Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: [চিত্র] দেওয়া আছে, [গণিত] -এর [গণিত] ও PR বাহুত্রয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে T, D ও S । প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] . ভেষ্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে, [গণিত] হতে পাই, [গণিত] হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] নং হতে [গণিত] হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] নং হতে [গণিত] হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] নং হতে [গণিত] বা, [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমাণিত )

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

△PQR\triangle \mathrm{PQR} এর QR, RP ও PQ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, S, T.

Dhaka · 2024

উত্তর

question image △PQS\triangle \mathrm{PQS} এ ভেষ্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে PQ→+QS→=PS→=12PR→\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QS}}=\overrightarrow{\mathrm{PS}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PR}} বা, PQ→=12(12PQ→−RT→)−QS→[∵PR→+RT→=12PQ→]\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PQ}}-\overrightarrow{\mathrm{RT}}\right)-\overrightarrow{\mathrm{QS}}\left[\because \overrightarrow{\mathrm{PR}}+\overrightarrow{\mathrm{RT}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right] বা, PQ→=14PQ→−12RT→−QS→\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{PQ}}-\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{RT}}-\overrightarrow{\mathrm{QS}} বা, PQ→−14PQ→=−12RT→−QS→\overrightarrow{\mathrm{PQ}}-\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{RT}}-\overrightarrow{\mathrm{QS}} বা, 34PQ→=−12RT→−QS→\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{RT}}-\overrightarrow{\mathrm{QS}} বা, PQ→=43(−12RT→−QS→)\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{4}{3}\left(-\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{RT}}-\overrightarrow{\mathrm{QS}}\right) ∴PQ→=−23RT→−43QS→\therefore \quad \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{RT}}-\frac{4}{3} \overrightarrow{\mathrm{QS}}.

উত্তর

question image মনে করি, QRST ট্রাপিজিয়ামের QS ও TR কর্ণের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে U ও V। প্রমাণ করতে হবে যে, UV∥TS∥QR\mathrm{UV}\|\mathrm{TS}\| \mathrm{QR} এবং UV=12(QR−TS)\mathrm{UV}=\frac{1}{2}(\mathrm{QR}-\mathrm{TS}) প্রমাণ : মনে করি, কোনো নির্দিষ্ট মূলবিন্দুর প্রেক্ষিতে Q, R, S ও T বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে q, r, s ও t. তাহলে, QR→=r‾−q‾\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\underline{\mathrm{r}}-\underline{\mathrm{q}} এবং ST→=t‾−s‾\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\underline{\mathrm{t}}-\underline{\mathrm{s}} এখন, U বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর =12(q‾+s‾)=\frac{1}{2}(\underline{\mathrm{q}}+\underline{\mathrm{s}}) এবং VV বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর =12(r‾+t‾)=\frac{1}{2}(\underline{r}+\underline{t}) ∴\therefore \quadUV→\overrightarrow{U V}=12(r‾+t‾)−12(q‾+s‾)=\frac{1}{2}(\underline{r}+\underline{t})-\frac{1}{2}(\underline{q}+\underline{s}) =12(r‾+t‾−q‾−s‾)=12{(r‾−q‾)+(t‾−s‾)}=\frac{1}{2}(\underline{r}+\underline{t}-\underline{q}-\underline{s})=\frac{1}{2}\{(\underline{r}-\underline{q})+(\underline{t}-\underline{s})\} কিন্তু QR→=r‾−q‾\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\underline{\mathrm{r}}-\underline{\mathrm{q}} এবং ST→=t‾−s‾\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\underline{\mathrm{t}}-\underline{\mathrm{s}} অর্থাৎ, UV→=12(QR→+ST→)=12(QR→−TS→)\overrightarrow{\mathrm{UV}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{QR}}+\overrightarrow{\mathrm{ST}})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{QR}}-\overrightarrow{\mathrm{TS}}) এখন, QR→\overrightarrow{\mathrm{QR}} ও TS→\overrightarrow{\mathrm{TS}} সমান্তরাল। সুতরাং QR→\overrightarrow{\mathrm{QR}} - TS→\overrightarrow{\mathrm{TS}} ভেক্টরও QR→\overrightarrow{\mathrm{QR}} ও TS→\overrightarrow{\mathrm{TS}} এর সমান্তরাল। অর্থাৎ UV→\overrightarrow{U V} ভেক্টরও QR→\overrightarrow{Q R} ও TS→\overrightarrow{T S} এর সমান্তরাল। এবং ∣UV→∣=12∣QR→−TS→∣|\overrightarrow{\mathrm{UV}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{QR}}-\overrightarrow{\mathrm{TS}}| বা, UV=12(∣QR→∣−∣TS→∣)=12(QR−TS)\mathrm{UV}=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{\mathrm{QR}}|-|\overrightarrow{\mathrm{TS}}|)=\frac{1}{2}(\mathrm{QR}-\mathrm{TS}) ∴UV∥TS∥QR\therefore \mathrm{UV}\|\mathrm{TS}\| \mathrm{QR} এবং UV=12(QR−TS)\mathrm{UV}=\frac{1}{2}(\mathrm{QR}-\mathrm{TS}). (প্রমাণিত)

উত্তর

question image দেওয়া আছে, △PQR\triangle \mathrm{PQR}-এর PQ,QR\mathrm{PQ}, \mathrm{QR} ও PR বাহুত্রয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে T, D ও S । প্রমাণ করতে হবে যে, PD→+QS→+RT→=0‾\overrightarrow{\mathrm{PD}}+\overrightarrow{\mathrm{QS}}+\overrightarrow{\mathrm{RT}}=\underline{0}. ভেষ্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে, △PQS\triangle \mathrm{PQS} হতে পাই, PQ→+QS→=PS→=12PR→\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QS}}=\overrightarrow{\mathrm{PS}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PR}} ∴PR→=2PQ→+2QS→……….. (i) \therefore \quad \overrightarrow{\mathrm{PR}}=2 \overrightarrow{\mathrm{PQ}}+2 \overrightarrow{\mathrm{QS}} \ldots \ldots \ldots . . \text{ (i) } ΔPQR\Delta \mathrm{PQR} হতে পাই, PQ→+QR→=PR→\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\overrightarrow{\mathrm{PR}} বা, QR→=PR→−PQ→\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\overrightarrow{\mathrm{PR}}-\overrightarrow{\mathrm{PQ}} বা, QR→=2PQ→+2QS→−PQ→{[(i)\overrightarrow{\mathrm{QR}}=2 \overrightarrow{\mathrm{PQ}}+2 \overrightarrow{\mathrm{QS}}-\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \{ [(i) নং হতে ]}] \} ∴QR→=PQ→+2QS→............... (ii) \therefore \quad \overrightarrow{\mathrm{QR}}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+2 \overrightarrow{\mathrm{QS}} . . . . . . . . . . . . . . . \text{ (ii) } △PQD\triangle \mathrm{PQD} হতে পাই, PQ→+QD→=PD→\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QD}}=\overrightarrow{\mathrm{PD}} বা, PD→=PQ→+12QR→[∵QD→=12QR→]............... (iii) \overrightarrow{\mathrm{PD}}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{QR}}\left[\because \overrightarrow{\mathrm{QD}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{QR}}\right]. . . . . . . . . . . . . . . \text{ (iii) } বা, PD→=PQ→+12(PQ→+2QS→)\overrightarrow{\mathrm{PD}}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+2 \overrightarrow{\mathrm{QS}}) [(ii)[(ii) নং হতে ]] ∴PD→=32PQ→+QS→\therefore \quad \overrightarrow{\mathrm{PD}}=\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QS}} △PRT\triangle \mathrm{PRT} হতে পাই, PR→+RT→=PT→\overrightarrow{\mathrm{PR}}+\overrightarrow{\mathrm{RT}}=\overrightarrow{\mathrm{PT}} বা, RT→=PT→−PR→\overrightarrow{\mathrm{RT}}=\overrightarrow{\mathrm{PT}}-\overrightarrow{\mathrm{PR}} বা, RT→=12PQ→−PR→[∵PT→=12PQ→]\overrightarrow{\mathrm{RT}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PQ}}-\overrightarrow{\mathrm{PR}}\left[\because \overrightarrow{\mathrm{PT}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right] বা, RT→=12PQ→−(2PQ→+2QS→)\overrightarrow{\mathrm{RT}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PQ}}-(2 \overrightarrow{\mathrm{PQ}}+2 \overrightarrow{\mathrm{QS}}) [(i)[(i) নং হতে ]] বা, RT→=−32PQ→−2QS→\overrightarrow{\mathrm{RT}}=-\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{PQ}}-2 \overrightarrow{\mathrm{QS}} …….(iv)\ldots\ldots.(iv) বামপক্ষ =PD→+QS→+RT→=\overrightarrow{\mathrm{PD}}+\overrightarrow{\mathrm{QS}}+\overrightarrow{\mathrm{RT}} =32PQ→+QS→+QS→−32PQ→−2QS→=\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{QS}}+\overrightarrow{\mathrm{QS}}-\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{PQ}}-2 \overrightarrow{\mathrm{QS}} =0‾=\underline{0} == ডানপক্ষ ∴PD→+QS→+RT→=0‾.\therefore \quad \overrightarrow{\mathrm{PD}} +\overrightarrow{\mathrm{QS}}+\overrightarrow{\mathrm{RT}}=\underline{0} . (প্রমাণিত )
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে ΔABC\Delta\mathrm{ABC} এর AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC} ও AC\mathrm{AC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R\mathrm{R}, P\mathrm{P} ও Q\mathrm{Q} এবং BCQR\mathrm{BCQR} একটি ট্রাপিজিয়াম।

Barisal · 2026

ক
দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।
খ
প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।
গ
RB\mathrm{RB} ও QC\mathrm{QC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S\mathrm{S} ও T\mathrm{T} হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, ST→=32RQ→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক
ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
গ
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = 12\frac{1}{2} BC.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, [গণিত] .অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?[গণিত] -এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, [গণিত] কে [গণিত] ও [গণিত] -এর মাধ্যমে প্রকাশ [গণিত] এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একটি স্কেলার।মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে [গ[গণিত] ও [গণিত] বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে, ভেক্টরের সাহায্যেপ্রমাণ করো যে, [গণিত] ।দেখাও যে, [গণিত] একটি একক ভেক্টর যার দিক [গণিত] মুখী।PQRS একটি সামান্তরিক হলে [গণিত] ভেক্টরকে [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমেAB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST ||

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন