Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

S এবং T যথাক্রমে LR এবং MQ এর মধ্যবিন্দু হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, [গণিত] এবং [গণিত] .

উত্তর: [চিত্র] এখানে, [গণিত] PQR এর KL ও MK বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R ও Q. আবার, LR ও MQ এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S ও T. R, Q এবং S, T যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] এবং [গণিত] প্রমাণ : মনে করি, কোনো নির্দিষ্ট মূলবিন্দুর সাপেক্ষে L, M, Q ও R বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে [গণিত] , [গণিত] , [গণিত] ও [গণিত] । তাহলে, S বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর [গণিত] T বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] আবার, [গণিত] এবং [গণিত] সমান্তরাল বলে [গণিত] ভেক্টরটিও [গণিত] ও [গণিত] এর সমান্তরাল। অর্থাৎ [গণিত] এবং [গণিত] । (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল

S এবং T যথাক্রমে LR এবং MQ এর মধ্যবিন্দু হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্র…

উদ্দীপক

question image চিত্রে P, Q এবং R যথাক্রমে LM, MK এবং KL এর মধ্যবিন্দু।

Jessore · 2026

উত্তর

মূলবিন্দু O(0,0)\mathrm{O}(0,0) থেকে A(−4,4)\mathrm{A}(-4, 4) বিন্দুর দূরত্ব, OA=(−4−0)2+(4−0)2\mathrm{OA} = \sqrt{(-4-0)^2 + (4-0)^2} একক =16+16= \sqrt{16 + 16} একক =32= \sqrt{32} একক মূলবিন্দু O(0,0)\mathrm{O}(0,0) থেকে B(4,k)\mathrm{B}(4, \mathrm{k}) বিন্দুর দূরত্ব, OB=(4−0)2+(k−0)2\mathrm{OB} = \sqrt{(4-0)^2 + (\mathrm{k}-0)^2} একক =16+k2= \sqrt{16 + \mathrm{k}^2} একক শর্তমতে, OA=OB\mathrm{OA} = \mathrm{OB} বা, 32=16+k2\sqrt{32} = \sqrt{16 + \mathrm{k}^2} বা, 32=16+k232 = 16 + \mathrm{k}^2 [বর্গ করে] বা, k2=32−16\mathrm{k}^2 = 32 - 16 বা, k2=16\mathrm{k}^2 = 16 বা, k2=(±4)2\mathrm{k}^2 = (\pm 4)^2 ∴k=±4\therefore \mathrm{k} = \pm 4 নির্ণেয় মান : k=−4,4\mathrm{k} = -4, 4

উত্তর

question image এখানে, △\triangle KLM এর LM, MK এবং KL বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q এবং R. প্রমাণ করতে হবে যে, KP→+LQ→+MR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{KP}} + \overrightarrow{\mathrm{LQ}} + \overrightarrow{\mathrm{MR}} = \underline{0} প্রমাণ : △\triangle LMR এ ভেক্টর যোগ বিধি অনুসারে পাই, LM→+MR→=LR→\overrightarrow{\mathrm{LM}} + \overrightarrow{\mathrm{MR}} = \overrightarrow{\mathrm{LR}} বা, LM→+MR→=12LK→\overrightarrow{\mathrm{LM}} + \overrightarrow{\mathrm{MR}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{LK}} বা, LK→=2(LM→+MR→)\overrightarrow{\mathrm{LK}} = 2(\overrightarrow{\mathrm{LM}} + \overrightarrow{\mathrm{MR}}) আবার, LM→+MK→=LK→\overrightarrow{\mathrm{LM}} + \overrightarrow{\mathrm{MK}} = \overrightarrow{\mathrm{LK}} ∴MK→=LK→−LM→=2(LM→+MR→)−LM→=LM→+2MR→\therefore \overrightarrow{\mathrm{MK}} = \overrightarrow{\mathrm{LK}} - \overrightarrow{\mathrm{LM}} = 2(\overrightarrow{\mathrm{LM}} + \overrightarrow{\mathrm{MR}}) - \overrightarrow{\mathrm{LM}} = \overrightarrow{\mathrm{LM}} + 2\overrightarrow{\mathrm{MR}} আবার, △\triangle LMQ এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, LM→+MQ→=LQ→\overrightarrow{\mathrm{LM}} + \overrightarrow{\mathrm{MQ}} = \overrightarrow{\mathrm{LQ}} বা, LM→+12MK→=LQ→\overrightarrow{\mathrm{LM}} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{MK}} = \overrightarrow{\mathrm{LQ}} বা, LQ→=LM→+12(LM→+2MR→)=LM→+12LM→+MR→\overrightarrow{\mathrm{LQ}} = \overrightarrow{\mathrm{LM}} + \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{LM}} + 2\overrightarrow{\mathrm{MR}}) = \overrightarrow{\mathrm{LM}} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{LM}} + \overrightarrow{\mathrm{MR}} ∴LQ→=32LM→+MR→\therefore \overrightarrow{\mathrm{LQ}} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{LM}} + \overrightarrow{\mathrm{MR}} △\triangle LKP-এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, LK→+KP→=LP→\overrightarrow{\mathrm{LK}} + \overrightarrow{\mathrm{KP}} = \overrightarrow{\mathrm{LP}} বা, LK→+KP→=12LM→\overrightarrow{\mathrm{LK}} + \overrightarrow{\mathrm{KP}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{LM}} বা, KP→=12LM→−LK→\overrightarrow{\mathrm{KP}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{LM}} - \overrightarrow{\mathrm{LK}} বা, KP→=12LM→−2(LM→+MR→)\overrightarrow{\mathrm{KP}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{LM}} - 2(\overrightarrow{\mathrm{LM}} + \overrightarrow{\mathrm{MR}}) বা, KP→=12LM→−2LM→−2MR→=−32LM→−2MR→\overrightarrow{\mathrm{KP}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{LM}} - 2\overrightarrow{\mathrm{LM}} - 2\overrightarrow{\mathrm{MR}} = -\dfrac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{LM}} - 2\overrightarrow{\mathrm{MR}} বামপক্ষ =KP→+LQ→+MR→= \overrightarrow{\mathrm{KP}} + \overrightarrow{\mathrm{LQ}} + \overrightarrow{\mathrm{MR}} =−32LM→−2MR→+32LM→+MR→+MR→= -\dfrac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{LM}} - 2\overrightarrow{\mathrm{MR}} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{LM}} + \overrightarrow{\mathrm{MR}} + \overrightarrow{\mathrm{MR}} =−32LM→−2MR→+32LM→+2MR→=0‾== -\dfrac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{LM}} - 2\overrightarrow{\mathrm{MR}} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{LM}} + 2\overrightarrow{\mathrm{MR}} = \underline{0} = ডানপক্ষ সুতরাং, KP→+LQ→+MR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{KP}} + \overrightarrow{\mathrm{LQ}} + \overrightarrow{\mathrm{MR}} = \underline{0}. (প্রমাণিত)

উত্তর

question image এখানে, △\triangle PQR এর KL ও MK বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R ও Q. আবার, LR ও MQ এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S ও T. R, Q এবং S, T যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, ST∥RQ∥LM\mathrm{ST} \| \mathrm{RQ} \| \mathrm{LM} এবং ST=12(LM+RQ)\mathrm{ST} = \dfrac{1}{2}(\mathrm{LM} + \mathrm{RQ}) প্রমাণ : মনে করি, কোনো নির্দিষ্ট মূলবিন্দুর সাপেক্ষে L, M, Q ও R বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে l‾\underline{l}, m‾\underline{m}, q‾\underline{q} ও r‾\underline{r}। তাহলে, S বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর =12(l‾+r‾)= \dfrac{1}{2}(\underline{l} + \underline{r}) T বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর =12(m‾+q‾)= \dfrac{1}{2}(\underline{m} + \underline{q}) ∴ST→=12(m‾+q‾)−12(l‾+r‾)\therefore \overrightarrow{\mathrm{ST}} = \dfrac{1}{2}{(\underline{m} + \underline{q}) - \dfrac{1}{2}(\underline{l} + \underline{r})} =12(m‾+q‾−l‾−r‾)=12{(m‾−l‾)+(q‾−r‾)}= \dfrac{1}{2}(\underline{m} + \underline{q} - \underline{l} - \underline{r}) = \dfrac{1}{2}\{(\underline{m} - \underline{l}) + (\underline{q} - \underline{r})\} =12(LM→+RQ→)= \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{LM}} + \overrightarrow{\mathrm{RQ}}) [∵LM→=m‾−l‾[\because \overrightarrow{\mathrm{LM}} = \underline{m} - \underline{l} এবং RQ→=q‾−r‾]\overrightarrow{\mathrm{RQ}} = \underline{q} - \underline{r}] বা, ∣ST→∣=12(∣LM→+RQ→∣)=12(∣LM→∣+∣RQ→∣)|\overrightarrow{\mathrm{ST}}| = \dfrac{1}{2}\left(|\overrightarrow{\mathrm{LM}} + \overrightarrow{\mathrm{RQ}}|\right) = \dfrac{1}{2}\left(|\overrightarrow{\mathrm{LM}}| + |\overrightarrow{\mathrm{RQ}}|\right) ∴ST=12(LM+RQ)\therefore \mathrm{ST} = \dfrac{1}{2}(\mathrm{LM} + \mathrm{RQ}) আবার, LM→\overrightarrow{\mathrm{LM}} এবং RQ→\overrightarrow{\mathrm{RQ}} সমান্তরাল বলে (LM→+RQ→)(\overrightarrow{\mathrm{LM}} + \overrightarrow{\mathrm{RQ}}) ভেক্টরটিও LM→\overrightarrow{\mathrm{LM}} ও RQ→\overrightarrow{\mathrm{RQ}} এর সমান্তরাল। অর্থাৎ ST∥RQ∥LM\mathrm{ST} \| \mathrm{RQ} \| \mathrm{LM} ∴ST∥RQ∥LM\therefore \mathrm{ST} \| \mathrm{RQ} \| \mathrm{LM} এবং ST=12(LM+RQ)\mathrm{ST} = \dfrac{1}{2}(\mathrm{LM} + \mathrm{RQ})। (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে ΔABC\Delta\mathrm{ABC} এর AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC} ও AC\mathrm{AC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R\mathrm{R}, P\mathrm{P} ও Q\mathrm{Q} এবং BCQR\mathrm{BCQR} একটি ট্রাপিজিয়াম।

Barisal · 2026

ক
দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।
খ
প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।
গ
RB\mathrm{RB} ও QC\mathrm{QC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S\mathrm{S} ও T\mathrm{T} হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, ST→=32RQ→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক
ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
গ
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = 12\frac{1}{2} BC.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, [গণিত] .অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?[গণিত] -এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, [গণিত] কে [গণিত] ও [গণিত] -এর মাধ্যমে প্রকাশ [গণিত] এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একটি স্কেলার।মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে [গ[গণিত] ও [গণিত] বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে, ভেক্টরের সাহায্যেপ্রমাণ করো যে, [গণিত] ।দেখাও যে, [গণিত] একটি একক ভেক্টর যার দিক [গণিত] মুখী।PQRS একটি সামান্তরিক হলে [গণিত] ভেক্টরকে [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমেAB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST ||

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন