Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

ভেষ্টরের সাহায়ে প্রমাণ করো যে, [গণিত] ।

উত্তর: [চিত্র] এখানে, [গণিত] -এর AC ও AB বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E ও F। E, F যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, [গণিত] প্রমাণ : E ও F যথাক্রমে AC ও AB এর মধ্যবিন্দু। [গণিত] এবং [গণিত] হতে ভেষ্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] ... (1) আবার, [গণিত] হতে ভেষ্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে, [গণিত] (2) (1) ও (2) হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, [গণিত] ও [গণিত] ভেষ্টরদ্বয়ের ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। সুতরাং [গণিত] ও [গণিত] ভেষ্টরদ্বয়ের ধারক রেখাদ্বয় FE এবং BC সমান্তরাল। অর্থাৎ, [গণিত] বা, [গণিত] অতএব, [গণিত] । (প্রমাণিত)

SSC উচ্চতর গণিত অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

SSC · উচ্চতর গণিত · অধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর · সৃজনশীল

ভেষ্টরের সাহায়ে প্রমাণ করো যে, ।

উদ্দীপক

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর D, E ও F যথাক্রমে BC, AC ও AB এর মধ্যবিন্দু।

Sylhet · 2026

উত্তর

question image এখানে, △ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC বাহুর মধ্যবিন্দু D. A, D যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, AB→+AC→=2AD→\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{AC}} = 2\overrightarrow{\mathrm{AD}}. △ABD\triangle \mathrm{ABD} হতে ভেষ্টর যোগের ত্রিভুজবিধ অনুসারে পাই, AB→+BD→=AD→\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{BD}} = \overrightarrow{\mathrm{AD}} বা, AB→+12BC→=AD→\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}} = \overrightarrow{\mathrm{AD}} [∵BD→=12BC→\because \overrightarrow{\mathrm{BD}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}] ∴AB→=AD→−12BC→\therefore \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{\mathrm{AD}} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}} আবার, △ACD\triangle \mathrm{ACD} হতে ভেষ্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে পাই, AC→+CD→=AD→\overrightarrow{\mathrm{AC}} + \overrightarrow{\mathrm{CD}} = \overrightarrow{\mathrm{AD}} বা, AC→+12CB→=AD→\overrightarrow{\mathrm{AC}} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{CB}} = \overrightarrow{\mathrm{AD}} বা, AC→−12BC→=AD→\overrightarrow{\mathrm{AC}} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}} = \overrightarrow{\mathrm{AD}} ∴AC→=AD→+12BC→\therefore \overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow{\mathrm{AD}} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}} বামপক্ষ =AB→+AC→= \overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{AC}} =AD→−12BC→+AD→+12BC→=2AD→== \overrightarrow{\mathrm{AD}} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}} + \overrightarrow{\mathrm{AD}} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}} = 2\overrightarrow{\mathrm{AD}} = ডানপক্ষ ∴AB→+AC→=2AD→\therefore \overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{AC}} = 2\overrightarrow{\mathrm{AD}}। (দেখানো হলো)

উত্তর

question image এখানে, △ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, AC ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F. A, D; B, E এবং C, F যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, AD→+BE→+CF→=0⃗\overrightarrow{\mathrm{AD}} + \overrightarrow{\mathrm{BE}} + \overrightarrow{\mathrm{CF}} = \vec{0}. প্রমাণ : ভেষ্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে, △ABE\triangle \mathrm{ABE} হতে পাই, AB→+BE→=AE→=12AC→\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{BE}} = \overrightarrow{\mathrm{AE}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}} [∵\because E, AC এর মধ্যবিন্দু] ∴AC→=2AB→+2BE→\therefore \overrightarrow{\mathrm{AC}} = 2\overrightarrow{\mathrm{AB}} + 2\overrightarrow{\mathrm{BE}} ……...(i)\ldots\ldots... (i) △ABC\triangle \mathrm{ABC} হতে পাই, AB→+BC→=AC→\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{BC}} = \overrightarrow{\mathrm{AC}} বা, BC→=AC→−AB→\overrightarrow{\mathrm{BC}} = \overrightarrow{\mathrm{AC}} - \overrightarrow{\mathrm{AB}} বা, BC→=2AB→+2BE→−AB→\overrightarrow{\mathrm{BC}} = 2\overrightarrow{\mathrm{AB}} + 2\overrightarrow{\mathrm{BE}} - \overrightarrow{\mathrm{AB}} [(i)নং হতে] ∴BC→=AB→+2BE→\therefore \overrightarrow{\mathrm{BC}} = \overrightarrow{\mathrm{AB}} + 2\overrightarrow{\mathrm{BE}} …………..(ii)\ldots\ldots\ldots\ldots.. (ii) △ABD\triangle \mathrm{ABD} হতে পাই, AB→+BD→=AD→\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{BD}} = \overrightarrow{\mathrm{AD}} বা, AD→=AB→+12BC→\overrightarrow{\mathrm{AD}} = \overrightarrow{\mathrm{AB}} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}} [∵BD→=12BC→\because \overrightarrow{\mathrm{BD}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}] বা, AD→=AB→+12(AB→+2BE→)\overrightarrow{\mathrm{AD}} = \overrightarrow{\mathrm{AB}} + \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AB}} + 2\overrightarrow{\mathrm{BE}}) [(ii)নং হতে] ∴AD→=32AB→+BE→\therefore \overrightarrow{\mathrm{AD}} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{BE}} …………..(iii)\ldots\ldots\ldots\ldots.. (iii) △ACF\triangle \mathrm{ACF} হতে পাই, AC→+CF→=AF→\overrightarrow{\mathrm{AC}} + \overrightarrow{\mathrm{CF}} = \overrightarrow{\mathrm{AF}} বা, CF→=AF→−AC→\overrightarrow{\mathrm{CF}} = \overrightarrow{\mathrm{AF}} - \overrightarrow{\mathrm{AC}} বা, CF→=12AB→−AC→\overrightarrow{\mathrm{CF}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}} - \overrightarrow{\mathrm{AC}} [∵AF→=12AB→\because \overrightarrow{\mathrm{AF}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}] বা, CF→=12AB→−(2AB→+2BE→)\overrightarrow{\mathrm{CF}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}} - (2\overrightarrow{\mathrm{AB}} + 2\overrightarrow{\mathrm{BE}}) [(i)নং হতে] বা, CF→=−32AB→−2BE→\overrightarrow{\mathrm{CF}} = -\dfrac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}} - 2\overrightarrow{\mathrm{BE}} ………..(iv)\ldots\ldots\ldots.. (iv) বামপক্ষ =AD→+BE→+CF→= \overrightarrow{\mathrm{AD}} + \overrightarrow{\mathrm{BE}} + \overrightarrow{\mathrm{CF}} =32AB→+BE→+BE→−32AB→−2BE→= \dfrac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{BE}} + \overrightarrow{\mathrm{BE}} - \dfrac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}} - 2\overrightarrow{\mathrm{BE}} =0⃗= \vec{0} == ডানপক্ষ ∴AD→+BE→+CF→=0⃗\therefore \overrightarrow{\mathrm{AD}} + \overrightarrow{\mathrm{BE}} + \overrightarrow{\mathrm{CF}} = \vec{0}। (প্রমাণিত)

উত্তর

question image এখানে, △ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর AC ও AB বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E ও F। E, F যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, EF∥BC\mathrm{EF} \| \mathrm{BC} প্রমাণ : E ও F যথাক্রমে AC ও AB এর মধ্যবিন্দু। ∴AE→=12AC→\therefore \overrightarrow{\mathrm{AE}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}} এবং AF→=12AB→\overrightarrow{\mathrm{AF}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}} △AEF\triangle \mathrm{AEF} হতে ভেষ্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই, AF→+FE→=AE→\overrightarrow{\mathrm{AF}} + \overrightarrow{\mathrm{FE}} = \overrightarrow{\mathrm{AE}} বা, FE→=AE→−AF→\overrightarrow{\mathrm{FE}} = \overrightarrow{\mathrm{AE}} - \overrightarrow{\mathrm{AF}} বা, FE→=12AC→−12AB→\overrightarrow{\mathrm{FE}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}} বা, FE→=12(AC→−AB→)\overrightarrow{\mathrm{FE}} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AC}} - \overrightarrow{\mathrm{AB}}) ……...(1)\ldots\ldots... (1) আবার, △ABC\triangle \mathrm{ABC} হতে ভেষ্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে, AB→+BC→=AC→\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{BC}} = \overrightarrow{\mathrm{AC}} ∴BC→=AC→−AB→\therefore \overrightarrow{\mathrm{BC}} = \overrightarrow{\mathrm{AC}} - \overrightarrow{\mathrm{AB}}
………(2)(1)\ldots\ldots\ldots (2) (1)
ও (2) হতে পাই, FE→=12BC→\overrightarrow{\mathrm{FE}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}} বা, ∣FE→∣=12∣BC→∣\left|\overrightarrow{\mathrm{FE}}\right| = \dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right| ∴EF=12BC\therefore \mathrm{EF} = \dfrac{1}{2}\mathrm{BC} আবার, FE→\overrightarrow{\mathrm{FE}} ও BC→\overrightarrow{\mathrm{BC}} ভেষ্টরদ্বয়ের ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়। সুতরাং FE→\overrightarrow{\mathrm{FE}} ও BC→\overrightarrow{\mathrm{BC}} ভেষ্টরদ্বয়ের ধারক রেখাদ্বয় FE এবং BC সমান্তরাল। অর্থাৎ, FE∥BC\mathrm{FE} \| \mathrm{BC} বা, EF∥BC\mathrm{EF} \| \mathrm{BC} অতএব, EF∥BC\mathrm{EF} \| \mathrm{BC}। (প্রমাণিত)
SSCউচ্চতর গণিতঅধ্যায়-১২ : সমতলীয় ভেক্টর
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, AB→+\overrightarrow{A B}+AC→\overrightarrow{A C}=2AD→=2 \overrightarrow{A D}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

△ABC\triangle \mathrm{ABC}-এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, AD→\overrightarrow{\mathrm{AD}} কে AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} ও AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CF}}=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

দেখাও যে, −m(a)=m(−a)=−(ma)-m(a)=m(-a)=-(m a), যেখানে mm একটি স্কেলার।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে 11a‾−13 b‾11 \underline{\mathrm{a}}-13 \underline{\mathrm{~b}} ও −9a‾−16 b‾-9 \underline{\mathrm{a}}-16 \underline{\mathrm{~b}} হলে MN→\overrightarrow{\mathrm{MN}} নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে ΔABC\Delta\mathrm{ABC} এর AB\mathrm{AB}, BC\mathrm{BC} ও AC\mathrm{AC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে R\mathrm{R}, P\mathrm{P} ও Q\mathrm{Q} এবং BCQR\mathrm{BCQR} একটি ট্রাপিজিয়াম।

Barisal · 2026

ক
দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।
খ
প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।
গ
RB\mathrm{RB} ও QC\mathrm{QC} বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S\mathrm{S} ও T\mathrm{T} হলে, ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, ST→=32RQ→\overrightarrow{\mathrm{ST}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{RQ}}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

প্রমাণ করো যে, AP→+BQ→+CR→=0‾\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\underline{0}।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

দেখাও যে, 1∣u‾∣u‾\frac{1}{|\underline{\mathrm{u}}|}\underline{\mathrm{u}} একটি একক ভেক্টর যার দিক u‾\underline{\mathrm{u}} মুখী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

PQRS একটি সামান্তরিক হলে PQ→\overrightarrow{\mathrm{PQ}} ভেক্টরকে PR→\overrightarrow{\mathrm{PR}} এবং QS→\overrightarrow{\mathrm{QS}} ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে প্রকাশ করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

ABCD চতুর্ভুজের A(-5, 0), B(5, 0), C(5, 5) এবং D(-5, 5) শীর্ষ বিন্দুসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হয়।

Barisal · 2016

ক
ABCD চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
গ
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST || BC এবং ST = 12\frac{1}{2} BC.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর AD একটি মধ্যমা। ভেক্টরের সাহায্যে দেখাও যে, [গণিত] .অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।শূন্য ভেক্টর কাকে বলে?[গণিত] -এর BC-এর মধ্যবিন্দু D হলে, [গণিত] কে [গণিত] ও [গণিত] -এর মাধ্যমে প্রকাশ [গণিত] এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] , যেখানে [গণিত] একটি স্কেলার।মূলবিন্দুর সাপেক্ষে M ও N বিন্দুর অবস্থান ভেষ্টর যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে [গ[গণিত] ও [গণিত] বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] হলে, ভেক্টরের সাহায্যেপ্রমাণ করো যে, [গণিত] ।দেখাও যে, [গণিত] একটি একক ভেক্টর যার দিক [গণিত] মুখী।PQRS একটি সামান্তরিক হলে [গণিত] ভেক্টরকে [গণিত] এবং [গণিত] ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমেAB ও AC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে S এবং T হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ST ||

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন