Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: [চিত্র] এখানে, ABC ত্রিভুজের [গণিত] ও BC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও R. A, R; B, E; C, D যোগ করি। ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করতে হবে, [গণিত] এ ভেক্টর যোগে ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, [গণিত] আবার, [গণিত] এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এ ডেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ সুতরাং [গণিত] . (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

question image চিত্রে D,E,P,Q,R,SD, E, P, Q, R, S যথাক্রমে AB,AC,DE,BD,BCAB, AC, DE, BD, BC এবং CECE বাহুর মধ্যবিন্দু।

Barisal · 2025

উত্তর

AA→\overrightarrow{\mathrm{AA}} একটি বিন্দু ভেক্টর। এর আদি বিন্দু ও অন্তবিন্দু একই। অর্থাৎ, এর দৈর্ঘ্য শূন্য। এখানে, AA→\overrightarrow{\mathrm{AA}} দ্বারা A বিন্দুকে বুঝানো হয়েছে। এর দৈর্ঘ্য শূন্য বলে একে শূন্য ভেক্টরও বলা হয়। AA→\overrightarrow{\mathrm{AA}} ভেক্টরের কোনো নির্দিষ্ট দিক বা ধারক রেখা নেই।

উত্তর

question image BCED চতুর্ভুজের BC, CE, ED ও DB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R,S, P ও Q P, Q; Q, R; R, S ও S, P যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, PQRS একটি সামান্তরিক। মনে করি, BC→=a‾,CE→=b‾,ED→=c‾,DB→=d‾\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\underline{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{CE}}=\underline{\mathrm{b}}, \overrightarrow{\mathrm{ED}}=\underline{\mathrm{c}}, \overrightarrow{\mathrm{DB}}=\underline{\mathrm{d}} ∴PQ→=PD→+DQ→=12ED→+12DB→=12(c+d)\therefore \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{PD}}+\overrightarrow{\mathrm{DQ}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{ED}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{DB}}=\frac{1}{2}(c+d) অনুরূপভাবে, QR→=12( d+a),RS→=12(a+b)\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\frac{1}{2}(\mathrm{~d}+\mathrm{a}), \overrightarrow{\mathrm{RS}}=\frac{1}{2}(\mathrm{a}+\mathrm{b}) এবং SP→=12( b+c)\overrightarrow{\mathrm{SP}}=\frac{1}{2}(\mathrm{~b}+\mathrm{c}) কিন্তু (a‾+b‾)+(c‾+d‾)=BE→+EB→=BE→−BE→=0(\underline{a}+\underline{b})+(\underline{c}+\underline{d})=\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{EB}}=\overrightarrow{\mathrm{BE}}-\overrightarrow{\mathrm{BE}}=0 বা, (c+d)=−(a+b)(\mathrm{c}+\mathrm{d})=-(\mathrm{a}+\mathrm{b}) বা, 12(c+d)=−12(a+b)\frac{1}{2}(c+d)=-\frac{1}{2}(a+b) বা, 12PQ→=−12RS→\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{RS}} বা, PQ→=−RS→\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-\overrightarrow{\mathrm{RS}} ∴PQ→=SR→\therefore \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{SR}} তাহলে, PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ও SR→\overrightarrow{\mathrm{SR}} এর ধারক রেখাদ্বয় একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। ∴\therefore ধারক রেখাদ্বয় সমান্তরাল। ∴PQ→∥SR→\therefore \overrightarrow{\mathrm{PQ}} \| \overrightarrow{\mathrm{SR}} এবং ∣PQ→∣=∣SR→∣|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=|\overrightarrow{\mathrm{SR}}| ∴PQ=SR\therefore \mathrm{PQ}=\mathrm{SR} ∴PQ\therefore \mathrm{PQ} এবং SR সমান ও সমান্তরাল। অনুরূপভাবে, QR এবং PS সমান ও সমান্তরাল। ∴PQRS\therefore PQRS একটি সামান্তরিক। (প্রমাণিত)

উত্তর

question image এখানে, ABC ত্রিভুজের AB,AC\mathrm{AB}, \mathrm{AC} ও BC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও R. A, R; B, E; C, D যোগ করি। ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করতে হবে, AR→+BE→+CD→=0\overrightarrow{\mathrm{AR}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}=0 △ABE\triangle \mathrm{ABE} এ ভেক্টর যোগে ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই, AB→+BE→=AE→\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}} AB→+BE→=12AC→[∵AE→=12AC→]\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AC}}\left[\because \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AC}}\right] বা, AC→=2(AB→+BE→)\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}) আবার, AB→+BC→=AC→\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}} ∴BC→=AC→−AB→=2(AB→+BE→)−AB→=AB→+2BE→\therefore \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}=2(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}})-\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+2 \overrightarrow{\mathrm{BE}} আবার, △ABR\triangle \mathrm{ABR} এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, AB→+BR→=AR→\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BR}}=\overrightarrow{\mathrm{AR}} বা, AB→+12BC→=AR→[∵BR→=12BC→]\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AR}}\left[\because \overrightarrow{\mathrm{BR}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{BC}}\right] বা, AR→=\overrightarrow{A R}=AB→\overrightarrow{A B}+12(+\frac{1}{2}(AB→\overrightarrow{A B}+2+2BE→\overrightarrow{B E})=)=AB→\overrightarrow{A B}+12+\frac{1}{2}AB→\overrightarrow{A B}++BE→\overrightarrow{B E}=32=\frac{3}{2}AB→\overrightarrow{A B}+BE→+\overrightarrow{B E} △ACD−\triangle \mathrm{ACD}- এ ডেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, AC→+CD→=AD→\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}} AC→+CD→=12AB→[∵AD→=12AB→]\overrightarrow{\mathrm{AC}} +\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}} \quad\left[\because \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}\right] ∴CD→=12AB→−AC→=12AB→−2(AB→+BE→)\therefore \overrightarrow{\mathrm{CD}} =\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-2(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}) =12AB→−2AB→−2BE→=−32AB→−2BE→=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-2 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-2 \overrightarrow{\mathrm{BE}}=-\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-2 \overrightarrow{\mathrm{BE}} বামপক্ষ =AR→+BE→+CD→=\overrightarrow{\mathrm{AR}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}} =(32AB→+BE→)+BE→+(−32AB→−2BE→)=\left(\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}\right)+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\left(-\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-2 \overrightarrow{\mathrm{BE}}\right) =32AB→+BE→+BE→−32AB→−2BE→=\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}-\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-2 \overrightarrow{\mathrm{BE}} =32AB→−32AB→+2BE→−2BE→=0‾==\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+2 \overrightarrow{\mathrm{BE}}-2 \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\underline{0}= ডানপক্ষ সুতরাং AR→+BE→+CD→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AR}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\underline{0}. (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে ΔABC\Delta\mathrm{ABC} এর AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC} ও AC\mathrm{AC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R\mathrm{R}, P\mathrm{P} ও Q\mathrm{Q} এবং BCQR\mathrm{BCQR} একটি ট্রাপিজিয়াম।

Barisal · 2026

ক
দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।
খ
প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।
গ
RB\mathrm{RB} ও QC\mathrm{QC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S\mathrm{S} ও T\mathrm{T} হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, ST→=32RQ→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক
ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
গ
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = 12\frac{1}{2} BC.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, [গণিত] .অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?[গণিত] -এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, [গণিত] কে [গণিত] ও [গণিত] -এর মাধ্যমে প্রকাশ [গণিত] এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একটি স্কেলার।মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে [গ[গণিত] ও [গণিত] বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে, ভেক্টরের সাহায্যেপ্রমাণ করো যে, [গণিত] ।দেখাও যে, [গণিত] একটি একক ভেক্টর যার দিক [গণিত] মুখী।PQRS একটি সামান্তরিক হলে [গণিত] ভেক্টরকে [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমেAB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST ||

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন