Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ করো যে, [গণিত] .

উত্তর: [চিত্র] এখানে, [গণিত] এ XY, ZX এবং YZ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M, N এবং L. X, L; Y, N এবং Z, M যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] প্রমাণ : [গণিত] এ ভেষ্টর যোগে ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, [গণিত] এ ভেষ্টর যোগে ত্রিভুজ বিধি অনুসারে] [গণিত] আবার, [গণিত] এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] -এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ সুতরাং [গণিত] . (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল

প্রমাণ করো যে, .

উদ্দীপক

△XYZ\triangle \mathrm{XYZ}-এ XY, ZX এবং YZ বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M, N ও L.

Chittagong · 2026

উত্তর

question image এখানে, △XYZ\triangle \mathrm{XYZ}-এ XY, ZX এবং YZ বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M, N এবং L. Z, M যোগ করি । △XMZ\triangle \mathrm{XMZ} হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে পাই, XM⃗+MZ⃗=XZ⃗\vec{\mathrm{XM}} + \vec{\mathrm{MZ}} = \vec{\mathrm{XZ}} বা, 12XY⃗+MZ⃗=XZ⃗\frac{1}{2}\vec{\mathrm{XY}} + \vec{\mathrm{MZ}} = \vec{\mathrm{XZ}} [∵ M, XY এর মধ্যবিন্দু] ∴MZ⃗=−12XY⃗+XZ⃗\therefore \vec{\mathrm{MZ}} = -\frac{1}{2}\vec{\mathrm{XY}} + \vec{\mathrm{XZ}} MZ→\overrightarrow{\mathrm{MZ}} ভেক্টরকে XY→\overrightarrow{\mathrm{XY}} ও XZ→\overrightarrow{\mathrm{XZ}} এর মাধ্যমে প্রকাশিত আকার : MZ→=−12XY→+XZ→.\overrightarrow{\mathrm{MZ}}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{XY}}+\overrightarrow{\mathrm{XZ}} .

উত্তর

question image এখানে, △XYZ\triangle \mathrm{XYZ}-এর XY ও ZX বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M ও N। M, N যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, MN=12YZ\mathrm{MN}=\frac{1}{2}\mathrm{YZ} এবং MN∣∣YZ\mathrm{MN} || \mathrm{YZ}. প্রমাণ : M ও N যথাক্রমে XY ও XZ এর মধ্যবিন্দু। ∴XM⃗=12XY⃗\therefore \vec{\mathrm{XM}} = \frac{1}{2}\vec{\mathrm{XY}} এবং XN⃗=12XZ⃗\vec{\mathrm{XN}} = \frac{1}{2}\vec{\mathrm{XZ}} △XMN\triangle \mathrm{XMN} হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই, XM⃗+MN⃗=XN⃗\vec{\mathrm{XM}}+\vec{\mathrm{MN}}=\vec{\mathrm{XN}} বা, MN→=XN→−XM→\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{XN}}-\overrightarrow{\mathrm{XM}} বা, MN→=12XZ→−12XY→\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{XZ}}-\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{XY}} বা, MN⃗=12(XZ⃗−XY⃗)\vec{\mathrm{MN}} = \frac{1}{2}(\vec{\mathrm{XZ}} - \vec{\mathrm{XY}}) ……..(1)\ldots\ldots..(1) আবার, △XYZ\triangle \mathrm{XYZ} হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে, XY⃗+YZ⃗=XZ⃗\vec{\mathrm{XY}}+\vec{\mathrm{YZ}}=\vec{\mathrm{XZ}} ∴YZ⃗=XZ⃗−XY⃗\therefore \vec{\mathrm{YZ}} = \vec{\mathrm{XZ}} - \vec{\mathrm{XY}}
……..(2)(1)\ldots\ldots..(2) (1)
ও (2) হতে পাই, MN⃗=12YZ⃗\vec{\mathrm{MN}} = \frac{1}{2}\vec{\mathrm{YZ}} বা, ∣MN⃗∣=∣12YZ⃗∣|\vec{\mathrm{MN}}| = |\frac{1}{2}\vec{\mathrm{YZ}}| ∴MN=12YZ\therefore \mathrm{MN} = \frac{1}{2}\mathrm{YZ} আবার, MN⃗\vec{\mathrm{MN}} ও YZ⃗\vec{\mathrm{YZ}} ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। সুতরাং MN⃗\vec{\mathrm{MN}} ও YZ⃗\vec{\mathrm{YZ}} ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখাদ্বয় MN এবং YZ সমান্তরাল। ∴MN=12YZ\therefore \mathrm{MN} = \frac{1}{2}\mathrm{YZ} এবং MN∣∣YZ\mathrm{MN} || \mathrm{YZ}. (প্রমাণিত)

উত্তর

question image এখানে, △XYZ\triangle \mathrm{XYZ} এ XY, ZX এবং YZ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M, N এবং L. X, L; Y, N এবং Z, M যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, XL→+\overrightarrow{X L}+YN→\overrightarrow{Y N}++ZM→\overrightarrow{Z M}=0.=0 . প্রমাণ : △XYN\triangle \mathrm{XYN} এ ভেষ্টর যোগে ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই, XY→+\overrightarrow{X Y}+YN→\overrightarrow{Y N}=XN→=\overrightarrow{X N} বা, XY→+YN→=12XZ→[∵XN→=12XZ→]\overrightarrow{\mathrm{XY}}+\overrightarrow{\mathrm{YN}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{XZ}}\left[\because \overrightarrow{\mathrm{XN}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{XZ}}\right] বা, XZ→=2(XY→+YN→)\overrightarrow{\mathrm{XZ}}=2(\overrightarrow{\mathrm{XY}}+\overrightarrow{\mathrm{YN}}) আবার, XY→+YZ→=XZ→[Δxyz\overrightarrow{\mathrm{XY}}+\overrightarrow{\mathrm{YZ}}=\overrightarrow{\mathrm{XZ}}[\Delta \mathrm{xyz} এ ভেষ্টর যোগে ত্রিভুজ বিধি অনুসারে] ∴YZ→=XZ→−XY→=2(XY→+YN→)−XY→=XY→+2YN→\therefore \overrightarrow{\mathrm{YZ}}=\overrightarrow{\mathrm{XZ}}-\overrightarrow{\mathrm{XY}}=2(\overrightarrow{\mathrm{XY}}+\overrightarrow{\mathrm{YN}})-\overrightarrow{\mathrm{XY}}=\overrightarrow{\mathrm{XY}}+2 \overrightarrow{\mathrm{YN}} আবার, △XYL\triangle \mathrm{XYL} এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, XY→+YL→=XL→\overrightarrow{\mathrm{XY}}+\overrightarrow{\mathrm{YL}}=\overrightarrow{\mathrm{XL}} বা, XY→+12YZ→=XL→[∵YL→=12YZ→]\overrightarrow{\mathrm{XY}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{YZ}}=\overrightarrow{\mathrm{XL}}\left[\because \overrightarrow{\mathrm{YL}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{YZ}}\right] বা, XL→=XY→+12(XY→+2YN→)=XY→+12XY→+YN→=32XY→+YN→\overrightarrow{\mathrm{XL}}=\overrightarrow{\mathrm{XY}}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{XY}}+2 \overrightarrow{\mathrm{YN}})=\overrightarrow{\mathrm{XY}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{XY}}+\overrightarrow{\mathrm{YN}}=\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{XY}}+\overrightarrow{\mathrm{YN}} △XZM\triangle \mathrm{XZM}-এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, XZ→+ZM→=XM→\overrightarrow{\mathrm{XZ}}+\overrightarrow{\mathrm{ZM}}=\overrightarrow{\mathrm{XM}} XZ→+ZM→=12XY→[∵XM→=12XY→]\overrightarrow{\mathrm{XZ}} +\overrightarrow{\mathrm{ZM}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{XY}}\left[\because \overrightarrow{\mathrm{XM}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{XY}}\right] ∴ZM→=12XY→−XZ→=12XY→−2(XY→+YN→)\therefore \quad \overrightarrow{\mathrm{ZM}} =\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{XY}}-\overrightarrow{\mathrm{XZ}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{XY}}-2(\overrightarrow{\mathrm{XY}}+\overrightarrow{\mathrm{YN}}) =12XY→−2XY→−2YN→=−32XY→−2YN→=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{XY}}-2 \overrightarrow{\mathrm{XY}}-2 \overrightarrow{\mathrm{YN}}=-\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{XY}}-2 \overrightarrow{\mathrm{YN}} বামপক্ষ =XL→+YN→+ZM→=\overrightarrow{\mathrm{XL}}+\overrightarrow{\mathrm{YN}}+\overrightarrow{\mathrm{ZM}} =(32XY→+YN→)+YN→+(−32XY→−2YN→)=\left(\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{XY}}+\overrightarrow{\mathrm{YN}}\right)+\overrightarrow{\mathrm{YN}}+\left(-\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{XY}}-2 \overrightarrow{\mathrm{YN}}\right) =32XY→+YN→+YN→−32XY→−2YN→=\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{XY}}+\overrightarrow{\mathrm{YN}}+\overrightarrow{\mathrm{YN}}-\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{XY}}-2 \overrightarrow{\mathrm{YN}} =32XY→−32XY→+2YN→−2YN→=0‾=5=\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{XY}}-\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{XY}}+2 \overrightarrow{\mathrm{YN}}-2 \overrightarrow{\mathrm{YN}}=\underline{0}=5 ডানপক্ষ সুতরাং XL→+YN→+ZM→=0‾\overrightarrow{\mathrm{XL}}+\overrightarrow{\mathrm{YN}}+\overrightarrow{\mathrm{ZM}}=\underline{0}. (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে ΔABC\Delta\mathrm{ABC} এর AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC} ও AC\mathrm{AC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R\mathrm{R}, P\mathrm{P} ও Q\mathrm{Q} এবং BCQR\mathrm{BCQR} একটি ট্রাপিজিয়াম।

Barisal · 2026

ক
দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।
খ
প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।
গ
RB\mathrm{RB} ও QC\mathrm{QC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S\mathrm{S} ও T\mathrm{T} হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, ST→=32RQ→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক
ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
গ
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = 12\frac{1}{2} BC.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, [গণিত] .অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?[গণিত] -এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, [গণিত] কে [গণিত] ও [গণিত] -এর মাধ্যমে প্রকাশ [গণিত] এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একটি স্কেলার।মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে [গ[গণিত] ও [গণিত] বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে, ভেক্টরের সাহায্যেপ্রমাণ করো যে, [গণিত] ।দেখাও যে, [গণিত] একটি একক ভেক্টর যার দিক [গণিত] মুখী।PQRS একটি সামান্তরিক হলে [গণিত] ভেক্টরকে [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমেAB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST ||

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন