Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

যদি চতুর্ভুজটির PQ ও SR বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E হয় তাহলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, DE [গণিত] PS [গণিত] SR এবং DE [গণিত] (QR + PS)।

উত্তর: [বি.দ্র.: প্রশ্নে DE [গণিত] PS [গণিত] SR তথ্যটি অসঙ্গতিপূর্ণ। DE [গণিত] PS [গণিত] SR এর পরিবর্তে DE [গণিত] PS [গণিত] QR ধরে সমাধান করা হলো] [চিত্র] মনে করি, PQRS চতুর্ভুজে PS [গণিত] QR এবং PQ ও SR বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E। D, E যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, DE [গণিত] PS [গণিত] QR এবং DE [গণিত] (QR + PS)। প্রমাণ : মনে করি, কোনো নির্দিষ্ট মূলবিন্দুর সাপেক্ষে P, Q, R ও S বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে [গণিত] , [গণিত] , [গণিত] ও [গণিত] । তাহলে, D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর [গণিত] E বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর [গণিত] [ [গণিত] এবং [গণিত] ] বা, [গণিত] DE [গণিত] (QR + PS) আবার, [গণিত] ও [গণিত] সমান্তরাল হওয়ায় [গণিত] ভেক্টরটির [গণিত] ও [গণিত] এর সমান্তরাল। অর্থাৎ, DE [গণিত] PS [গণিত] QR। অতএব, DE [গণিত] PS [গণিত] QR এবং DE [গণিত] (QR + PS) (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল

যদি চতুর্ভুজটির PQ ও SR বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E হয় ত…

উদ্দীপক

PQRS একটি চতুর্ভুজ যার PS∥QR\mathrm{PS} \| \mathrm{QR}।

Dinajpur · 2026

উত্তর

(3,4)(3, 4) ও (−3,6)(-3, 6) বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল =y2−y1x2−x1= \frac{\mathrm{y}_2-\mathrm{y}_1}{\mathrm{x}_2-\mathrm{x}_1} =6−4−3−3= \frac{6-4}{-3-3} =2−6=−13<0= \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3} < 0 যেহেতু ঢাল ঋণাত্মক। সেহেতু (3,4)(3, 4) ও (−3,6)(-3, 6) বিন্দুগামী সরলরেখা x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে স্থূলকোণ উৎপন্ন করে। (দেখানো হলো)

উত্তর

question image মনে করি, PQRS চতুর্ভুজে PS ∥\| QR এবং PQ, QR, RS, SP বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X, Y, Z, M। X ও Y, Y ও Z, Z ও M এবং M ও X যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে, XYZM একটি সামান্তরিক। প্রমাণ : মনে করি, PQ→=p‾\overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \underline{\mathrm{p}}, QR→=q‾\overrightarrow{\mathrm{QR}} = \underline{\mathrm{q}}, RS→=r‾\overrightarrow{\mathrm{RS}} = \underline{\mathrm{r}}, SP→=s‾\overrightarrow{\mathrm{SP}} = \underline{\mathrm{s}} তাহলে, XY→=XQ→+QY→=12PQ→+12QR→=12(p‾+q‾)\overrightarrow{\mathrm{XY}} = \overrightarrow{\mathrm{XQ}} + \overrightarrow{\mathrm{QY}} = \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}} = \frac{1}{2}(\underline{\mathrm{p}}+\underline{\mathrm{q}}) অনুরূপভাবে, YZ→=12(q‾+r‾)\overrightarrow{\mathrm{YZ}} = \frac{1}{2}(\underline{\mathrm{q}}+\underline{\mathrm{r}}), ZM→=12(r‾+s‾)\overrightarrow{\mathrm{ZM}} = \frac{1}{2}(\underline{\mathrm{r}}+\underline{\mathrm{s}}) এবং MX→=12(s‾+p‾)\overrightarrow{\mathrm{MX}} = \frac{1}{2}(\underline{\mathrm{s}}+\underline{\mathrm{p}}) কিন্তু (p‾+q‾)+(r‾+s‾)=PR→+RP→=PR→−PR→=0⃗(\underline{\mathrm{p}}+\underline{\mathrm{q}}) + (\underline{\mathrm{r}}+\underline{\mathrm{s}}) = \overrightarrow{\mathrm{PR}} + \overrightarrow{\mathrm{RP}} = \overrightarrow{\mathrm{PR}} - \overrightarrow{\mathrm{PR}} = \vec{0} অর্থাৎ p‾+q‾=−(r‾+s‾)\underline{\mathrm{p}}+\underline{\mathrm{q}} = -(\underline{\mathrm{r}}+\underline{\mathrm{s}}) ∴XY→=12(p‾+q‾)=−12(r‾+s‾)=−ZM→=MZ→\therefore \overrightarrow{\mathrm{XY}} = \frac{1}{2}(\underline{\mathrm{p}}+\underline{\mathrm{q}}) = -\frac{1}{2}(\underline{\mathrm{r}}+\underline{\mathrm{s}}) = -\overrightarrow{\mathrm{ZM}} = \overrightarrow{\mathrm{MZ}} তাহলে, XY ও MZ এর ধারক রেখাদ্বয় একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। ∴\therefore ধারক রেখাদ্বয় সমান্তরাল। ∴XY→∥MZ→\therefore \overrightarrow{\mathrm{XY}} \| \overrightarrow{\mathrm{MZ}} এবং ∣XY→∣=∣MZ→∣|\overrightarrow{\mathrm{XY}}| = |\overrightarrow{\mathrm{MZ}}| ∴\therefore XY = MZ ∴\therefore XY এবং MZ সমান ও সমান্তরাল। অনুরূপভাবে, YZ এবং XM সমান ও সমান্তরাল। ∴\therefore XYZM একটি সামান্তরিক।

উত্তর

[বি.দ্র.: প্রশ্নে DE ∥\| PS ∥\| SR তথ্যটি অসঙ্গতিপূর্ণ। DE ∥\| PS ∥\| SR এর পরিবর্তে DE ∥\| PS ∥\| QR ধরে সমাধান করা হলো] question image মনে করি, PQRS চতুর্ভুজে PS ∥\| QR এবং PQ ও SR বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E। D, E যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, DE ∥\| PS ∥\| QR এবং DE =12= \frac{1}{2}(QR + PS)। প্রমাণ : মনে করি, কোনো নির্দিষ্ট মূলবিন্দুর সাপেক্ষে P, Q, R ও S বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে p‾\underline{\mathrm{p}}, q‾\underline{\mathrm{q}}, r‾\underline{\mathrm{r}} ও s‾\underline{\mathrm{s}}। তাহলে, D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর =12(p‾+q‾)= \frac{1}{2}(\underline{\mathrm{p}}+\underline{\mathrm{q}}) E বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর =12(r‾+s‾)= \frac{1}{2}(\underline{\mathrm{r}}+\underline{\mathrm{s}}) ∴DE→=12(r‾+s‾)−12(p‾+q‾)\therefore \overrightarrow{\mathrm{DE}} = \frac{1}{2}(\underline{\mathrm{r}}+\underline{\mathrm{s}}) - \frac{1}{2}(\underline{\mathrm{p}}+\underline{\mathrm{q}}) =12(r‾+s‾−p‾−q‾)= \frac{1}{2}(\underline{\mathrm{r}}+\underline{\mathrm{s}}-\underline{\mathrm{p}}-\underline{\mathrm{q}}) =12{(r‾−q‾)+(s‾−p‾)}= \frac{1}{2}\{(\underline{\mathrm{r}}-\underline{\mathrm{q}})+(\underline{\mathrm{s}}-\underline{\mathrm{p}})\} =12(QR→+PS→)= \frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{QR}}+\overrightarrow{\mathrm{PS}}) [∵PS→=s‾−p‾\because \overrightarrow{\mathrm{PS}} = \underline{\mathrm{s}}-\underline{\mathrm{p}} এবং QR→=r‾−q‾\overrightarrow{\mathrm{QR}} = \underline{\mathrm{r}}-\underline{\mathrm{q}}] বা, ∣DE→∣=12(∣QR→+PS→∣)=12(∣QR→∣+∣PS→∣)\left|\overrightarrow{\mathrm{DE}}\right| = \frac{1}{2}\left(\left|\overrightarrow{\mathrm{QR}}+\overrightarrow{\mathrm{PS}}\right|\right) = \frac{1}{2}(|\overrightarrow{\mathrm{QR}}|+|\overrightarrow{\mathrm{PS}}|) ∴\therefore DE =12= \frac{1}{2}(QR + PS) আবার, PS→\overrightarrow{\mathrm{PS}} ও QR→\overrightarrow{\mathrm{QR}} সমান্তরাল হওয়ায় (QR→+PS→)(\overrightarrow{\mathrm{QR}}+\overrightarrow{\mathrm{PS}}) ভেক্টরটির PS→\overrightarrow{\mathrm{PS}} ও QR→\overrightarrow{\mathrm{QR}} এর সমান্তরাল। অর্থাৎ, DE ∥\| PS ∥\| QR। অতএব, DE ∥\| PS ∥\| QR এবং DE =12= \frac{1}{2}(QR + PS) (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে ΔABC\Delta\mathrm{ABC} এর AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC} ও AC\mathrm{AC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R\mathrm{R}, P\mathrm{P} ও Q\mathrm{Q} এবং BCQR\mathrm{BCQR} একটি ট্রাপিজিয়াম।

Barisal · 2026

ক
দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।
খ
প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।
গ
RB\mathrm{RB} ও QC\mathrm{QC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S\mathrm{S} ও T\mathrm{T} হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, ST→=32RQ→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক
ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
গ
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = 12\frac{1}{2} BC.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, [গণিত] .অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?[গণিত] -এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, [গণিত] কে [গণিত] ও [গণিত] -এর মাধ্যমে প্রকাশ [গণিত] এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একটি স্কেলার।মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে [গ[গণিত] ও [গণিত] বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে, ভেক্টরের সাহায্যেপ্রমাণ করো যে, [গণিত] ।দেখাও যে, [গণিত] একটি একক ভেক্টর যার দিক [গণিত] মুখী।PQRS একটি সামান্তরিক হলে [গণিত] ভেক্টরকে [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমেAB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST ||

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন