Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: [চিত্র] দেওয়া আছে, [গণিত] -এ [গণিত] ও CF যথাক্রমে [গণিত] এবং AB বাহুর উপর মধ্যমা। সুতরাং, BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F. প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] প্রমাণ: [গণিত] -এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে, [গণিত] বা, [গণিত] . [ ∵ D, BC এর মধ্যবিন্দু] [গণিত] . . . . . . . (i) আবার, [গণিত] -এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে, [গণিত] বা, [গণিত] ত্রর মধ্যবিন্দু] এবং [গণিত] -এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে, [গণিত] বা, [গণিত] এর মধ্যবিন্দু] (i), (ii) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [প্রমাণিত]

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল

ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এ AD, BE ও CF যথাক্রমে BC, CA এবং AB বাহুর উপর মধ্যমা। মধ্যমা তিনটি পরস্পর G বিন্দুতে ছেদ করেছে।

Dhaka · 2025

উত্তর

question image মনে করি, PQR সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র O এবং ব্যাসার্ধ OP=6\mathrm{OP}=6 সে.মি. আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র, লম্ববিন্দু ও ভরকেন্দ্র একই বিন্দু।। সুতরাং O,△PQR\mathrm{O}, \triangle \mathrm{PQR} এর ভরকেন্দ্র। আবার, আমরা জানি, ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র মধ্যমাকে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে। ∴OP:OM=2:1\therefore \mathrm{OP}: \mathrm{OM}=2: 1 বা, OPOM=21\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OM}}=\frac{2}{1} বা, OMOP=12\frac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OP}}=\frac{1}{2} [[ব্যস্তকরণ করে] বা, OM+OPOP=1+22\frac{O M+O P}{O P}=\frac{1+2}{2} [উভয়পক্ষে যোজন করে] বা, PMOP=32[∵OM+OP=PM]\frac{\mathrm{PM}}{\mathrm{OP}}=\frac{3}{2} \quad[\because \mathrm{OM}+\mathrm{OP}=\mathrm{PM}] বা, PM=32×OP\mathrm{PM}=\frac{3}{2} \times \mathrm{OP}. বা, PM=32×6[∵OP=6\mathrm{PM}=\frac{3}{2} \times 6[\because \mathrm{OP}=6 সে.মি. ]] ∴PM=9\therefore \mathrm{PM}=9 আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা =32×=\frac{\sqrt{3}}{2} \times এক বাহুর দৈর্ঘ্য বা, এক বাহুর দৈর্ঘ্য =23×=\frac{2}{\sqrt{3}} \times উচ্চতা বা, এক বাহুর দৈর্ঘ্য =23×PM=\frac{2}{\sqrt{3}} \times \mathrm{PM}. বা, PQ=23×9\mathrm{PQ}=\frac{2}{\sqrt{3}} \times 9 বা, PQ=63P Q=6 \sqrt{3} ∴PQ=10.39\therefore \mathrm{PQ}=10.39 সে.মি. (প্রায়) সুতরাং, নির্ণেয় বাহুর দৈর্ঘ্য 10.39 সে.মি. (প্রায়) [Ans.]

উত্তর

question image বিশেষ নির্বচন: △ABC\triangle \mathrm{ABC}-এ AD,BE\mathrm{AD}, \mathrm{BE} ও CF যথাক্রমে BC,CA\mathrm{BC}, \mathrm{CA} এবং AB বাহুর উপর মধ্যমা। AD,BE\mathrm{AD}, \mathrm{BE} ও CF মধ্যমাত্রয় G বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, AD2+BD2=12(AB2+AC2)\mathrm{AD}^2+\mathrm{BD}^2=\frac{1}{2}\left(\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2\right) অঙ্কন: শীর্ষবিন্দু A থেকে BC এর উপর AP লম্ব আঁকি। প্রমাণ: △ABD−এ,∠ADB\triangle \mathrm{ABD}-এ, \angle \mathrm{ADB} সূক্ষকোণ এবং BD এর উপর AD রেখার লম্ব অভিক্ষেপ DP ∴AB2=AD2+BD2−2⋅BD⋅DP\therefore \mathrm{AB}^2=\mathrm{AD}^2+\mathrm{BD}^2-2 \cdot \mathrm{BD} \cdot \mathrm{DP} . . . . . .(i) [সূক্ষ্মকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে] আবার, △ADC\triangle \mathrm{ADC}-এ ∠ADC\angle \mathrm{ADC} স্থূলকোণ এবং CD রেখার বর্ধিতাংশের উপর AD রেখার লম্ব অভিক্ষেপ DP । ∴AC2=AD2+DC2+2⋅DC⋅DP\therefore \mathrm{AC}^2=\mathrm{AD}^2+\mathrm{DC}^2+2 \cdot \mathrm{DC} \cdot \mathrm{DP} . . . . . .(ii) [স্থূলকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে] এখন, সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই, AB2+AC2=AD2+BD2−2⋅BD⋅DP+AD2+DC2+2⋅DC⋅DP\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2=\mathrm{AD}^2+\mathrm{BD}^2-2 \cdot \mathrm{BD} \cdot \mathrm{DP} +A \mathrm{D}^2+\mathrm{DC}^2 +2 \cdot \mathrm{DC} \cdot \mathrm{DP} বা, AB2+AC2=2AD2+BD2−2⋅BD⋅DP+BD2+2⋅BD⋅DP\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2=2 \mathrm{AD}^2+\mathrm{BD}^2-2 \cdot \mathrm{BD} \cdot \mathrm{DP}+\mathrm{BD}^2+2 \cdot \mathrm{BD} \cdot \mathrm{DP} [AD মধ্যম হওয়ায়, BD = DC] বা, AB2+AC2=2AD2+2BD2\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2=2 \mathrm{AD}^2+2 \mathrm{BD}^2 ∴AD2+BD2=12(AB2+AC2)\therefore \mathbf{A D}^{\mathbf{2}}+\mathbf{B D}^{\mathbf{2}}=\frac{1}{2}\left(\mathbf{A B}^{\mathbf{2}}+\mathbf{A C}^{\mathbf{2}}\right) [প্রমাণিত]

উত্তর

question image দেওয়া আছে, △ABC\triangle \mathrm{ABC}-এ AD,BE\mathrm{AD}, \mathrm{BE} ও CF যথাক্রমে BC,CA\mathrm{BC}, \mathrm{CA} এবং AB বাহুর উপর মধ্যমা। সুতরাং, BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F. প্রমাণ করতে হবে যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0 প্রমাণ: △ABD\triangle \mathrm{ABD}-এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে, AB→+BD→=AD→\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}} বা, AB→+12BC→=AD→\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}. [ ∵ D, BC এর মধ্যবিন্দু] ∴AD→=AB→+12BC→\therefore \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{BC}} . . . . . . . (i) আবার, △ABE\triangle \mathrm{ABE}-এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে, AB→+BE→=AE→\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}} বা, BE→=AE→AB→\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}\overrightarrow{\mathrm{AB}} ∴BE→=12AC→−AB→......(ii)[∵E,AC\therefore \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}} . . . . . .(ii) [\because \mathrm{E}, \mathrm{AC} ত্রর মধ্যবিন্দু] এবং △ACF\triangle \mathrm{ACF}-এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে, AC→+CF→=AF→\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=\overrightarrow{\mathrm{AF}} বা, CF→=AF→−AC→\overrightarrow{\mathrm{CF}}=\overrightarrow{\mathrm{AF}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}} ∴CF→=12AB→−AC→.......(iii)[∵F,AB\therefore \overrightarrow{\mathrm{CF}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}} . . . . . . . (iii) [ \because \mathrm{F}, \mathrm{AB} এর মধ্যবিন্দু] (i), (ii) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই, AD→+BE→+CF→=AB→+12BC→+12AC→−AB→+12AB→−AC→\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{BC}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}} বা, AD→+BE→+CF→=12BC→+12AB→−12AC→\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{BC}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AC}} বা, AD→+BE→+CF→=12(BC→+AB→)−12AC→\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}})-\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AC}} বা, AD→+BE→+CF→=12(AB→+BC→)−12AC→\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}})-\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AC}} বা, AD→+BE→+CF→=12AC→−12AC→[∵AB→+BC→=AC→]\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AC}}[\because\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}] ∴AD→+BE→+CF→=0\therefore\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0 [প্রমাণিত]
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে ΔABC\Delta\mathrm{ABC} এর AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC} ও AC\mathrm{AC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R\mathrm{R}, P\mathrm{P} ও Q\mathrm{Q} এবং BCQR\mathrm{BCQR} একটি ট্রাপিজিয়াম।

Barisal · 2026

ক
দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।
খ
প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।
গ
RB\mathrm{RB} ও QC\mathrm{QC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S\mathrm{S} ও T\mathrm{T} হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, ST→=32RQ→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক
ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
গ
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = 12\frac{1}{2} BC.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, [গণিত] .অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?[গণিত] -এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, [গণিত] কে [গণিত] ও [গণিত] -এর মাধ্যমে প্রকাশ [গণিত] এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একটি স্কেলার।মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে [গ[গণিত] ও [গণিত] বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে, ভেক্টরের সাহায্যেপ্রমাণ করো যে, [গণিত] ।দেখাও যে, [গণিত] একটি একক ভেক্টর যার দিক [গণিত] মুখী।PQRS একটি সামান্তরিক হলে [গণিত] ভেক্টরকে [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমেAB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST ||

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন