Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপকের তথ্য অনুসারে NRYX ট্রাপিজিয়ামের কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে A ও B হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, NRYX ট্রাপিজিয়ামের কর্ণ NY ও কর্ণ RX এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে A ও B। A, B যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] . [চিত্র] প্রমাণ : মনে করি, কোনো মূলবিন্দুর প্রেক্ষিতে N, R, Y এবং X বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে [গণিত] , [গণিত] , [গণিত] এবং [গণিত] । তাহলে, [গণিত] , [গণিত] এখন, A বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর [গণিত] এবং B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর [গণিত] সুতরাং, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] . (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল

উদ্দীপকের তথ্য অনুসারে NRYX ট্রাপিজিয়ামের কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু য…

উদ্দীপক

question image X ও Y যথাক্রমে MN ও MR এর মধ্যবিন্দু।

Rajshahi · 2026

উত্তর

question image এখানে, △MNR\triangle\mathrm{MNR} এর MN ও MR বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y. △MXY\triangle\mathrm{MXY} হতে ভেক্টরযোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে পাই, MX→+XY→=MY→\overrightarrow{\mathrm{MX}} + \overrightarrow{\mathrm{XY}} = \overrightarrow{\mathrm{MY}} বা, MX→+XY→=12MR→\overrightarrow{\mathrm{MX}} + \overrightarrow{\mathrm{XY}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{MR}} [∵[\because MR এর মধ্যবিন্দু Y]] ∴\therefore (MX→+XY→)\left(\overrightarrow{\mathrm{MX}} + \overrightarrow{\mathrm{XY}}\right) কে MR→\overrightarrow{\mathrm{MR}} ভেক্টরের মাধ্যমে প্রকাশিত আকার : MX→+XY→=12MR→\overrightarrow{\mathrm{MX}} + \overrightarrow{\mathrm{XY}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{MR}}.

উত্তর

question image দেওয়া আছে, △MNR\triangle\mathrm{MNR} এর MN ও MR বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y. প্রমাণ করতে হবে যে, XY=12NR\mathrm{XY} = \dfrac{1}{2}\mathrm{NR} প্রমাণ : X ও Y যথাক্রমে MN ও MR এর মধ্যবিন্দু। ∴\therefore MX→=12MN→\overrightarrow{\mathrm{MX}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{MN}} এবং MY→=12MR→\overrightarrow{\mathrm{MY}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{MR}} △MXY\triangle\mathrm{MXY} হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই, MX→+XY→=MY→\overrightarrow{\mathrm{MX}} + \overrightarrow{\mathrm{XY}} = \overrightarrow{\mathrm{MY}} বা, XY→=MY→−MX→\overrightarrow{\mathrm{XY}} = \overrightarrow{\mathrm{MY}} - \overrightarrow{\mathrm{MX}} বা, XY→=12MR→−12MN→\overrightarrow{\mathrm{XY}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{MR}} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{MN}} বা, XY→=12(MR→−MN→)\overrightarrow{\mathrm{XY}} = \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{\mathrm{MR}} - \overrightarrow{\mathrm{MN}}\right) …….(1)\ldots\ldots.(1) আবার, △MNR\triangle\mathrm{MNR} হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই, MN→+NR→=MR→\overrightarrow{\mathrm{MN}} + \overrightarrow{\mathrm{NR}} = \overrightarrow{\mathrm{MR}} বা, NR→=MR→−MN→\overrightarrow{\mathrm{NR}} = \overrightarrow{\mathrm{MR}} - \overrightarrow{\mathrm{MN}}
…….(2)(1)\ldots\ldots.(2) (1)
ও (2) হতে পাই, XY→=12NR→\overrightarrow{\mathrm{XY}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{NR}} বা, ∣XY→∣=12∣NR→∣|\overrightarrow{\mathrm{XY}}| = \dfrac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{NR}}| ∴\therefore XY=12NR\mathrm{XY} = \dfrac{1}{2}\mathrm{NR}. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, NRYX ট্রাপিজিয়ামের কর্ণ NY ও কর্ণ RX এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে A ও B। A, B যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, AB=12(NR−XY)\mathrm{AB} = \dfrac{1}{2}(\mathrm{NR} - \mathrm{XY}). question image প্রমাণ : মনে করি, কোনো মূলবিন্দুর প্রেক্ষিতে N, R, Y এবং X বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে n‾\underline{\mathrm{n}}, r‾\underline{\mathrm{r}}, y‾\underline{\mathrm{y}} এবং x‾\underline{\mathrm{x}}। তাহলে, NR→=r‾−n‾\overrightarrow{\mathrm{NR}} = \underline{\mathrm{r}} - \underline{\mathrm{n}}, XY→=y‾−x‾\overrightarrow{\mathrm{XY}} = \underline{\mathrm{y}} - \underline{\mathrm{x}} এখন, A বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর =12(n‾+y‾)= \dfrac{1}{2}(\underline{\mathrm{n}} + \underline{\mathrm{y}}) এবং B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর =12(r‾+x‾)= \dfrac{1}{2}(\underline{\mathrm{r}} + \underline{\mathrm{x}}) সুতরাং, AB→=12(r‾+x‾)−12(n‾+y‾)=12(r‾+x‾−n‾−y‾)\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \dfrac{1}{2}(\underline{\mathrm{r}} + \underline{\mathrm{x}}) - \dfrac{1}{2}(\underline{\mathrm{n}} + \underline{\mathrm{y}}) = \dfrac{1}{2}(\underline{\mathrm{r}} + \underline{\mathrm{x}} - \underline{\mathrm{n}} - \underline{\mathrm{y}}) =12(r‾−n‾+x‾−y‾)=12(NR→+YX→)=12(NR→−XY→)= \dfrac{1}{2}(\underline{\mathrm{r}} - \underline{\mathrm{n}} + \underline{\mathrm{x}} - \underline{\mathrm{y}}) = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{NR}} + \overrightarrow{\mathrm{YX}}) = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{NR}} - \overrightarrow{\mathrm{XY}}) বা, ∣AB→∣=12∣NR→−XY→∣|\overrightarrow{\mathrm{AB}}| = \dfrac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{NR}} - \overrightarrow{\mathrm{XY}}| বা, AB=12(∣NR→∣−∣XY→∣)\mathrm{AB} = \dfrac{1}{2}(|\overrightarrow{\mathrm{NR}}| - |\overrightarrow{\mathrm{XY}}|) ∴\therefore AB=12(NR−XY)\mathrm{AB} = \dfrac{1}{2}(\mathrm{NR} - \mathrm{XY}). (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে ΔABC\Delta\mathrm{ABC} এর AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC} ও AC\mathrm{AC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R\mathrm{R}, P\mathrm{P} ও Q\mathrm{Q} এবং BCQR\mathrm{BCQR} একটি ট্রাপিজিয়াম।

Barisal · 2026

ক
দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।
খ
প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।
গ
RB\mathrm{RB} ও QC\mathrm{QC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S\mathrm{S} ও T\mathrm{T} হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, ST→=32RQ→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক
ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
গ
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = 12\frac{1}{2} BC.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, [গণিত] .অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?[গণিত] -এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, [গণিত] কে [গণিত] ও [গণিত] -এর মাধ্যমে প্রকাশ [গণিত] এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একটি স্কেলার।মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে [গ[গণিত] ও [গণিত] বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে, ভেক্টরের সাহায্যেপ্রমাণ করো যে, [গণিত] ।দেখাও যে, [গণিত] একটি একক ভেক্টর যার দিক [গণিত] মুখী।PQRS একটি সামান্তরিক হলে [গণিত] ভেক্টরকে [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমেAB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST ||

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন