Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

চতুর্ভুজটির PQ, QR, RS ও SP বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X, Y, Z ও M হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, XYZM একটি সামান্তরিক।

উত্তর: [চিত্র] মনে করি, PQRS চতুর্ভুজে PS [গণিত] QR এবং PQ, QR, RS, SP বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X, Y, Z, M। X ও Y, Y ও Z, Z ও M এবং M ও X যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে, XYZM একটি সামান্তরিক। প্রমাণ : মনে করি, [গণিত] , [গণিত] , [গণিত] , [গণিত] তাহলে, [গণিত] অনুরূপভাবে, [গণিত] , [গণিত] এবং [গণিত] কিন্তু [গণিত] অর্থাৎ [গণিত] তাহলে, XY ও MZ এর ধারক রেখাদ্বয় একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। [গণিত] ধারক রেখাদ্বয় সমান্তরাল। [গণিত] এবং [গণিত] XY = MZ [গণিত] XY এবং MZ সমান ও সমান্তরাল। অনুরূপভাবে, YZ এবং XM সমান ও সমান্তরাল। [গণিত] XYZM একটি সামান্তরিক।

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল

চতুর্ভুজটির PQ, QR, RS ও SP বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X, Y, Z ও M হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, XYZM একটি সামান্তরিক।

উত্তর

question image মনে করি, PQRS চতুর্ভুজে PS ∥\| QR এবং PQ, QR, RS, SP বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X, Y, Z, M। X ও Y, Y ও Z, Z ও M এবং M ও X যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে, XYZM একটি সামান্তরিক। প্রমাণ : মনে করি, PQ→=p‾\overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \underline{\mathrm{p}}, QR→=q‾\overrightarrow{\mathrm{QR}} = \underline{\mathrm{q}}, RS→=r‾\overrightarrow{\mathrm{RS}} = \underline{\mathrm{r}}, SP→=s‾\overrightarrow{\mathrm{SP}} = \underline{\mathrm{s}} তাহলে, XY→=XQ→+QY→=12PQ→+12QR→=12(p‾+q‾)\overrightarrow{\mathrm{XY}} = \overrightarrow{\mathrm{XQ}} + \overrightarrow{\mathrm{QY}} = \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}} = \frac{1}{2}(\underline{\mathrm{p}}+\underline{\mathrm{q}}) অনুরূপভাবে, YZ→=12(q‾+r‾)\overrightarrow{\mathrm{YZ}} = \frac{1}{2}(\underline{\mathrm{q}}+\underline{\mathrm{r}}), ZM→=12(r‾+s‾)\overrightarrow{\mathrm{ZM}} = \frac{1}{2}(\underline{\mathrm{r}}+\underline{\mathrm{s}}) এবং MX→=12(s‾+p‾)\overrightarrow{\mathrm{MX}} = \frac{1}{2}(\underline{\mathrm{s}}+\underline{\mathrm{p}}) কিন্তু (p‾+q‾)+(r‾+s‾)=PR→+RP→=PR→−PR→=0⃗(\underline{\mathrm{p}}+\underline{\mathrm{q}}) + (\underline{\mathrm{r}}+\underline{\mathrm{s}}) = \overrightarrow{\mathrm{PR}} + \overrightarrow{\mathrm{RP}} = \overrightarrow{\mathrm{PR}} - \overrightarrow{\mathrm{PR}} = \vec{0} অর্থাৎ p‾+q‾=−(r‾+s‾)\underline{\mathrm{p}}+\underline{\mathrm{q}} = -(\underline{\mathrm{r}}+\underline{\mathrm{s}}) ∴XY→=12(p‾+q‾)=−12(r‾+s‾)=−ZM→=MZ→\therefore \overrightarrow{\mathrm{XY}} = \frac{1}{2}(\underline{\mathrm{p}}+\underline{\mathrm{q}}) = -\frac{1}{2}(\underline{\mathrm{r}}+\underline{\mathrm{s}}) = -\overrightarrow{\mathrm{ZM}} = \overrightarrow{\mathrm{MZ}} তাহলে, XY ও MZ এর ধারক রেখাদ্বয় একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। ∴\therefore ধারক রেখাদ্বয় সমান্তরাল। ∴XY→∥MZ→\therefore \overrightarrow{\mathrm{XY}} \| \overrightarrow{\mathrm{MZ}} এবং ∣XY→∣=∣MZ→∣|\overrightarrow{\mathrm{XY}}| = |\overrightarrow{\mathrm{MZ}}| ∴\therefore XY = MZ ∴\therefore XY এবং MZ সমান ও সমান্তরাল। অনুরূপভাবে, YZ এবং XM সমান ও সমান্তরাল। ∴\therefore XYZM একটি সামান্তরিক।
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে ΔABC\Delta\mathrm{ABC} এর AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC} ও AC\mathrm{AC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R\mathrm{R}, P\mathrm{P} ও Q\mathrm{Q} এবং BCQR\mathrm{BCQR} একটি ট্রাপিজিয়াম।

Barisal · 2026

ক
দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।
খ
প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।
গ
RB\mathrm{RB} ও QC\mathrm{QC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S\mathrm{S} ও T\mathrm{T} হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, ST→=32RQ→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক
ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
গ
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = 12\frac{1}{2} BC.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, [গণিত] .অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?[গণিত] -এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, [গণিত] কে [গণিত] ও [গণিত] -এর মাধ্যমে প্রকাশ [গণিত] এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একটি স্কেলার।মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে [গ[গণিত] ও [গণিত] বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে, ভেক্টরের সাহায্যেপ্রমাণ করো যে, [গণিত] ।দেখাও যে, [গণিত] একটি একক ভেক্টর যার দিক [গণিত] মুখী।PQRS একটি সামান্তরিক হলে [গণিত] ভেক্টরকে [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমেAB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST ||

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন