Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উপরের চিত্রের আলোকে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, [গণিত] এবং [গণিত] .

উত্তর: [বি.দ্র.: DERQ ট্রাপিজিয়ামের [গণিত] এবং [গণিত] কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু [গণিত] এবং [গণিত] ধরে সমাধান করা হলো] [চিত্র] মনে করি, DERQ ট্রাপিজিয়ামের [গণিত] ও [গণিত] কর্ণের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] । প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] এবং [গণিত] . প্রমাণ : মনে করি, কোনো নির্দিষ্ট মূলবিন্দুর প্রেক্ষিতে [গণিত] ও [গণিত] বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] . তাহলে, [গণিত] এবং [গণিত] এখন, [গণিত] বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর = [গণিত] এবং [গণিত] বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর = [গণিত] সুতরাং [গণিত] কিন্তু, [গণিত] এবং [গণিত] অর্থাৎ [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] ও [গণিত] সমান্তরাল কিন্তু বিপরীতমুখী। সুতরাং [গণিত] ভেক্টরও [গণিত] ও [গণিত] এর সমান্তরাল। অর্থাৎ [গণিত] ভেক্টরও [গণিত] ও [গণিত] এর সমান্তরাল। [গণিত] এবং [গণিত] . (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল

উপরের চিত্রের আলোকে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, এবং .

উদ্দীপক

question image চিত্রে DERQ একটি ট্রাপিজিয়াম।

Comilla · 2026

উত্তর

বামপক্ষ = −(a‾+b‾)-(\underline{a} + \underline{b}) =(−1)(a‾+b‾)= (-1)(\underline{a} + \underline{b}) [সংখ্যাগুণিতকের নিয়মানুসারে] =(−1)a‾+(−1)b‾= (-1)\underline{a} + (-1)\underline{b} [বণ্টন সূত্র] =−a‾−b‾= -\underline{a} - \underline{b} = ডানপক্ষ। ∴−(a‾+b‾)=−a‾−b‾\therefore -(\underline{a} + \underline{b}) = -\underline{a} - \underline{b}. (দেখানো হলো)

উত্তর

[বি.দ্র.: প্রশ্নে △PQR\triangle \mathrm{PQR} এর PQ\mathrm{PQ} এবং PR\mathrm{PR} বাহুর মধ্যবিন্দু M\mathrm{M} এবং N\mathrm{N} ধরে সমাধান করা হলো] question image এখানে, △PQR\triangle \mathrm{PQR} এর PQ\mathrm{PQ} ও PR\mathrm{PR} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M\mathrm{M} ও N\mathrm{N}। প্রমাণ করতে হবে যে, MN∥QR\mathrm{MN} \| \mathrm{QR} এবং MN=12QR\mathrm{MN} = \frac{1}{2}\mathrm{QR}. প্রমাণ : যেহেতু PQ\mathrm{PQ} ও PR\mathrm{PR} এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M\mathrm{M} এবং N\mathrm{N}. ∴PM→=12PQ→\therefore \overrightarrow{\mathrm{PM}} = \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}} এবং PN→=12PR→\overrightarrow{\mathrm{PN}} = \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PR}} এখন, △PMN\triangle \mathrm{PMN} হতে ভেক্টর বিয়োগবিধি অনুসারে পাই, MN→=PN→−PM→\overrightarrow{\mathrm{MN}} = \overrightarrow{\mathrm{PN}} - \overrightarrow{\mathrm{PM}} বা, MN→=12PR→−12PQ→=12(PR→−PQ→)\overrightarrow{\mathrm{MN}} = \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PR}} - \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{PR}} - \overrightarrow{\mathrm{PQ}}) ……...(1)\ldots\ldots... (1) আবার, △PQR\triangle \mathrm{PQR}-হতে ভেক্টরের ত্রিভুজের বিয়োগবিধি অনুসারে পাই, QR→=PR→−PQ→\overrightarrow{\mathrm{QR}} = \overrightarrow{\mathrm{PR}} - \overrightarrow{\mathrm{PQ}}
……...(2)(1)\ldots\ldots... (2) (1)
ও (2) নং হতে পাই, MN→=12QR→\overrightarrow{\mathrm{MN}} = \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}} বা, ∣MN→∣=∣12QR→∣|\overrightarrow{\mathrm{MN}}| = |\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}}| ∴MN=12QR\therefore \mathrm{MN} = \frac{1}{2}\mathrm{QR} যেহেতু MN,QRMN, QR এর অর্ধেক। অতএব MN এবং QR এর ধারক রেখা একই অথবা সমান্তরাল হবে। চিত্রে, যেহেতু MN\mathrm{MN} ও QR\mathrm{QR} এর ধারক রেখা এক নয়। ∴MN\therefore \mathrm{MN} ও QR\mathrm{QR} পরস্পর সমান্তরাল। অর্থাৎ QR∥MN\mathrm{QR} \| \mathrm{MN}. সুতরাং, QR∥MN\mathrm{QR} \| \mathrm{MN} এবং MN=12QR\mathrm{MN} = \frac{1}{2}\mathrm{QR}. (প্রমাণিত)

উত্তর

[বি.দ্র.: DERQ ট্রাপিজিয়ামের QE\mathrm{QE} এবং RD\mathrm{RD} কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু M\mathrm{M} এবং N\mathrm{N} ধরে সমাধান করা হলো] question image মনে করি, DERQ ট্রাপিজিয়ামের QE\mathrm{QE} ও DR\mathrm{DR} কর্ণের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M\mathrm{M} ও N\mathrm{N}। প্রমাণ করতে হবে যে, MN∥DE∥QR\mathrm{MN} \| \mathrm{DE} \| \mathrm{QR} এবং MN=12(QR−DE)\mathrm{MN} = \frac{1}{2}(\mathrm{QR} - \mathrm{DE}). প্রমাণ : মনে করি, কোনো নির্দিষ্ট মূলবিন্দুর প্রেক্ষিতে Q,R,E\mathrm{Q, R, E} ও D\mathrm{D} বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে q‾,r‾,e‾\underline{q}, \underline{r}, \underline{e} ও d‾\underline{d}. তাহলে, QR→=r‾−q‾\overrightarrow{\mathrm{QR}} = \underline{r} - \underline{q} এবং ED→=d‾−e‾\overrightarrow{\mathrm{ED}} = \underline{d} - \underline{e} এখন, M\mathrm{M} বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর = 12(q‾+e‾)\frac{1}{2}(\underline{q} + \underline{e}) এবং N\mathrm{N} বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর = 12(r‾+d‾)\frac{1}{2}(\underline{r} + \underline{d}) সুতরাং MN→=12(r‾+d‾)−12(q‾+e‾)\overrightarrow{\mathrm{MN}} = \frac{1}{2}(\underline{r} + \underline{d}) - \frac{1}{2}(\underline{q} + \underline{e}) =12(r‾+d‾−q‾−e‾)=12(r‾−q‾+d‾−e‾)= \frac{1}{2}(\underline{r} + \underline{d} - \underline{q} - \underline{e}) = \frac{1}{2}(\underline{r} - \underline{q} + \underline{d} - \underline{e}) কিন্তু, QR→=r‾−q‾\overrightarrow{\mathrm{QR}} = \underline{r} - \underline{q} এবং DE→=e‾−d‾\overrightarrow{\mathrm{DE}} = \underline{e} - \underline{d} অর্থাৎ MN→=12(QR→−DE→)\overrightarrow{\mathrm{MN}} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{QR}} - \overrightarrow{\mathrm{DE}}) বা, ∣MN→∣=∣12(QR→−DE→)∣|\overrightarrow{\mathrm{MN}}| = |\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{QR}} - \overrightarrow{\mathrm{DE}})| বা, MN=12(QR−DE)\mathrm{MN} = \frac{1}{2} (\mathrm{QR} - \mathrm{DE}) ∵QR→\because \overrightarrow{\mathrm{QR}} ও DE→\overrightarrow{\mathrm{DE}} সমান্তরাল কিন্তু বিপরীতমুখী। সুতরাং QR→−DE→\overrightarrow{\mathrm{QR}} - \overrightarrow{\mathrm{DE}} ভেক্টরও QR→\overrightarrow{\mathrm{QR}} ও DE→\overrightarrow{\mathrm{DE}} এর সমান্তরাল। অর্থাৎ MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} ভেক্টরও QR→\overrightarrow{\mathrm{QR}} ও DE→\overrightarrow{\mathrm{DE}} এর সমান্তরাল। ∴MN∥DE∥QR\therefore \mathrm{MN} \| \mathrm{DE} \| \mathrm{QR} এবং MN=12(QR−DE)\mathrm{MN} = \frac{1}{2}(\mathrm{QR} - \mathrm{DE}). (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে ΔABC\Delta\mathrm{ABC} এর AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC} ও AC\mathrm{AC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R\mathrm{R}, P\mathrm{P} ও Q\mathrm{Q} এবং BCQR\mathrm{BCQR} একটি ট্রাপিজিয়াম।

Barisal · 2026

ক
দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।
খ
প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।
গ
RB\mathrm{RB} ও QC\mathrm{QC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S\mathrm{S} ও T\mathrm{T} হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, ST→=32RQ→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক
ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
গ
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = 12\frac{1}{2} BC.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, [গণিত] .অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?[গণিত] -এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, [গণিত] কে [গণিত] ও [গণিত] -এর মাধ্যমে প্রকাশ [গণিত] এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একটি স্কেলার।মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে [গ[গণিত] ও [গণিত] বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে, ভেক্টরের সাহায্যেপ্রমাণ করো যে, [গণিত] ।দেখাও যে, [গণিত] একটি একক ভেক্টর যার দিক [গণিত] মুখী।PQRS একটি সামান্তরিক হলে [গণিত] ভেক্টরকে [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমেAB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST ||

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
উপরের চিত্রের আলোকে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, এবং . | Prosthuti