Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] ও [গণিত] এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে A ও B হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, [গণিত] (NO - XY) এবং [গণিত]

উত্তর: [চিত্র] দেওয়া আছে, [গণিত] ট্রাপিজিয়ামের কর্ণ [গণিত] ও কর্ণ [গণিত] এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে A ও B । A, B যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] এবং [গণিত] . প্রমাণ : মনে করি, কোনো মূলবিন্দুর প্রেক্ষিতে [গণিত] ও [গণিত] বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] । তাহলে, [গণিত] এখন, A বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর [গণিত] এবং B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর [গণিত] সুতরাং, [গণিত] এখন, [গণিত] ও [গণিত] সমান্তরাল কিন্তু বিপরীতমুখী। সুতরাং ( [গণিত] ) ভেক্টরও [গণিত] ও [গণিত] এর সমান্তরাল। আবার, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল

ও এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে A ও B হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে…

উদ্দীপক

question image △MNO\triangle \mathrm{MNO} এর MN ও MO বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X\mathrm{X} ও Y\mathrm{Y} .

উত্তর

question image মূলবিন্দু O এর সাপেক্ষে P ও Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে p ও q. মনে করি, OP→=p‾\overrightarrow{O P}=\underline{p} এবং OQ→=q‾\overrightarrow{O Q}=\underline{q} তাহলে, OP→+PO→=OQ→\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{PO}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}} বা, p‾+\underline{p}+PQ→\overrightarrow{P Q}=q‾∴=\underline{q} \thereforePQ→\overrightarrow{P Q}=q‾−p‾=\underline{q}-\underline{p} অর্থাৎ, PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} কে p ও q এর মাধ্যমে প্রকাশ করা হলো।

উত্তর

question image দেওয়া আছে, △MNO\triangle \mathrm{MNO} এর MN ও MO বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y. প্রমাণ করতে হবে যে, XY=12NO\mathrm{XY}=\frac{1}{2} \mathrm{NO} এবং XY∥NO\mathrm{XY} \| \mathrm{NO}. প্রমাণ : X ও Y যথাক্রমে MN ও MO এর মধ্যবিন্দু । ∴MX→=12MN→\therefore \quad \overrightarrow{\mathrm{MX}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{MN}} এবং MY→=12MO→\overrightarrow{\mathrm{MY}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{MO}} △MXY\triangle \mathrm{MXY} হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই, MX→+XY→=MY→\overrightarrow{\mathrm{MX}}+\overrightarrow{\mathrm{XY}}=\overrightarrow{\mathrm{MY}} বা, XY→=MY→−MX→\overrightarrow{\mathrm{XY}}=\overrightarrow{\mathrm{MY}}-\overrightarrow{\mathrm{MX}} বা, XY→=12MO→−12MN→\overrightarrow{\mathrm{XY}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{MO}}-\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{MN}} বা, XY→=12(MO→−MN→)\overrightarrow{\mathrm{XY}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{MO}}-\overrightarrow{\mathrm{MN}}) ….(1)\ldots. (1) আবার, △MNO\triangle \mathrm{MNO} হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই, MN→+NO→=MO→\overrightarrow{\mathrm{MN}}+\overrightarrow{\mathrm{NO}}=\overrightarrow{\mathrm{MO}} বা, NO→=MO→−MN→\overrightarrow{\mathrm{NO}}=\overrightarrow{\mathrm{MO}}-\overrightarrow{\mathrm{MN}}
…..(2)(1)\ldots.. (2) (1)
ও (2) হতে পাই, XY→=12NO→\overrightarrow{\mathrm{XY}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{NO}} বা, ∣XY→∣=12∣NO→∣|\overrightarrow{\mathrm{XY}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{NO}}| ∴XY=12NO\therefore \quad \mathrm{XY}=\frac{1}{2} \mathrm{NO} আবার, XY\mathrm{XY} ও NO ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। সুতরাং XY→\overrightarrow{\mathrm{XY}} ও NO→\overrightarrow{\mathrm{NO}} ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখাদ্বয় XY\mathrm{XY} ও NO সমান্তরাল। ∴XY=12NO\therefore \mathrm{XY}=\frac{1}{2} \mathrm{NO} এবং XY∣∣\mathrm{XY} || NO. (প্রমাণিত)

উত্তর

question image দেওয়া আছে, XNOY\mathrm{XNOY} ট্রাপিজিয়ামের কর্ণ NY\mathrm{NY} ও কর্ণ OX\mathrm{OX} এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে A ও B । A, B যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, AB=12(NO−XY)A B=\frac{1}{2}(N O-X Y) এবং AB∥XY∥NO\mathrm{AB}\|\mathrm{XY}\| \mathrm{NO}. প্রমাণ : মনে করি, কোনো মূলবিন্দুর প্রেক্ষিতে X,N,O\mathrm{X,N, O} ও Y\mathrm{Y} বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে x‾,n‾,0‾\underline{x}, \underline{n}, \underline{0} ও y‾\underline{y}। তাহলে, NO→=0‾−n‾,\overrightarrow{N O}=\underline{0}-\underline{n},XY→\overrightarrow{X Y}=y‾−x‾=\underline{y}-\underline{x} এখন, A বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর =12(n‾+y)=\frac{1}{2}(\underline{\mathrm{n}}+\mathrm{y}) এবং B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর =12(o‾+x‾)=\frac{1}{2}(\underline{o}+\underline{x}) সুতরাং, AB→=12(o‾+x‾)−12(n‾+y‾)=12(o‾+x‾−n−y)\overrightarrow{A B} =\frac{1}{2}(\underline{o}+\underline{x})-\frac{1}{2}(\underline{n}+\underline{y})=\frac{1}{2}(\underline{o}+\underline{x}-n-y) =12(o‾−n+x‾−y)=12(=\frac{1}{2}(\underline{o}-n+\underline{x}-y)=\frac{1}{2}(NO→\overrightarrow{N O}++YX→\overrightarrow{Y X})=12()=\frac{1}{2}(NO→\overrightarrow{N O}−-XY→\overrightarrow{X Y})) এখন, XY→\overrightarrow{\mathrm{XY}} ও NO→\overrightarrow{\mathrm{NO}} সমান্তরাল কিন্তু বিপরীতমুখী। সুতরাং ( NO→−XY→\overrightarrow{\mathrm{NO}}-\overrightarrow{\mathrm{XY}} ) ভেক্টরও XY→\overrightarrow{\mathrm{XY}} ও NO→\overrightarrow{\mathrm{NO}} এর সমান্তরাল। আবার, ∣AB→∣=12∣NO→−XY→∣|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{NO}}-\overrightarrow{\mathrm{XY}}| বা, AB=12(∣A B=\frac{1}{2}(|NO→\overrightarrow{N O}∣−∣|-|XY→\overrightarrow{X Y}∣)|) ∴AB=12(NO−XY)\therefore A B=\frac{1}{2}(N O-X Y) ∴AB=12(NO−XY)\therefore A B=\frac{1}{2}(N O-X Y) এবং AB∥XY∥NO.A B\|X Y\| N O . (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে ΔABC\Delta\mathrm{ABC} এর AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC} ও AC\mathrm{AC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R\mathrm{R}, P\mathrm{P} ও Q\mathrm{Q} এবং BCQR\mathrm{BCQR} একটি ট্রাপিজিয়াম।

Barisal · 2026

ক
দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।
খ
প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।
গ
RB\mathrm{RB} ও QC\mathrm{QC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S\mathrm{S} ও T\mathrm{T} হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, ST→=32RQ→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক
ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
গ
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = 12\frac{1}{2} BC.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, [গণিত] .অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?[গণিত] -এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, [গণিত] কে [গণিত] ও [গণিত] -এর মাধ্যমে প্রকাশ [গণিত] এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একটি স্কেলার।মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে [গ[গণিত] ও [গণিত] বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে, ভেক্টরের সাহায্যেপ্রমাণ করো যে, [গণিত] ।দেখাও যে, [গণিত] একটি একক ভেক্টর যার দিক [গণিত] মুখী।PQRS একটি সামান্তরিক হলে [গণিত] ভেক্টরকে [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমেAB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST ||

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন