Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

চিত্র হতে ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ করো যে, [গণিত] এবং [গণিত] .

উত্তর: [চিত্র] মনে করি, [গণিত] চতুর্ভুজের [গণিত] ও [গণিত] সমান্তরাল বাহু [গণিত] এবং [গণিত] ও [গণিত] কর্ণের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] । প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] এবং [গণিত] মনে করি, কোনো নির্দিষ্ট মূলবিন্দুর সাপেক্ষে B, C, E এবং D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] . তাহলে, [গণিত] এবং [গণিত] এখন, M বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর [গণিত] N বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর [গণিত] সুতরাং, [গণিত] কিন্তু [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] এখন, [গণিত] ও [গণিত] পরস্পর সমান্তরাল। সুতরাং [গণিত] ভেক্টর ও [গণিত] ও [গণিত] এর সমান্তরাল । সুতরাং [গণিত] ও [গণিত] এর সমান্তরাল । অর্থাৎ [গণিত] এবং [গণিত] . (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল

চিত্র হতে ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ করো যে, এবং .

উদ্দীপক

question image ABC ত্রিভুজে D, E ও H হলো যথাক্রমে AB, AC ও BC বাহুর মধ্যবিন্দু। BDEC একটি ট্রাপিজিয়াম।

উত্তর

question image △ ABC এর AB, BC ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, H ও E. D, E; B, E ও C, D যোগ করি। এখন, △ ABE-এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, AB→+BE→=AE→=12AC→\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AC}} বা, AB→=12(12AB→−CD→)−BE→.[∵AC→+CD→=12AB→]\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{CD}}\right)-\overrightarrow{\mathrm{BE}}.\left[\because \overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}\right] বা, AB→=14AB→−12CD→−BE→\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{CD}}-\overrightarrow{\mathrm{BE}} বা, AB→−14AB→=−12CD→−BE→\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{CD}}-\overrightarrow{\mathrm{BE}} বা, 34AB→=−12CD→−BE→\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{CD}}-\overrightarrow{\mathrm{BE}} বা, AB→=−23CD→−43BE→\overrightarrow{\mathrm{AB}}=-\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{CD}}-\frac{4}{3} \overrightarrow{\mathrm{BE}} [উভয়পক্ষকে 34\frac{3}{4} দ্বারা ভাগ করে] ∴AB→=−23CD→−43BE→\therefore \overrightarrow{\mathrm{AB}}=-\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{CD}}-\frac{4}{3} \overrightarrow{\mathrm{BE}}

উত্তর

question image =এখানে, ABC ত্রিভুজের AB, AC ও BC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও H. A, R; B, E; C, D যোগ করি। ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করতে হবে, AH→+BE→+CD→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AH}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\underline{0} △ABE\triangle \mathrm{ABE} এ ভেক্টর যোগে ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই, AB→+BE→=AE→\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}} AB→+BE→=12AC→[∵AE→=12AC→]\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AC}}\left[\because \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AC}}\right] বা, AC→=2(AB→+BE→)\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}) আবার, AB→+BC→=AC→\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}} ∴BC→=AC→−AB→=2(AB→+BE→)−AB→=AB→+2BE→\therefore \quad \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}=2(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}})-\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+2 \overrightarrow{\mathrm{BE}} আবার, △ABH\triangle \mathrm{ABH} এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, AB→+BH→=AH→\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BH}}=\overrightarrow{\mathrm{AH}} বা, AB→+12BC→=AH→[∵BH→=12BC→]\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AH}}\left[\because \overrightarrow{\mathrm{BH}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{BC}}\right] বা, AH→=AB→+12(AB→+2BE→)=AB→+12AB→+BE→=32AB→+BE→\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+2 \overrightarrow{\mathrm{BE}})=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}} ΔACD\Delta \mathrm{ACD}-এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, AC→+CD→=AD→\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}} AC→+CD→=12AB→[∵AD→=12AB→]∴CD→=12AB→−AC→=12AB→−2(AB→+BE→)=12AB→−2AB→−2BE→=−32AB→−2BE→\begin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{AC}} & +\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}\left[\because \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}\right] \\ \therefore \quad \overrightarrow{\mathrm{CD}} & =\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-2(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}) \\ & =\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-2 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-2 \overrightarrow{\mathrm{BE}} \\ & =-\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-2 \overrightarrow{\mathrm{BE}} \end{aligned} বামপক্ষ =AH→+BE→+CD→=\overrightarrow{\mathrm{AH}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}} =(32AB→+BE→)+BE→+(−32AB→−2BE→)= \left(\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}\right)+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\left(-\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-2 \overrightarrow{\mathrm{BE}}\right) =32AB→+BE→+BE→−32AB→−2BE→=\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}-\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-2 \overrightarrow{\mathrm{BE}} =32AB→−32AB→+2BE→−2BE→=\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+2 \overrightarrow{\mathrm{BE}}-2 \overrightarrow{\mathrm{BE}} =0‾==\underline{0}= ডানপক্ষ সুতরাং AH→+BE→+CD→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AH}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\underline{0}

উত্তর

question image মনে করি, BCEDBCED চতুর্ভুজের BCBC ও DEDE সমান্তরাল বাহু (BC>DE)(BC > DE) এবং BEBE ও CDCD কর্ণের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে MM ও NN। প্রমাণ করতে হবে যে, MN∣∣DE∣∣BCMN || DE || BC এবং MN=12(BC−DE)\mathrm{MN}=\frac{1}{2}(\mathrm{BC}-\mathrm{DE}) মনে করি, কোনো নির্দিষ্ট মূলবিন্দুর সাপেক্ষে B, C, E এবং D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে b‾,c‾,e‾\underline{\mathrm{b}}, \underline{\mathrm{c}}, \underline{\mathrm{e}} ও d‾\underline{\mathrm{d}}. তাহলে, BC→=c‾−b‾\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\underline{\mathrm{c}}-\underline{\mathrm{b}} এবং DE→=e‾−d‾\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\underline{\mathrm{e}}-\underline{\mathrm{d}} এখন, M বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর =12(b‾+e‾)=\frac{1}{2}(\underline{\mathrm{b}}+\underline{\mathrm{e}}) N বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর =12(c‾+d‾)=\frac{1}{2}(\underline{\mathrm{c}}+\underline{\mathrm{d}}) সুতরাং, MN→=12(c‾+d‾)−12(b‾+e‾)\overrightarrow{M N}=\frac{1}{2}(\underline{c}+\underline{d})-\frac{1}{2}(\underline{b}+\underline{e}) =12(c‾+d‾−b‾−e‾)=12(c‾−b‾+d‾−e‾)=\frac{1}{2}(\underline{c}+\underline{d}-\underline{b}-\underline{e})=\frac{1}{2}(\underline{c}-\underline{b}+\underline{d}-\underline{e}) কিন্তু BC→=c‾−b‾\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\underline{\mathrm{c}}-\underline{\mathrm{b}} এবং ED→=d‾−e‾\overrightarrow{E D}=\underline{d}-\underline{e} ∴MN→=12(BC→+ED→)=12(BC→−DE→)∣MN→∣=12∣BC→−DE→∣\begin{aligned} \therefore & \overrightarrow{\mathrm{MN}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{ED}})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{BC}}-\overrightarrow{\mathrm{DE}}) \\ & |\overrightarrow{\mathrm{MN}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{BC}}-\overrightarrow{\mathrm{DE}}| \end{aligned} বা, MN=12(∣BC→∣−∣DE→∣)=12(BC−DE)\mathrm{MN}=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|-|\overrightarrow{\mathrm{DE}}|)=\frac{1}{2}(\mathrm{BC}-\mathrm{DE}) এখন, BC→\overrightarrow{\mathrm{BC}} ও DE→\overrightarrow{\mathrm{DE}} পরস্পর সমান্তরাল। সুতরাং BC→−DE→\overrightarrow{\mathrm{BC}}-\overrightarrow{\mathrm{DE}} ভেক্টর ও BC→\overrightarrow{\mathrm{BC}} ও DE→\overrightarrow{\mathrm{DE}} এর সমান্তরাল । সুতরাং MN,DEMN, DE ও BCBC এর সমান্তরাল । অর্থাৎ MN∣∣DE∣∣BCMN || DE|| BC এবং MN=12(BC−DE)MN =\frac{1}{2}(BC - DE). (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে ΔABC\Delta\mathrm{ABC} এর AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC} ও AC\mathrm{AC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R\mathrm{R}, P\mathrm{P} ও Q\mathrm{Q} এবং BCQR\mathrm{BCQR} একটি ট্রাপিজিয়াম।

Barisal · 2026

ক
দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।
খ
প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।
গ
RB\mathrm{RB} ও QC\mathrm{QC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S\mathrm{S} ও T\mathrm{T} হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, ST→=32RQ→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক
ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
গ
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = 12\frac{1}{2} BC.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, [গণিত] .অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?[গণিত] -এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, [গণিত] কে [গণিত] ও [গণিত] -এর মাধ্যমে প্রকাশ [গণিত] এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একটি স্কেলার।মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে [গ[গণিত] ও [গণিত] বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে, ভেক্টরের সাহায্যেপ্রমাণ করো যে, [গণিত] ।দেখাও যে, [গণিত] একটি একক ভেক্টর যার দিক [গণিত] মুখী।PQRS একটি সামান্তরিক হলে [গণিত] ভেক্টরকে [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমেAB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST ||

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন