underline{r}+\underline{s}) সুতরাং DE→=12(r‾+s‾)−12(q‾+t‾)=12(r‾+s‾−q‾−t‾)=12(r‾−q‾+s‾−t‾)\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\frac{1}{2}(\underline{r}+\underline{s})-\frac{1}{2}(\underline{q}+\underline{t})=\frac{1}{2}(\underline{r}+\underline{s}-\underline{q}-\underline{t})=\frac{1}{2}(\underline{r}-\underline{q}+\underline{s}-\underline{t}) কিন্তু, QR→=r‾−q‾\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\underline{\mathrm{r}}-\underline{\mathrm{q}} এবং BA→=s‾−t‾\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\underline{\mathrm{s}}-\underline{\mathrm{t}} অর্থাৎ DE→=12(QR→+BA→)=12(QR→−AB→)\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{QR}}+\overrightarrow{\mathrm{BA}})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{QR}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}) বা, ∣DE→∣=12∣QR→−AB→∣|\overrightarrow{\mathrm{DE}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{QR}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}| বা, DE=12(∣QR→∣−∣AB→∣)=12(QR−AB)\mathrm{DE}=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{\mathrm{QR}}|-|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|)=\frac{1}{2}(\mathrm{QR}-\mathrm{AB}) ∴DE=12(QR−AB)\therefore \quad \mathrm{DE}=\frac{1}{2}(\mathrm{QR}-\mathrm{AB}) (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে ΔABC\Delta\mathrm{ABC} এর AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC} ও AC\mathrm{AC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R\mathrm{R}, P\mathrm{P} ও Q\mathrm{Q} এবং BCQR\mathrm{BCQR} একটি ট্রাপিজিয়াম।

Barisal · 2026

ক
দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।
খ
প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।
গ
RB\mathrm{RB} ও QC\mathrm{QC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S\mathrm{S} ও T\mathrm{T} হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, ST→=32RQ→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক
ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
গ
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = 12\frac{1}{2} BC.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, [গণিত] .অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?[গণিত] -এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, [গণিত] কে [গণিত] ও [গণিত] -এর মাধ্যমে প্রকাশ [গণিত] এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একটি স্কেলার।মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে [গ[গণিত] ও [গণিত] বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে, ভেক্টরের সাহায্যেপ্রমাণ করো যে, [গণিত] ।দেখাও যে, [গণিত] একটি একক ভেক্টর যার দিক [গণিত] মুখী।PQRS একটি সামান্তরিক হলে [গণিত] ভেক্টরকে [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমেAB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST ||

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন