Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] ট্রাপিজিয়ামের কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু M ও N হলে ভেষ্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, [গণিত] এবং [গণিত] .

উত্তর: [চিত্র] মনে করি, QRTS ট্রাপিজিয়ামের QT ও SR কর্ণের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M ও N। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] এবং [গণিত] . প্রমাণ: মনে করি, কোনো নির্দিষ্ট মূলবিন্দুর প্রেক্ষিতে Q, R, T ও S বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] তাহলে, [গণিত] এবং [গণিত] এখন, [গণিত] বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর [গণিত] এবং N বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর [গণিত] সুতরাং [গণিত] কিন্তু, [গণিত] এবং [গণিত] অর্থাৎ [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এখন, [গণিত] ও [গণিত] সমান্তরাল কিন্তু বিপরীতমুখী । সুতরাং [গণিত] ভেক্টরও [গণিত] ও [গণিত] এর সমান্তরাল। অর্থাৎ [গণিত] ভেক্টরও [গণিত] ও [গণিত] এর সমান্তরাল। [গণিত] এবং [গণিত] . (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল

ট্রাপিজিয়ামের কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু M ও N হলে ভেষ্টরের সাহায্যে প…

উদ্দীপক

△ PQR এর PQ ও PR বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S ও T.

উত্তর

question image এখানে, △ PQR এর PQ ও PR বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S ও T. এখন, △ PST হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্রানুসারে পাই, PS→+ST→=PT→\overrightarrow{\mathrm{PS}}+\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\overrightarrow{\mathrm{PT}} ∴PS→+ST→=12PR→[∵PR\therefore \quad \overrightarrow{\mathrm{PS}}+\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PR}} \quad[\because \mathrm{PR} এর মধ্যবিন্দু T]]

উত্তর

question image এখানে, △PQR এর PQ ও PR বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S ও T। প্রমাণ করতে হবে যে, QR∥ST\mathrm{QR} \| \mathrm{ST} এবং ST=12QR\mathrm{ST}=\frac{1}{2} \mathrm{QR}. প্রমাণ: যেহেতু PQ ও PR এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T. ∴PS→=12PQ→\therefore \quad \overrightarrow{\mathrm{PS}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PQ}} এবং PT→=12PR→\overrightarrow{\mathrm{PT}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PR}} এখন, ΔPST\Delta \mathrm{PST} হতে ভেক্টর বিয়োগবিধি অনুসারে পাই, ST→=PT→−PS→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\overrightarrow{\mathrm{PT}}-\overrightarrow{\mathrm{PS}} বা, ST→=12PR→−12PQ→=12(PR→−PQ→)\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PR}}-\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{PR}}-\overrightarrow{\mathrm{PQ}})….91)\ldots.91) আবার, △PQR\triangle \mathrm{PQR}-হতে ভেক্টরের ত্রিভুজের বিয়োগবিধি অনুসারে পাই, QR→=PR→−PQ→\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\overrightarrow{\mathrm{PR}}-\overrightarrow{\mathrm{PQ}}...(2) (1) ও (2) নং হতে পাই, ST→=12QR→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{QR}} বা, ∣ST→∣=12∣QR→∣|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{QR}}| ∴ST=12QR\therefore \quad \mathrm{ST}=\frac{1}{2} \mathrm{QR} যেহেতু ST, QR এর অর্ধেক। অতএব ST এবং QR এর ধারক রেখা একই অথবা সমান্তরাল হবে। চিত্রে, যেহেতু ST ও QR এর ধারক রেখা এক নয়। তাই ST ও QR পরস্পর সমান্তরাল। অর্থাৎ QR || ST সুতরাং QR || ST এবং ST=12QR\mathrm{ST}=\frac{1}{2} \mathrm{QR}. (প্রমাণিত)

উত্তর

question image মনে করি, QRTS ট্রাপিজিয়ামের QT ও SR কর্ণের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M ও N। প্রমাণ করতে হবে যে, MN∥ST∥QR\mathrm{MN}\|\mathrm{ST}\| \mathrm{QR} এবং MN=12(QR−ST)\mathrm{MN}=\frac{1}{2}(\mathrm{QR}-\mathrm{ST}). প্রমাণ: মনে করি, কোনো নির্দিষ্ট মূলবিন্দুর প্রেক্ষিতে Q, R, T ও S বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে q‾,r‾,t‾\underline{q}, \underline{r}, \underline{t} ও s‾\underline{s} তাহলে, QR→=r‾−q‾\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\underline{r}-\underline{q} এবং ST→=t‾−s‾\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\underline{t}-\underline{s} এখন, MM বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর =12(q‾+t‾)=\frac{1}{2}(\underline{q}+\underline{t}) এবং N বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর =12(r‾+s‾)=\frac{1}{2}(\underline{\mathrm{r}}+\underline{\mathrm{s}}) সুতরাং MN→=12(r‾+s‾)−12(q‾+t‾)\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\frac{1}{2}(\underline{r}+\underline{s})-\frac{1}{2}(\underline{q}+\underline{t}) =12(r‾+s‾−q‾−t‾)=12(r‾−q‾+s‾−t‾)=\frac{1}{2}(\underline{r}+\underline{s}-\underline{q}-\underline{t})=\frac{1}{2}(\underline{r}-\underline{q}+\underline{s}-\underline{t}) কিন্তু, QR→=r‾−q‾\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\underline{\mathrm{r}}-\underline{\mathrm{q}} এবং TS→=s‾−t‾\overrightarrow{\mathrm{TS}}=\underline{\mathrm{s}}-\underline{\mathrm{t}} অর্থাৎ MN→=12(QR→+TS→)=12(QR→−ST→)\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{QR}}+\overrightarrow{\mathrm{TS}})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{QR}}-\overrightarrow{\mathrm{ST}}) বা, ∣MN→∣=12∣QR→−ST→∣|\overrightarrow{\mathrm{MN}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{QR}}-\overrightarrow{\mathrm{ST}}| বা, MN=12(∣QR→∣−∣ST→∣)=12(QR−ST)\mathrm{MN}=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{\mathrm{QR}}|-|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|)=\frac{1}{2}(\mathrm{QR}-\mathrm{ST}) এখন, QR→\overrightarrow{\mathrm{QR}} ও ST→\overrightarrow{\mathrm{ST}} সমান্তরাল কিন্তু বিপরীতমুখী । সুতরাং QR→−ST→\overrightarrow{\mathrm{QR}}-\overrightarrow{\mathrm{ST}} ভেক্টরও QR→\overrightarrow{\mathrm{QR}} ও ST→\overrightarrow{\mathrm{ST}} এর সমান্তরাল। অর্থাৎ MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} ভেক্টরও QR→\overrightarrow{\mathrm{QR}} ও ST→\overrightarrow{\mathrm{ST}} এর সমান্তরাল। ∴MN∥ST∥QR\therefore \quad \mathrm{MN}\|\mathrm{ST}\| \mathrm{QR} এবং MN=12(QR−ST)\mathrm{MN}=\frac{1}{2}(\mathrm{QR}-\mathrm{ST}). (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে ΔABC\Delta\mathrm{ABC} এর AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC} ও AC\mathrm{AC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R\mathrm{R}, P\mathrm{P} ও Q\mathrm{Q} এবং BCQR\mathrm{BCQR} একটি ট্রাপিজিয়াম।

Barisal · 2026

ক
দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।
খ
প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।
গ
RB\mathrm{RB} ও QC\mathrm{QC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S\mathrm{S} ও T\mathrm{T} হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, ST→=32RQ→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক
ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
গ
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = 12\frac{1}{2} BC.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, [গণিত] .অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?[গণিত] -এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, [গণিত] কে [গণিত] ও [গণিত] -এর মাধ্যমে প্রকাশ [গণিত] এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একটি স্কেলার।মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে [গ[গণিত] ও [গণিত] বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে, ভেক্টরের সাহায্যেপ্রমাণ করো যে, [গণিত] ।দেখাও যে, [গণিত] একটি একক ভেক্টর যার দিক [গণিত] মুখী।PQRS একটি সামান্তরিক হলে [গণিত] ভেক্টরকে [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমেAB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST ||

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন