Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

যদি MQ ও NR এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S ও T হয়, তবে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, [গণিত] এবং [গণিত]

উত্তর: [চিত্র] এখানে QRNM ট্রাপিজিয়ামের অসমান্তরাল বাহুদ্ধয় QM ও RN এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S ও T । S, T যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, ST || MN || QR এবং [গণিত] . প্রমাণ : মনে করি, কোনো নির্দিষ্ট মূলবিন্দুর সাপেক্ষে Q, R, N ও M বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে b, c, e ও d। তাহলে, [গণিত] বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর [গণিত] T বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর [গণিত] বা, [গণিত] আবার, [গণিত] এবং [গণিত] সমান্তরাল বলে [গণিত] ভেক্টরটিও [গণিত] ও [গণিত] এর সমান্তরাল। অর্থাৎ ST [গণিত] এবং [গণিত] . (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল

যদি MQ ও NR এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S ও T হয়, তবে ভেক্টরের সাহায্যে…

উদ্দীপক

△PQR\triangle P Q R এর PQP Q ও PRP R এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে MM ও NN.

উত্তর

question image এখানে, △PQR\triangle \mathrm{PQR} এর PQ ও PR বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S ও T. এখন, △\triangle PST হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্রানুসারে পাই, PS→+ST→=PT→\overrightarrow{\mathrm{PS}}+\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\overrightarrow{\mathrm{PT}} ∴PS→+ST→=12PR→[∵PR\therefore \quad \overrightarrow{\mathrm{PS}}+\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PR}}[\because \mathrm{PR} এর মধ্যবিন্দু T]] [বি.দ্র.: S ও T এর পরিবর্তে যথাক্রমে M ও N হবে]

উত্তর

question image এখানে, △PQR\triangle \mathrm{PQR} এর PQ ও PR বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S ও T। প্রমাণ করতে হবে যে, QR∥ST\mathrm{QR} \| \mathrm{ST} এবং ST=12QR\mathrm{ST}=\frac{1}{2} \mathrm{QR}. প্রমাণ : যেহেতু PQ ও PR এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T. ∴PS→=12PQ→\therefore \quad \overrightarrow{\mathrm{PS}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PQ}} এরং PT→=12PR→\overrightarrow{\mathrm{PT}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PR}} এখন, ΔPST\Delta \mathrm{PST} হতে ভেক্টর বিয়োগবিধি অনুসারে পাই, ST→=PT→−PS→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\overrightarrow{\mathrm{PT}}-\overrightarrow{\mathrm{PS}} বা, ST→=12PR→−12PQ→=12(PR→−PQ→)\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PR}}-\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{PR}}-\overrightarrow{\mathrm{PQ}}) . . . . . . . .(1) আবার, △PQR\triangle \mathrm{PQR}-হতে ভেক্টরের ত্রিভুজের বিয়োগবিধি অনুসারে পাই, QR→=PR→PQ→\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\overrightarrow{\mathrm{PR}}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}. . . . . . . .(2) (1) ও (2) নং হতে পাই, ST→=12QR→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{QR}} বা, ∣ST→∣=12∣QR→∣|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{QR}}| ∴ST=12QR\therefore \quad \mathrm{ST}=\frac{1}{2} \mathrm{QR}. যেহেতু ST, QR এর অর্ধেক। অতএব ST এবং QR এর ধারক রেখা একই অথবা সমান্তরাল হবে। চিত্রে, যেহেতু ST ও QR এর ধারক রেখা এক নয়। তাই ST ও QR পরস্পর সমান্তরাল। অর্থাৎ QR ∥ST\| \mathrm{ST} সুতরাং QR∥ST\mathrm{QR} \| \mathrm{ST} এবং ST=12QR\mathrm{ST}=\frac{1}{2} \mathrm{QR}. (প্রমাণিত) [বি.দ্র.: S ও T এর পরিবর্তে যথাক্রমে M ও N হবে]

উত্তর

question image এখানে QRNM ট্রাপিজিয়ামের অসমান্তরাল বাহুদ্ধয় QM ও RN এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S ও T । S, T যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, ST || MN || QR এবং ST=12(QR+MN)\mathrm{ST}=\frac{1}{2}(\mathrm{QR}+\mathrm{MN}). প্রমাণ : মনে করি, কোনো নির্দিষ্ট মূলবিন্দুর সাপেক্ষে Q, R, N ও M বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে b, c, e ও d। তাহলে, SS বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর =12(b‾+d‾)=\frac{1}{2}(\underline{b}+\underline{d}) T বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর =12(c‾+e‾)=\frac{1}{2}(\underline{c}+\underline{e}) ∴ST→=12(c‾+e‾)−12(b‾+d‾)=12(c‾+e‾−b‾−d‾)=12{(c‾−b‾)+(e‾−d‾)}=12(QR→+MN→)[∵QR→=c‾−b‾ এবং MN→=e‾−d‾]\begin{aligned} \therefore \quad \overrightarrow{\mathrm{ST}} & =\frac{1}{2}(\underline{c}+\underline{e})-\frac{1}{2}(\underline{b}+\underline{d}) \\ & =\frac{1}{2}(\underline{c}+\underline{e}-\underline{b}-\underline{d})=\frac{1}{2}\{(\underline{c}-\underline{b})+(\underline{e}-\underline{d})\} \\ & =\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{QR}}+\overrightarrow{\mathrm{MN}})[\because \overrightarrow{\mathrm{QR}}=\underline{c}-\underline{b} \text{ এবং } \overrightarrow{\mathrm{MN}}=\underline{e}-\underline{d}]\end{aligned} বা, ∣ST→∣=12(∣QR→+MN→∣)=12(∣QR→∣+∣MN→∣)|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{\mathrm{QR}}+\overrightarrow{\mathrm{MN}}|)=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{\mathrm{QR}}|+|\overrightarrow{\mathrm{MN}}|) ∴ST=12(QR+MN)\therefore \quad \mathrm{ST}=\frac{1}{2}(\mathrm{QR}+\mathrm{MN}) আবার, QR→\overrightarrow{\mathrm{QR}} এবং MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} সমান্তরাল বলে (QR→+MN→)(\overrightarrow{\mathrm{QR}}+\overrightarrow{\mathrm{MN}}) ভেক্টরটিও QR→\overrightarrow{\mathrm{QR}} ও MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} এর সমান্তরাল। অর্থাৎ ST ∥MN∥QR\|\mathrm{MN}\| \mathrm{QR} ∴ST∥MN∥QR\therefore \quad \mathrm{ST}\|\mathrm{MN}\| \mathrm{QR} এবং ST=12(QR+MN)\mathrm{ST}=\frac{1}{2}(\mathrm{QR}+\mathrm{MN}). (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে ΔABC\Delta\mathrm{ABC} এর AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC} ও AC\mathrm{AC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R\mathrm{R}, P\mathrm{P} ও Q\mathrm{Q} এবং BCQR\mathrm{BCQR} একটি ট্রাপিজিয়াম।

Barisal · 2026

ক
দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।
খ
প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।
গ
RB\mathrm{RB} ও QC\mathrm{QC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S\mathrm{S} ও T\mathrm{T} হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, ST→=32RQ→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক
ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
গ
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = 12\frac{1}{2} BC.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, [গণিত] .অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?[গণিত] -এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, [গণিত] কে [গণিত] ও [গণিত] -এর মাধ্যমে প্রকাশ [গণিত] এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একটি স্কেলার।মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে [গ[গণিত] ও [গণিত] বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে, ভেক্টরের সাহায্যেপ্রমাণ করো যে, [গণিত] ।দেখাও যে, [গণিত] একটি একক ভেক্টর যার দিক [গণিত] মুখী।PQRS একটি সামান্তরিক হলে [গণিত] ভেক্টরকে [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমেAB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST ||

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন